ley de zipf

Distribución de probabilidad

Ley de Zipf sobre la guerra y la paz . ^[1] El gráfico inferior muestra el resto cuando se divide la ley de Zipf. Muestra que sigue habiendo un patrón significativo que no se ajusta a la ley Zipf.

Un gráfico de la frecuencia de cada palabra en función de su rango de frecuencia para dos textos en inglés: Complete Herbal de Culpeper (1652) y The War of the Worlds (1898) de HG Wells en una escala logarítmica . La línea de puntos es la ley ideal y ∝ 1/ x .

La ley de Zipf ( / z ɪ f / , alemán: [ts͡ɪpf] ) es una ley empírica que a menudo se cumple, aproximadamente, cuando una lista de valores medidos se ordena en orden decreciente. Afirma que el valor de la n- ésima entrada es inversamente proporcional a n .

El ejemplo más conocido de la ley de Zipf se aplica a la tabla de frecuencia de palabras en un texto o corpus de lenguaje natural :

$${\displaystyle {\text{word frequency}}\propto {\frac {1}{\text{word rank}}}.}$$

Brown Corpusthedey^[2]ley de Zipf-Mandelbrot

$${\displaystyle {\text{frequency}}\propto {\frac {1}{({\text{rank}}+b)^{a}}}}$$

^[1] ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a\approx 1}$ ${\displaystyle b\approx 2.7}$

Esta ley lleva el nombre del lingüista estadounidense George Kingsley Zipf , ^{[3] [4] [5]} y sigue siendo un concepto importante en la lingüística cuantitativa . Se ha descubierto que se aplica a muchos otros tipos de datos estudiados en las ciencias físicas y sociales .

En estadística matemática , el concepto se ha formalizado como distribución zipfiana : una familia de distribuciones de probabilidad discretas relacionadas cuya distribución rango-frecuencia es una relación de ley de potencia inversa . Están relacionados con la ley de Benford y la distribución de Pareto .

Algunos conjuntos de datos empíricos dependientes del tiempo se desvían algo de la ley de Zipf. Se dice que estas distribuciones empíricas son cuasi zipfianas .

Historia

En 1913, el físico alemán Felix Auerbach observó una proporcionalidad inversa entre el tamaño de la población de las ciudades y sus clasificaciones cuando se clasifican por orden decreciente de esa variable. ^[6]

La ley de Zipf ha sido descubierta antes que Zipf, ^[a] por el taquígrafo francés Jean-Baptiste Estoup ' Gammes Stenographiques (4ª ed) en 1916, ^[7] con G. Dewey en 1923, ^[8] y con E. Condon en 1928. ^[9]

George Zipf observó la misma relación para las frecuencias de palabras en textos en lenguaje natural en 1932, ^[4] pero nunca afirmó haberla originado. De hecho, a Zipf no le gustaban las matemáticas. En su publicación de 1932, ^[10] el autor habla con desdén de la implicación matemática en la lingüística, ao ibidem, p. 21: (…) permítanme decir aquí, por el bien de cualquier matemático que planee formular los datos resultantes con mayor exactitud, que la capacidad del positivo altamente intenso de convertirse en el negativo altamente intenso, en mi opinión, introduce el diablo en la fórmula. en la forma de √(-i) . La única expresión matemática que utilizó Zipf parece un archivo . b ² = constante, que "tomó prestada" de la publicación de Alfred J. Lotka de 1926. ^[11]

Se encontró que la misma relación ocurría en muchos otros contextos y para otras variables además de la frecuencia. ^[1] Por ejemplo, cuando las corporaciones se clasifican según su tamaño decreciente, se encuentra que sus tamaños son inversamente proporcionales al rango. ^[12] La misma relación se encuentra para los ingresos personales (donde se llama principio de Pareto ^[13] ), el número de personas que ven el mismo canal de televisión, ^[14] notas musicales, ^[15] transcriptomas de células ^{[16] [17]} y más.

En 1992, el bioinformático Wentian Li publicó un breve artículo ^[18] que mostraba que la ley de Zipf surge incluso en textos generados aleatoriamente. Incluía pruebas de que la forma de ley de potencia de la ley de Zipf era un subproducto de ordenar las palabras por rango.

Definicion formal

Formalmente, la distribución Zipf sobre N elementos asigna al elemento de rango k (contando desde 1) la probabilidad

${\displaystyle f(k;N)={\frac {1}{H_{N}}}\,{\frac {1}{k}}}$

donde H _N es una constante de normalización, el N- ésimo número armónico :

${\displaystyle H_{N}=\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{k}}\ .}$

La distribución a veces se generaliza a una ley de potencia inversa con exponente s en lugar de 1. ^[19] Es decir,

${\displaystyle f(k;N,s)={\frac {1}{H_{N,s}}}\,{\frac {1}{k^{s}}}}$

donde H _{N , s} es un número armónico generalizado

${\displaystyle H_{N,s}=\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{k^{s}}}\ .}$

La distribución Zipf generalizada se puede extender a infinitos elementos ( N = ∞) solo si el exponente s excede 1. En ese caso, la constante de normalización H _{N , s} se convierte en la función zeta de Riemann ,

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}<\infty \ .}$

Si el exponente s es 1 o menos, la constante de normalización H _{N , s} diverge cuando N tiende a infinito.

Pruebas empíricas

Empíricamente, se puede probar un conjunto de datos para ver si la ley de Zipf se aplica verificando la bondad de ajuste de una distribución empírica a la distribución hipotética de la ley de potencia con una prueba de Kolmogorov-Smirnov y luego comparando la relación de probabilidad (log) de la ley de potencia. distribución a distribuciones alternativas como una distribución exponencial o una distribución lognormal. ^[20]

La ley de Zipf se puede visualizar trazando los datos de frecuencia de los elementos en un gráfico log-log , siendo los ejes el logaritmo del orden de clasificación y el logaritmo de la frecuencia. Los datos se ajustan a la ley de Zipf con exponente s en la medida en que la gráfica se aproxima a una función lineal (más precisamente, afín ) con pendiente − s . Para el exponente s = 1, también se puede trazar el recíproco de la frecuencia (intervalo medio entre palabras) contra el rango, o el recíproco del rango contra la frecuencia, y comparar el resultado con la línea que pasa por el origen con pendiente 1. ^[3]

Explicaciones estadísticas

Aunque la Ley de Zipf es válida para la mayoría de los lenguajes naturales, incluso algunos no naturales como el esperanto , ^[21] la razón aún no se comprende bien. ^[22] Las revisiones recientes de los procesos generativos de la ley de Zipf incluyen. ^{[23] [24]}

Sin embargo, esto puede explicarse parcialmente por el análisis estadístico de textos generados aleatoriamente. Wentian Li ha demostrado que en un documento en el que cada carácter ha sido elegido al azar de una distribución uniforme de todas las letras (más un carácter de espacio), las "palabras" con diferentes longitudes siguen la macrotendencia de la ley de Zipf (cuanto más probable sea las palabras son las más cortas con igual probabilidad). ^[25] En 1959, Vitold Belevitch observó que si alguna de una gran clase de distribuciones estadísticas de buen comportamiento (no solo la distribución normal ) se expresa en términos de rango y se expande en una serie de Taylor , el truncamiento de primer orden de la serie resulta en la ley de Zipf. Además, un truncamiento de segundo orden de la serie de Taylor dio lugar a la ley de Mandelbrot . ^{[26] [27]}

El principio del mínimo esfuerzo es otra posible explicación: el propio Zipf propuso que ni los hablantes ni los oyentes que usan un idioma determinado quieren trabajar más de lo necesario para alcanzar la comprensión, y el proceso que resulta en una distribución aproximadamente igual del esfuerzo conduce a la distribución de Zipf observada. . ^{[5] [28]}

Una explicación mínima supone que las palabras son generadas por monos que escriben al azar . Si el lenguaje es generado por un solo mono que escribe aleatoriamente, con una probabilidad fija y distinta de cero de presionar cada tecla de letra o espacio en blanco, entonces las palabras (cadenas de letras separadas por espacios en blanco) producidas por el mono siguen la ley de Zipf. ^[29]

Otra posible causa de la distribución Zipf es un proceso de apego preferencial , en el que el valor x de un artículo tiende a crecer a una tasa proporcional a x (intuitivamente, "los ricos se hacen más ricos" o "el éxito genera éxito"). Tal proceso de crecimiento da como resultado la distribución de Yule-Simon , que se ha demostrado que se ajusta mejor a la frecuencia de las palabras versus el rango en el idioma ^[30] y a la población versus el rango de la ciudad ^[31] que la ley de Zipf. Yule lo derivó originalmente para explicar la población versus el rango en las especies, y Simon lo aplicó a las ciudades.

Una explicación similar se basa en modelos de atlas, sistemas de procesos de difusión intercambiables de valores positivos con parámetros de deriva y varianza que dependen únicamente del rango del proceso. Se ha demostrado matemáticamente que la ley de Zipf es válida para los modelos Atlas que satisfacen ciertas condiciones de regularidad natural. ^{[32] [33]} Las distribuciones cuasi-Zipfianas pueden resultar de modelos cuasi-Atlas. ^{[ cita necesaria ]}

Leyes relacionadas

Una generalización de la ley de Zipf es la ley de Zipf-Mandelbrot , propuesta por Benoit Mandelbrot , cuyas frecuencias son:

${\displaystyle f(k;N,q,s)={\frac {1}{C}}\,{\frac {1}{(k+q)^{s}}}.\,}$^{[ se necesita aclaración ]}

La constante C es la función zeta de Hurwitz evaluada en s .

Las distribuciones zipfianas se pueden obtener a partir de distribuciones de Pareto mediante un intercambio de variables. ^[19]

La distribución Zipf a veces se denomina distribución de Pareto discreta ^[34] porque es análoga a la distribución de Pareto continua de la misma manera que la distribución uniforme discreta es análoga a la distribución uniforme continua .

Las frecuencias de cola de la distribución Yule-Simon son aproximadamente

${\displaystyle f(k;\rho )\approx {\frac {[{\text{constant}}]}{k^{\rho +1}}}}$

para cualquier elección de ρ > 0.

En la distribución fractal parabólica , el logaritmo de la frecuencia es un polinomio cuadrático del logaritmo del rango. Esto puede mejorar notablemente el ajuste con respecto a una relación simple de ley de potencia. ^[35] Al igual que la dimensión fractal, es posible calcular la dimensión Zipf, que es un parámetro útil en el análisis de textos. ^[36]

Se ha argumentado que la ley de Benford es un caso especial acotado de la ley de Zipf, ^[35] y la conexión entre estas dos leyes se explica porque ambas se originan a partir de relaciones funcionales invariantes de escala de la física estadística y los fenómenos críticos. ^[37] Las razones de probabilidades en la ley de Benford no son constantes. Los primeros dígitos de los datos que satisfacen la ley de Zipf con s = 1 satisfacen la ley de Benford.

Ocurrencias

Tamaños de ciudad

Tras la observación de Auerbach de 1913, se ha realizado un examen sustancial de la ley de Zipf para el tamaño de las ciudades. ^[38] Sin embargo, estudios empíricos ^{[39] [40]} y teóricos ^[41] más recientes han cuestionado la relevancia de la ley de Zipf para las ciudades.

Frecuencias de palabras en lenguajes naturales.

La ley de Zipf traza los primeros 10 millones de palabras en 30 Wikipedias (a octubre de 2015) en una escala logarítmica .

En muchos textos en lenguajes humanos, las frecuencias de las palabras siguen aproximadamente una distribución Zipf con exponentes cercanos a 1: es decir, la palabra más común aparece aproximadamente n veces la enésima más común.

La gráfica de rango-frecuencia real de un texto en lenguaje natural se desvía en cierta medida de la distribución Zipf ideal, especialmente en los dos extremos del rango. Las desviaciones pueden depender del idioma, del tema del texto, del autor, de si el texto fue traducido de otro idioma y de las reglas ortográficas utilizadas. ^{[ cita requerida ]} Alguna desviación es inevitable debido a un error de muestreo .

En el extremo de baja frecuencia, donde el rango se aproxima a N , la trama toma forma de escalera, porque cada palabra sólo puede aparecer un número entero de veces.

• La ley de Zipf se traza para varios idiomas.
• 
  Textos en alemán (1669), ruso (1972), francés (1865), italiano (1840) e inglés medieval (1460).
• 
  Don Quijote Parte I de Cervantes ( español , 1605) y Dom Casmurro de Assis ( portugués , 1899).
• 
  Ge'ez (siglo XIV), árabe (~650), hebreo (500-800), todos con vocales.
• 
  Lhasa tibetano , chino , vietnamita , todos con sílabas separadas.
• 
  Textos bíblicos: Pentateuco de la Vulgata latina y Biblia sinodal rusa , los cuatro evangelios de la versión mayoritaria griega bizantina
• 
  Don Quijote de Cervantes, Parte I (1605) y Parte II (1615).
• 
  Primeros cinco libros del Antiguo Testamento (la Torá ) en hebreo, con vocales.
• 
  Primeros cinco libros del Antiguo Testamento (el Pentateuco ) en la versión Vulgata Latina .
• 
  Primeros cuatro libros del Nuevo Testamento (los Evangelios ) en la versión Vulgata Latina .

Un gráfico log-log de la frecuencia de palabras en Wikipedia (27 de noviembre de 2006). 'Las palabras más populares son "el", "de" y "y", como era de esperar. La ley de Zipf corresponde a la porción lineal media de la curva, siguiendo aproximadamente la línea verde (1/ x ), mientras que la primera parte está más cerca de la línea magenta (1/ x ^0.5 ), mientras que la parte posterior está más cerca de la línea cian (1 /( k  +  x ) ^2.0 ) línea. Estas líneas corresponden a tres parametrizaciones distintas de la distribución de Zipf-Mandelbrot, en general una ley de potencia rota con tres segmentos: cabeza, medio y cola.

En algunas lenguas romances , las frecuencias de la docena de palabras más frecuentes se desvían significativamente de la distribución Zipf ideal, debido a que esas palabras incluyen artículos flexionados por género y número gramatical . ^{[ cita necesaria ]}

En muchas lenguas de Asia oriental , como el chino , el tibetano de Lhasa y el vietnamita , cada "palabra" consta de una sola sílaba ; una palabra de inglés a menudo se traduce a un compuesto de dos de esas sílabas. La tabla de rango-frecuencia para esas "palabras" se desvía significativamente de la ley Zipf ideal, en ambos extremos del rango. ^{[ cita necesaria ]}

Incluso en inglés, las desviaciones de la ley ideal de Zipf se vuelven más evidentes cuando se examinan grandes colecciones de textos. El análisis de un corpus de 30.000 textos en inglés mostró que sólo alrededor del 15% de los textos que contiene se ajustan bien a la ley de Zipf. Pequeños cambios en la definición de la ley de Zipf pueden aumentar este porcentaje hasta cerca del 50%. ^[42]

En estos casos, la relación observada entre rangos de frecuencia se puede modelar con mayor precisión mediante distribuciones separadas de las leyes de Zipf-Mandelbrot para diferentes subconjuntos o subtipos de palabras. Este es el caso del gráfico de rango de frecuencia de los primeros 10 millones de palabras de la Wikipedia en inglés. En particular, las frecuencias de la clase cerrada de palabras funcionales en inglés se describen mejor con s menor que 1, mientras que el crecimiento del vocabulario abierto con el tamaño del documento y el tamaño del corpus requiere s mayor que 1 para la convergencia de la Serie Armónica Generalizada . ^[3]

La guerra de los mundos de Well en texto plano, en código de libro y en cifrado Vigenère .

Cuando un texto se cifra de tal manera que cada aparición de cada palabra de texto claro distinta siempre se asigna a la misma palabra cifrada (como en el caso de cifrados de sustitución simples , como los cifrados César o los cifrados de libro de códigos simples ), el rango de frecuencia La distribución no se ve afectada. Por otro lado, si se pueden asignar apariciones separadas de la misma palabra a dos o más palabras diferentes (como sucede con el cifrado Vigenère ), la distribución Zipf normalmente tendrá una parte plana en el extremo de alta frecuencia. ^{[ cita necesaria ]}

Aplicaciones

La ley de Zipf se ha utilizado para extraer fragmentos paralelos de textos a partir de corpus comparables. ^[43] Laurance Doyle y otros han sugerido la aplicación de la ley de Zipf para la detección de lenguaje extraterrestre en la búsqueda de inteligencia extraterrestre . ^{[44] [45]}

La distribución de palabras por rango de frecuencia suele ser característica del autor y cambia poco con el tiempo. Esta característica se ha utilizado en el análisis de textos para la atribución de autoría. ^{[46] [47]}

Se ha descubierto que los grupos de signos en forma de palabras del códice del manuscrito Voynich del siglo XV satisfacen la ley de Zipf, lo que sugiere que lo más probable es que el texto no sea un engaño, sino que esté escrito en un lenguaje o cifrado oscuro. ^{[48] ​​[49]}

Ver también

• Regla del 1% (cultura de Internet)  : hipótesis de que en una comunidad virtual acecharán más personas de las que participaránPages displaying short descriptions of redirect targets
• Ley de Benford  : observación de que en muchos conjuntos de datos de la vida real, es probable que el dígito principal sea pequeño
• Ley de Bradford  – Patrón de referencias en revistas científicas
• Ley de brevedad  – Ley de lingüística
• Gravitación demográfica
• Lista de frecuencias  : lista básica de palabras de un idioma en lingüística de corpusPages displaying short descriptions of redirect targets
• Ley de Gibrat  – Principio económico
• Hapax legomenon  : palabra que solo aparece una vez en un texto o registro determinado
• Ley de Heaps  : heurística para palabras distintas en un documento
• Efecto King  : fenómeno en las estadísticas en el que los puntos de datos mejor clasificados son valores atípicos
• Cola larga  : característica de algunas distribuciones estadísticas
• Curva de Lorenz  – Representación gráfica de la distribución del ingreso o de la riqueza
• Ley de Lotka  : una aplicación de la ley de Zipf que describe la frecuencia de publicación de los autores en un campo determinado.
• Ley de Menzerath  – Ley lingüística
• Distribución de Pareto  – Distribución de probabilidad
• Principio de Pareto  : principio estadístico sobre la relación entre efectos y causas, también conocido como la "regla 80-20"
• Ley de Price  : físico e historiador de la ciencia (1922-1983)Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Principio del mínimo esfuerzo  : idea de que los agentes prefieren hacer lo que sea más fácil.
• Distribución de tamaño por rango  : distribución de tamaño por rangoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Ley de eponimia de Stigler  : observación de que ningún descubrimiento científico lleva el nombre de su descubridor
• Frecuencia de letras
• Palabras más comunes en inglés

Notas

1. como reconoció Zipf ^{[5] : 546}

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Otras lecturas

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• Kali R. (2003) "La ciudad como componente gigante: un enfoque gráfico aleatorio de la ley de Zipf", Applied Economics Letters 10 : 717–720(4)
• Shyklo A. (2017); Explicación simple del misterio de Zipf a través de una nueva distribución de rango compartido, derivada de la combinatoria del proceso de clasificación, disponible en SSRN: https://ssrn.com/abstract=2918642.
• Clara Moskowitz , Jen Christiansen y Ni-Ka Ford, "Células por número y tamaño: cuanto más grande es un tipo de célula, más rara es en el cuerpo y viceversa", Scientific American , vol. 330, núm. 1 (enero de 2024), págs. 94–95. "'A medida que se duplica el volumen de una célula, la frecuencia de células de ese tamaño se reduce a la mitad'", descubrieron el ecólogo Ian A. Hatton de la Universidad McGill y sus colegas investigadores de la ley de Zipf, dice Hatton. "Los glóbulos rojos diminutos y no nucleados son, con diferencia, las células más comunes en nuestro cuerpo, mientras que las células musculares comparativamente gigantescas de nuestros brazos y piernas son las más escasas. Ser capaz de utilizar el tamaño de una célula para estimar su frecuencia en el cuerpo podría ayudar a los médicos entender mejor ciertos sistemas del cuerpo y tipos de células difíciles de contar... El estudio sugiere, por ejemplo, que las células inmunes llamadas linfocitos son mucho más comunes de lo que los biólogos pensaban." (pág. 94.)

enlaces externos

• Strogatz, Steven (29 de mayo de 2009). "Columna invitada: Las matemáticas y la ciudad". Los New York Times . Archivado desde el original el 27 de septiembre de 2015 . Consultado el 29 de mayo de 2009 .—Un artículo sobre la ley de Zipf aplicada a las poblaciones de las ciudades.
• Ver en las esquinas (las sociedades artificiales descubren la ley de Zipf)
• Artículo de PlanetMath sobre la ley de Zipf
• Distributions de type "fractal parabolique" dans la Nature (francés, con resumen en inglés) Archivado el 24 de octubre de 2004 en Wayback Machine.
• Un análisis de la distribución del ingreso
• Lista Zipf de palabras francesas Archivada el 23 de junio de 2007 en la Wayback Machine.
• Lista Zipf para inglés, francés, español, italiano, sueco, islandés, latín, portugués y finlandés del Proyecto Gutenberg y calculadora en línea para clasificar palabras en textos Archivado el 8 de abril de 2011 en Wayback Machine.
• Citas y la ley de Zipf-Mandelbrot
• Ejemplos y modelos de la ley de Zipf (1985)
• Sistemas complejos: descomprimiendo la ley de Zipf (2011)
• Ley de Benford, ley de Zipf y distribución de Pareto de Terence Tao.
• "Ley Zipf", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]