En teoría de probabilidad , una distribución de probabilidad es infinitamente divisible si se puede expresar como la distribución de probabilidad de la suma de un número arbitrario de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (iid) . La función característica de cualquier distribución infinitamente divisible se denomina entonces función característica infinitamente divisible . [1]
Más rigurosamente, la distribución de probabilidad F es infinitamente divisible si, para cada entero positivo n , existen n variables aleatorias iid X n 1 , ..., X nn cuya suma S n = X n 1 + ... + X nn tiene la misma distribución F .
El concepto de divisibilidad infinita de las distribuciones de probabilidad fue introducido en 1929 por Bruno de Finetti . Este tipo de descomposición de una distribución se utiliza en probabilidad y estadística para encontrar familias de distribuciones de probabilidad que podrían ser opciones naturales para ciertos modelos o aplicaciones. Las distribuciones infinitamente divisibles desempeñan un papel importante en la teoría de la probabilidad en el contexto de los teoremas de límites. [1]
Ejemplos de distribuciones continuas que son infinitamente divisibles son la distribución normal , la distribución de Cauchy , la distribución de Lévy y todos los demás miembros de la familia de distribuciones estables , así como la distribución Gamma , la distribución de chi-cuadrado , la distribución de Wald , la distribución Log-normal [2] y la distribución t de Student .
Entre las distribuciones discretas, cabe citar la distribución de Poisson y la distribución binomial negativa (y, por tanto, también la distribución geométrica ). La distribución de un punto cuyo único resultado posible es 0 es también (trivialmente) infinitamente divisible.
La distribución uniforme y la distribución binomial no son infinitamente divisibles, como tampoco lo son otras distribuciones con soporte acotado (≈ dominio de tamaño finito ), aparte de la distribución de un punto mencionada anteriormente. [3] La distribución del recíproco de una variable aleatoria que tiene una distribución t de Student tampoco es infinitamente divisible. [4]
Cualquier distribución de Poisson compuesta es infinitamente divisible; esto se deduce inmediatamente de la definición.
Las distribuciones infinitamente divisibles aparecen en una amplia generalización del teorema del límite central : el límite cuando n → +∞ de la suma S n = X n 1 + ... + X nn de variables aleatorias independientes uniformemente asintóticamente despreciables (uan) dentro de una matriz triangular.
se aproxima —en sentido débil— a una distribución infinitamente divisible. La condición de asintóticamente uniformemente despreciable (uan) está dada por
Así, por ejemplo, si la condición de desprendimiento asintótico uniforme (uan) se satisface mediante un escalamiento apropiado de variables aleatorias distribuidas de forma idéntica con varianza finita , la convergencia débil es a la distribución normal en la versión clásica del teorema del límite central. De manera más general, si la condición uan se satisface mediante un escalamiento de variables aleatorias distribuidas de forma idéntica (con un segundo momento no necesariamente finito), entonces la convergencia débil es a una distribución estable . Por otro lado, para una matriz triangular de variables aleatorias de Bernoulli independientes (sin escalar) donde la condición uan se satisface mediante
La convergencia débil de la suma es hacia la distribución de Poisson con media λ como lo demuestra la conocida prueba de la ley de los números pequeños .
Toda distribución de probabilidad infinitamente divisible corresponde de manera natural a un proceso de Lévy . Un proceso de Lévy es un proceso estocástico { L t : t ≥ 0 } con incrementos independientes estacionarios , donde estacionario significa que para s < t , la distribución de probabilidad de L t − L s depende solo de t − s y donde incrementos independientes significa que esa diferencia L t − L s es independiente de la diferencia correspondiente en cualquier intervalo que no se superponga con [ s , t ], y de manera similar para cualquier número finito de intervalos que no se superponen entre sí.
Si { L t : t ≥ 0 } es un proceso de Lévy entonces, para cualquier t ≥ 0, la variable aleatoria L t será infinitamente divisible: para cualquier n , podemos elegir ( X n 1 , X n 2 , ..., X nn ) = ( L t / n − L 0 , L 2 t / n − L t / n , ..., L t − L ( n −1) t / n ). De manera similar, L t − L s es infinitamente divisible para cualquier s < t .
Por otra parte, si F es una distribución infinitamente divisible, podemos construir un proceso de Lévy { L t : t ≥ 0 } a partir de ella. Para cualquier intervalo [ s , t ] donde t − s > 0 es igual a un número racional p / q , podemos definir que L t − L s tiene la misma distribución que X q 1 + X q 2 + ... + X qp . Los valores irracionales de t − s > 0 se manejan mediante un argumento de continuidad.
Un proceso aditivo (un cadlag , un proceso estocástico continuo en probabilidad con incrementos independientes ) tiene una distribución infinitamente divisible para cualquier . Sea su familia de distribuciones infinitamente divisibles.
satisface una serie de condiciones de continuidad y monotonía. Además, si una familia de distribuciones infinitamente divisibles satisface estas condiciones de continuidad y monotonía, existe (de manera única en la ley) un proceso aditivo con esta distribución. [5]
