Cádlag

Función continua derecha con límites izquierdos

En matemáticas , una función càdlàg ( en francés : continue à droite, limite à gauche ), RCLL ("continua a la derecha con límites a la izquierda") o corlol ("continua a (la) derecha, límite a (la) izquierda") es una función definida sobre los números reales (o un subconjunto de ellos) que es continua a la derecha en todas partes y tiene límites a la izquierda en todas partes. Las funciones càdlàg son importantes en el estudio de procesos estocásticos que admiten (o incluso requieren) saltos, a diferencia del movimiento browniano , que tiene trayectorias muestrales continuas. La colección de funciones càdlàg en un dominio dado se conoce como espacio de Skorokhod .

Dos términos relacionados son càglàd , que significa " continúa a la izquierda, límite a la derecha ", la inversión de izquierda a derecha de càdlàg, y càllàl, que significa " continúa a la una, límite a la otra " (continua en un lado, límite en el otro lado), para una función que en cada punto del dominio es càdlàg o càglàd.

Definición

Las funciones de distribución acumulativa son ejemplos de funciones càdlàg.

Ejemplo de una función de distribución acumulativa con un conjunto infinito numerable de discontinuidades

Sea un espacio métrico y sea . Una función se denomina función càdlàg si, para cada , ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:E\to M}$ ${\displaystyle t\in E}$

• el límite izquierdo existe; y ${\displaystyle f(t-):=\lim _{s\to t^{-}}f(s)}$
• El límite correcto existe y es igual a . ${\displaystyle f(t+):=\lim _{s\to t^{+}}f(s)}$ ${\displaystyle f(t)}$

Es decir, es continua hacia la derecha con límites hacia la izquierda. ${\displaystyle f}$

Ejemplos

• Todas las funciones continuas en un subconjunto de números reales son funciones continuas en ese subconjunto.
• Como consecuencia de su definición, todas las funciones de distribución acumulativa son funciones de càdlàg. Por ejemplo, la acumulativa en el punto corresponde a la probabilidad de ser menor o igual que , es decir . En otras palabras, el intervalo semiabierto de interés para una distribución de dos colas es cerrado a la derecha. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {P} [X\leq r]}$ ${\displaystyle (-\infty ,r]}$
• La derivada derecha de cualquier función convexa definida en un intervalo abierto, es una función cadlag creciente. ${\displaystyle f_{+}^{\prime }}$ ${\displaystyle f}$

Espacio Skorokhod

El conjunto de todas las funciones càdlàg desde hasta se denota a menudo por (o simplemente ) y se llama espacio de Skorokhod en honor al matemático ucraniano Anatoliy Skorokhod . Al espacio de Skorokhod se le puede asignar una topología que intuitivamente nos permite "mover un poco el espacio y el tiempo" (mientras que la topología tradicional de convergencia uniforme solo nos permite "mover un poco el espacio"). ^[1] Para simplificar, tome y — vea Billingsley ^[2] para una construcción más general. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {D} (E:M)}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle E=[0,T]}$ ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$

Primero debemos definir un análogo del módulo de continuidad , . Para cualquier , establezca ${\displaystyle \varpi '_{f}(\delta )}$ ${\displaystyle F\subseteq E}$

${\displaystyle w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|}$

y, para , defina el módulo càdlàg como ${\displaystyle \delta >0}$

${\displaystyle \varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),}$

donde el ínfimo recorre todas las particiones , con . Esta definición tiene sentido para funciones no càdlàg (así como el módulo de continuidad habitual tiene sentido para funciones discontinuas). es càdlàg si y solo si . ${\displaystyle \Pi =\{0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T\},\;k\in E}$ ${\displaystyle \min _{i}(t_{i}-t_{i+1})>\delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\varpi '_{f}(\delta )=0}$

Ahora denotemos el conjunto de todas las biyecciones continuas estrictamente crecientes de a sí mismo (estas son "ondulaciones en el tiempo"). Sea ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|}$

denota la norma uniforme sobre funciones en . Defina la métrica de Skorokhod sobre por ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$

${\displaystyle \sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|f-g\circ \lambda \|\},}$

donde es la función identidad. En términos de la intuición del "bamboleo", mide el tamaño del "bamboleo en el tiempo" y mide el tamaño del "bamboleo en el espacio". ${\displaystyle I:E\to E}$ ${\displaystyle \|\lambda -I\|}$ ${\displaystyle \|f-g\circ \lambda \|}$

La métrica de Skorokhod es, en efecto, una métrica. La topología generada por se denomina topología de Skorokhod en . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$

Una métrica equivalente,

${\displaystyle d(f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }(\|\lambda -I\|+\|f-g\circ \lambda \|),}$

Se introdujo de forma independiente y se utilizó en la teoría de control para el análisis de sistemas de conmutación. ^[3]

Propiedades del espacio de Skorokhod

Generalización de la topología uniforme

El espacio de funciones continuas en es un subespacio de . La topología de Skorokhod relativizada coincide con la topología uniforme allí. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle C}$

Lo completo

Aunque no es un espacio completo con respecto a la métrica de Skorokhod , existe una métrica topológicamente equivalente con respecto a la cual es completa. ^[4] ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$

Posibilidad de separación

Con respecto a o , es un espacio separable . Por lo tanto, el espacio de Skorokhod es un espacio polaco . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$

Estrechez en el espacio de Skorokhod

Mediante una aplicación del teorema de Arzelà-Ascoli , se puede demostrar que una secuencia de medidas de probabilidad en el espacio de Skorokhod es ajustada si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle (\mu _{n})_{n=1,2,\dots }}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\|f\|\geq a\}{\big )}=0,}$

y

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}{\big )}=0{\text{ for all }}\varepsilon >0.}$

Estructura algebraica y topológica

Según la topología de Skorokhod y la adición puntual de funciones, no existe un grupo topológico, como se puede observar en el siguiente ejemplo: ${\displaystyle \mathbb {D} }$

Sea un intervalo semiabierto y tomemos como una sucesión de funciones características. A pesar de que en la topología de Skorokhod la sucesión no converge a 0. ${\displaystyle E=[0,2)}$ ${\displaystyle f_{n}=\chi _{[1-1/n,2)}\in \mathbb {D} }$ ${\displaystyle f_{n}\rightarrow \chi _{[1,2)}}$ ${\displaystyle f_{n}-\chi _{[1,2)}}$

Véase también

• Espacio clásico de Wiener

Referencias

1. "Espacio de Skorokhod - Enciclopedia de Matemáticas".
2. Billingsley, P. Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York: Wiley.
3. Georgiou, TT y Smith, MC (2000). "Robustez de un oscilador de relajación". Revista internacional de control robusto y no lineal . 10 (11–12): 1005–1024. doi :10.1002/1099-1239(200009/10)10:11/12<1005::AID-RNC536>3.0.CO;2-Q.{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
4. Billingsley, P. Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York: Wiley.

Lectura adicional

• Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida . Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
• Billingsley, Patrick (1999). Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.