Función de signo

Función matemática que devuelve -1, 0 o 1

función de signo ${\displaystyle y=\operatorname {sgn} x}$

En matemáticas , la función signo o función signum (de signum , "signo" en latín ) es una función que devuelve el signo de un número real . En notación matemática, la función de signo suele representarse como . ^[1] ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$

Definición

La función signum de un número real es una función por partes que se define de la siguiente manera: ^[1] ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x:={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$$

Propiedades

La función de signo no es continua en . ${\displaystyle x=0}$

Cualquier número real se puede expresar como el producto de su valor absoluto por su función de signo:

$${\displaystyle x=|x|\operatorname {sgn} x.}$$

De ello se deduce que siempre que no sea igual a 0 tenemos ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}\,.}$$

De manera similar, para cualquier número real , ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn} x.}$$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x^{n}=(\operatorname {sgn} x)^{n}.}$$

derivadaderivada débilsubdiferencial ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}|x|}{{\text{d}}x}}=\operatorname {sgn} x{\text{ for }}x\neq 0\,.}$$

La función signum es diferenciable con derivada 0 en todas partes excepto en 0. No es diferenciable en 0 en el sentido ordinario, pero bajo la noción generalizada de diferenciación en la teoría de la distribución , la derivada de la función signum es dos veces la función delta de Dirac , que se puede demostrar usando la identidad ^[2]

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x=2H(x)-1\,,}$$

función escalón de Heaviside^[3] ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle H(0)={\frac {1}{2}}}$

$${\displaystyle {\frac {{\text{d}}\operatorname {sgn} x}{{\text{d}}x}}=2{\frac {{\text{d}}H(x)}{{\text{d}}x}}=2\delta (x)\,.}$$

La transformada de Fourier de la función signum es ^[4]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(\operatorname {sgn} x)e^{-ikx}{\text{d}}x=PV{\frac {2}{ik}},}$$

valor principal de Cauchy ${\displaystyle PV}$

El signum también se puede escribir usando la notación entre corchetes de Iverson :

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0]\,.}$$

El signo también se puede escribir usando las funciones de valor mínimo y absoluto:

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x={\Biggl \lfloor }{\frac {x}{|x|+1}}{\Biggr \rfloor }-{\Biggl \lfloor }{\frac {-x}{|x|+1}}{\Biggr \rfloor }\,.}$$

${\displaystyle 0^{0}}$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x=0^{\left(-x+\left\vert x\right\vert \right)}-0^{\left(x+\left\vert x\right\vert \right)}\,.}$$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-2^{-nx}}{1+2^{-nx}}}\,.}$$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\pi }}{\rm {arctan}}(nx)\,=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{\pi }}\tan ^{-1}(nx)\,.}$$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x=\lim _{n\to \infty }\tanh(nx)\,.}$$

tangente hiperbólicafunción trigonométrica ${\displaystyle \tanh(x)}$

Para , una aproximación suave de la función de signo es ${\displaystyle k>1}$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x\approx \tanh kx\,.}$$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} x\approx {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}\,.}$$

${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+\varepsilon ^{2}}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

Ver Función escalonada de Heaviside § Aproximaciones analíticas .

signo complejo

La función signum se puede generalizar a números complejos como:

$${\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}}$$

puntocírculo unitarioplano complejo ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\neq 0}$

$${\displaystyle \operatorname {sgn} z=e^{i\arg z}\,,}$$

función de argumento complejo ${\displaystyle \arg }$

Por razones de simetría, y para mantener una generalización adecuada de la función signum en los reales, también en el dominio complejo que uno suele definir, por : ${\displaystyle z=0}$

$${\displaystyle \operatorname {sgn}(0+0i)=0}$$

Otra generalización de la función de signo para expresiones reales y complejas es , ^[5] que se define como: ${\displaystyle {\text{csgn}}}$

$${\displaystyle \operatorname {csgn} z={\begin{cases}1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn} \mathrm {Im} (z)&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}}$$

${\displaystyle {\text{Re}}(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\text{Im}}(z)}$ ${\displaystyle z}$

Entonces tenemos (para ): ${\displaystyle z\neq 0}$

$${\displaystyle \operatorname {csgn} z={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.}$$

Función signum generalizada

En valores reales de , es posible definir una función generalizada –versión de la función signum, tal que en todas partes, incluido el punto , a diferencia de , para el cual . Este signum generalizado permite la construcción del álgebra de funciones generalizadas , pero el precio de tal generalización es la pérdida de conmutatividad . En particular, el signum generalizado anticonmuta con la función delta de Dirac ^[6] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon (x)}$ ${\displaystyle \varepsilon (x)^{2}=1}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ ${\displaystyle (\operatorname {sgn} 0)^{2}=0}$

$${\displaystyle \varepsilon (x)\delta (x)+\delta (x)\varepsilon (x)=0\,;}$$

${\displaystyle \varepsilon (x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ ${\displaystyle \varepsilon (0)}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} 0=0}$

Generalización a matrices

Gracias al teorema de descomposición polar , una matriz ( y ) se puede descomponer como un producto donde es una matriz unitaria y es una matriz definida positiva autoadjunta, o hermitiana, ambas en . Si es invertible, entonces dicha descomposición es única y desempeña el papel de signum. Una construcción dual viene dada por la descomposición donde es unitaria, pero generalmente diferente a . Esto lleva a que cada matriz invertible tenga un signo izquierdo y un signo derecho únicos . ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}{\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {P}}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {R}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$

En el caso especial donde y la matriz (invertible) , que se identifica con el número complejo (distinto de cero) , entonces las matrices signum satisfacen y se identifican con el signum complejo de ,. En este sentido, la descomposición polar generaliza a matrices la descomposición signo-módulo de números complejos. ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\ n=2,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]}$ ${\displaystyle a+\mathrm {i} b=c}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {P}}=\left[{\begin{array}{rr}a&-b\\b&a\end{array}}\right]/|c|}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} c=c/|c|}$

Ver también

• Valor absoluto
• función pesada
• Numero negativo
• función rectangular
• Función sigmoidea ( sigmoidea dura )
• Función escalonada ( función constante por partes )
• Comparación de tres vías
• No hay paso
• Descomposición polar

Notas

1. "Función Signum - Maeckes". www.maeckes.nl .
2. Weisstein, Eric W. "Firmar". MundoMatemático .
3. Weisstein, Eric W. "Función de paso Heaviside". MundoMatemático .
4. Madrigueras, BL; Colwell, DJ (1990). "La transformada de Fourier de la función escalón unitario". Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 21 (4): 629–635. doi :10.1080/0020739900210418.
5. Documentación de Arce V. 21 de mayo de 1998
6. Yu.M.Shirokov (1979). "Álgebra de funciones generalizadas unidimensionales". Física Teórica y Matemática . 39 (3): 471–477. doi :10.1007/BF01017992. Archivado desde el original el 8 de diciembre de 2012.