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Teoría de Tomita-Takesaki

En la teoría de las álgebras de von Neumann , una parte del campo matemático del análisis funcional , la teoría de Tomita-Takesaki es un método para construir automorfismos modulares de las álgebras de von Neumann a partir de la descomposición polar de una determinada involución. Es esencial para la teoría de los factores de tipo III y ha conducido a una buena teoría de la estructura para estos objetos que antes eran intratables.

La teoría fue introducida por Minoru Tomita  (1967), pero su trabajo fue difícil de seguir y en su mayor parte no fue publicado, y se le prestó poca atención hasta que Masamichi Takesaki  (1970) escribió un relato de la teoría de Tomita. [1]

Automorfismos modulares de un estado

Supongamos que M es un álgebra de von Neumann que actúa sobre un espacio de Hilbert H , y Ω es un vector cíclico y separador de H de norma 1. ( Cíclico significa que es denso en H , y separador significa que la función de M a es inyectiva). Escribimos para el estado vectorial de M , de modo que H se construye a partir de usando la construcción de Gelfand–Naimark–Segal . Dado que Ω es separador, es fiel.

Podemos definir un operador antilineal (no necesariamente acotado) S 0 en H con dominio denso estableciendo para todo m en M , y de manera similar podemos definir un operador antilineal (no necesariamente acotado) F 0 en H con dominio denso M'Ω estableciendo para m en M ′, donde M ′ es el conmutador de M .

Estos operadores son cerrables y denotamos sus cierres por S y F = S *. Tienen descomposiciones polares .

donde es una isometría antilineal de H llamada conjugación modular y es un operador positivo (por lo tanto, autoadjunto) y densamente definido llamado operador modular .

Teorema de conmutación

El resultado principal de la teoría de Tomita-Takesaki establece que:

para todo t y que

el conmutador de M .

Hay un grupo de 1 parámetro de automorfismos modulares de M asociado con el estado , definido por .

El operador de conjugación modular J y el grupo unitario de 1 parámetro satisfacen

y

La bicicleta de Connes

El grupo de automorfismos modulares de un álgebra de von Neumann M depende de la elección del estado φ. Connes descubrió que cambiar el estado no cambia la imagen del automorfismo modular en el grupo de automorfismos externos de M . Más precisamente, dados dos estados fieles φ y ψ de M , podemos encontrar elementos unitarios u t de M para todo t real tal que

de modo que los automorfismos modulares difieren en automorfismos internos, y además u t satisface la condición de 1-cociclo

En particular, existe un homomorfismo canónico del grupo aditivo de los reales al grupo de automorfismo externo de M , que es independiente de la elección del estado fiel.

Estados de KMS

El término estado KMS proviene de la condición de Kubo-Martin-Schwinger en mecánica estadística cuántica .

Un estado KMS en un álgebra de von Neumann M con un grupo de automorfismos de 1 parámetro dado α t es un estado fijado por los automorfismos tales que para cada par de elementos A , B de M hay una función continua acotada F en la franja 0 ≤ Im( t ) ≤ 1 , holomorfa en el interior, tal que

Takesaki y Winnink demostraron que cualquier estado (normal semifinito fiel) es un estado KMS para el grupo de 1 parámetro de automorfismos modulares . Además, esto caracteriza los automorfismos modulares de .

(A menudo hay un parámetro adicional, denotado por β, utilizado en la teoría de estados KMS. En la descripción anterior, esto se ha normalizado a 1 mediante el reescalado de la familia de automorfismos de 1 parámetro).

Estructura de los factores tipo III

Hemos visto anteriormente que existe un homomorfismo canónico δ del grupo de números reales al grupo de automorfismos externos de un álgebra de von Neumann, dado por automorfismos modulares. El núcleo de δ es un invariante importante del álgebra. Para simplificar, supongamos que el álgebra de von Neumann es un factor. Entonces, las posibilidades para el núcleo de δ son:

Álgebras de Hilbert por la izquierda

Los principales resultados de la teoría de Tomita-Takesaki se demostraron utilizando álgebras de Hilbert izquierdas y derechas. [2]

Un álgebra de Hilbert izquierda es un álgebra con involución xx y un producto interno (·,·) tal que

  1. La multiplicación por la izquierda por un a ∈ fijo es un operador acotado.
  2. ♯ es el adjunto; en otras palabras ( xy , z ) = ( y , x z ) .
  3. La involución está precerrada.
  4. La subálgebra abarcada por todos los productos xy es densa con respecto al producto interno.

Un álgebra de Hilbert derecha se define de manera similar (con una involución ♭) con izquierda y derecha invertidas en las condiciones anteriores.

Un álgebra de Hilbert (unimodular) es un álgebra de Hilbert por la izquierda para la cual ♯ es una isometría, en otras palabras ( x , y ) = ( y , x ) . En este caso la involución se denota por x * en lugar de x y coincide con la conjugación modular J . Este es el caso especial de las álgebras de Hilbert . El operador modular es trivial y el álgebra de von Neumann correspondiente es una suma directa de las álgebras de von Neumann de tipo I y tipo II.

Ejemplos:

Para un álgebra de Hilbert fija por la izquierda , sea H su completitud en el espacio de Hilbert. La multiplicación por la izquierda por x produce un operador acotado λ( x ) en H y, por lo tanto, un *-homomorfismo λ de en B ( H ). El *-álgebra genera el álgebra de von Neumann

El descubrimiento clave de Tomita se relaciona con las notables propiedades del cierre del operador y su descomposición polar. Si S denota este cierre (un operador no acotado lineal conjugado), sea Δ = S * S , un operador no acotado positivo. Sea S = J Δ 1/2 su descomposición polar . Entonces J es una isometría lineal conjugada que satisface [4]

y .

Δ se llama operador modular y J la conjugación modular .

En Takesaki (2003, pp. 5-17), hay una prueba autónoma del teorema de conmutación principal de Tomita-Takesaki:

y

La prueba depende de la evaluación de la integral del operador: [5]

Por el teorema espectral [6] , esto equivale a demostrar la igualdad con e x reemplazando Δ; la identidad para escalares se deduce por integración de contorno. Refleja el hecho bien conocido de que, con una normalización adecuada, la función es su propia transformada de Fourier.

Notas

  1. ^ Takesaki 2003, págs. 38-39
  2. ^ Takesaki 2003, págs. 1–39
  3. ^ de Takesaki 2003, pág. 2
  4. ^ Takesaki 2003, pág. 4
  5. ^ Takesaki 2003, págs. 15-16
  6. ^ Rudin 1991.

Referencias