En geometría , la línea de Newton-Gauss (o línea de Gauss-Newton ) es la línea que une los puntos medios de las tres diagonales de un cuadrilátero completo .
Los puntos medios de las dos diagonales de un cuadrilátero convexo con dos lados paralelos como máximo son distintos y, por lo tanto, determinan una línea, la línea de Newton . Si los lados de dicho cuadrilátero se prolongan para formar un cuadrilátero completo, las diagonales del cuadrilátero siguen siendo diagonales del cuadrilátero completo y la línea de Newton del cuadrilátero es la línea de Newton-Gauss del cuadrilátero completo.
Cuatro líneas cualesquiera en posición general (no hay dos líneas paralelas ni tres concurrentes) forman un cuadrilátero completo . Esta configuración consta de un total de seis puntos, los puntos de intersección de las cuatro líneas, con tres puntos en cada línea y exactamente dos líneas a través de cada punto. [1] Estos seis puntos se pueden dividir en pares de modo que los segmentos de línea determinados por cualquier par no intersequen ninguna de las cuatro líneas dadas excepto en los puntos finales. Estos tres segmentos de línea se denominan diagonales del cuadrilátero completo.
Es un teorema bien conocido que los tres puntos medios de las diagonales de un cuadrilátero completo son colineales . [2] Hay varias demostraciones del resultado basadas en áreas [2] o productos de cuña [3] o, como la siguiente demostración, en el teorema de Menelao , debido a Hillyer y publicado en 1920. [4]
Sea el cuadrilátero completo ABCA'B'C' etiquetado como en el diagrama con diagonales AA' , BB' , CC' y sus respectivos puntos medios L, M, N . Sean los puntos medios de BC , CA' , A'B P, Q, R respectivamente. Usando triángulos similares se ve que QR interseca a AA' en L , RP interseca a BB' en M y PQ interseca a CC' en N . Nuevamente, los triángulos similares proporcionan las siguientes proporciones,
Sin embargo, la línea A'B'C interseca los lados del triángulo △ ABC , por lo que, según el teorema de Menelao, el producto de los términos de los lados derechos es −1. Por lo tanto, el producto de los términos de los lados izquierdos también es −1 y, nuevamente, según el teorema de Menelao, los puntos L, M, N son colineales en los lados del triángulo △ PQR .
Los siguientes son algunos resultados que utilizan la línea de Newton-Gauss de cuadriláteros completos que están asociados con cuadriláteros cíclicos , basados en el trabajo de Barbu y Patrascu. [5]
Dado cualquier cuadrilátero cíclico ABCD , sea F el punto de intersección entre las dos diagonales AC y BD . Prolonga las diagonales AB y CD hasta que se encuentren en el punto de intersección, E . Sea N el punto medio del segmento EF y M el punto medio del segmento BC ( Figura 1).
Si el punto medio del segmento de recta BF es P , la recta de Newton-Gauss del cuadrilátero completo ABCDEF y la recta PM determinan un ángulo ∠ PMN igual a ∠ EFD .
Primero demuestre que los triángulos △ NPM , △ EDF son semejantes .
Como BE ∥ PN y FC ∥ PM , sabemos que ∠ NPM = ∠ EAC . Además,
En el cuadrilátero cíclico ABCD , se cumplen estas igualdades :
Por lo tanto, ∠ NPM = ∠ EDF .
Sean R 1 , R 2 los radios de las circunferencias circunscritas de △ EDB , △ FCD respectivamente. Aplicando la ley de senos a los triángulos, se obtiene:
Como BE = 2 · PN y FC = 2 · PM , esto demuestra la igualdad. Se deduce la similitud de los triángulos △ PMN , △ DFE y ∠ NMP = ∠ EFD .
Si Q es el punto medio del segmento de recta FC , se deduce por el mismo razonamiento que ∠ NMQ = ∠ EFA .
La línea que pasa por E paralela a la línea de Newton-Gauss del cuadrilátero completo ABCDEF y la línea EF son líneas isogonales de ∠ BEC , es decir, cada línea es una reflexión de la otra alrededor de la bisectriz del ángulo . [5] (Figura 2)
Los triángulos △ EDF , △ NPM son similares según el argumento anterior, por lo que ∠ DEF = ∠ PNM . Sea E' el punto de intersección de BC y la línea paralela a la línea de Newton-Gauss NM que pasa por E .
Como PN ∥ BE y NM ∥ EE', ∠ BEF = ∠ PNF y ∠ FNM = ∠ E'EF .
Por lo tanto,
Sean G y H las proyecciones ortogonales del punto F sobre las rectas AB y CD respectivamente.
Los cuadriláteros MPGN y MQHN son cuadriláteros cíclicos. [5]
∠ EFD = ∠ PMN , como se mostró anteriormente. Los puntos P y N son los circuncentros respectivos de los triángulos rectángulos △ BFG , △ EFG . Por lo tanto, ∠ PGF = ∠ PFG y ∠ FGN = ∠ GFN .
Por lo tanto,
Por lo tanto, MPGN es un cuadrilátero cíclico y, por el mismo razonamiento, MQHN también se encuentra en un círculo.
Extienda las líneas GF, HF para intersecar EC, EB en I, J respectivamente (Figura 4).
Los cuadriláteros completos EFGHIJ y ABCDEF tienen la misma línea de Newton-Gauss. [5]
Los dos cuadriláteros completos comparten una diagonal, EF . N se encuentra en la línea de Newton-Gauss de ambos cuadriláteros. N es equidistante de G y H , ya que es el circuncentro del cuadrilátero cíclico EGFH .
Si los triángulos △ GMP , △ HMQ son congruentes , se deduce que M se encuentra en la bisectriz perpendicular de la línea HG . Por lo tanto, la línea MN contiene el punto medio de GH , y es la línea de Newton-Gauss de EFGHIJ .
Para demostrar que los triángulos △ GMP , △ HMQ son congruentes, primero observe que PMQF es un paralelogramo , ya que los puntos M, P son puntos medios de BF , BC respectivamente.
Por lo tanto,
Tenga en cuenta también que
Por eso,
Por lo tanto, △ GMP y △ HMQ son congruentes según SAS.
Debido a que △ GMP y △ HMQ son triángulos congruentes, sus circunferencias circunscritas MPGN y MQHN también son congruentes .
El punto en el infinito a lo largo de la línea de Newton es el conjugado isogonal del punto de Miquel.
La prueba de la línea de Newton-Gauss fue desarrollada por los dos matemáticos que le dan nombre: Sir Isaac Newton y Carl Friedrich Gauss . [ cita requerida ] El marco inicial para este teorema proviene del trabajo de Newton , en su teorema anterior sobre la línea de Newton , en el que Newton demostró que el centro de una cónica inscrita en un cuadrilátero se encuentra en la línea de Newton-Gauss. [6]
El teorema de Gauss y Bodenmiller establece que los tres círculos cuyos diámetros son las diagonales de un cuadrilátero completo son coaxiales . [7]