Teorema de Fermat (puntos estacionarios)

Método para encontrar máximos y mínimos locales de funciones diferenciables en conjuntos abiertos

En matemáticas , el teorema de Fermat (también conocido como teorema del extremo interior ) es un método para encontrar máximos y mínimos locales de funciones diferenciables en conjuntos abiertos al demostrar que cada extremo local de la función es un punto estacionario (la derivada de la función es cero en ese punto). El teorema de Fermat es un teorema de análisis real , llamado así en honor a Pierre de Fermat .

Al utilizar el teorema de Fermat, los extremos potenciales de una función , con derivada , se encuentran resolviendo una ecuación en . El teorema de Fermat proporciona solo una condición necesaria para los valores extremos de la función, ya que algunos puntos estacionarios son puntos de inflexión (no un máximo o mínimo). La segunda derivada de la función , si existe, a veces se puede utilizar para determinar si un punto estacionario es un máximo o un mínimo. ${\displaystyle \displaystyle f}$ ${\displaystyle \displaystyle f'}$ ${\displaystyle \displaystyle f'}$

Declaración

Una forma de expresar el teorema de Fermat es que, si una función tiene un extremo local en un punto determinado y es diferenciable en él, entonces la derivada de la función en ese punto debe ser cero. En un lenguaje matemático preciso:

Sea una función y supongamos que es un punto donde tiene un extremo local. Si es diferenciable en , entonces . ${\displaystyle f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$

Otra forma de entender el teorema es mediante el enunciado contrapositivo : si la derivada de una función en cualquier punto no es cero, entonces no existe un extremo local en ese punto. Formalmente:

Si es diferenciable en , y , entonces no es un extremo local de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ ${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$

Corolario

Los extremos globales de una función f en un dominio A ocurren solo en los límites , puntos no diferenciables y puntos estacionarios. Si es un extremo global de f , entonces se cumple una de las siguientes condiciones: ${\displaystyle x_{0}}$

• límite: está en el límite de A ${\displaystyle x_{0}}$
• no diferenciable: f no es diferenciable en ${\displaystyle x_{0}}$
• punto estacionario: es un punto estacionario de f ${\displaystyle x_{0}}$

Extensión

En dimensiones superiores, se cumple exactamente la misma afirmación; sin embargo, la prueba es ligeramente más complicada. La complicación es que en una dimensión, uno puede moverse hacia la izquierda o hacia la derecha a partir de un punto, mientras que en dimensiones superiores, uno puede moverse en muchas direcciones. Por lo tanto, si la derivada no se anula, uno debe argumentar que hay alguna dirección en la que la función aumenta y, por lo tanto, en la dirección opuesta la función disminuye. Este es el único cambio en la prueba o el análisis.

La afirmación también se puede extender a variedades diferenciables . Si es una función diferenciable en una variedad , entonces sus extremos locales deben ser puntos críticos de , en particular puntos donde la derivada exterior es cero. ^{[1] [ se necesita una mejor fuente ]} ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle df}$

Aplicaciones

El teorema de Fermat es central para el método de cálculo para determinar máximos y mínimos: en una dimensión, uno puede encontrar los extremos simplemente calculando los puntos estacionarios (calculando los ceros de la derivada), los puntos no diferenciables y los puntos límite, y luego investigando este conjunto para determinar los extremos.

Esto se puede hacer evaluando la función en cada punto y tomando el máximo, o analizando las derivadas más a fondo, utilizando la prueba de la primera derivada , la prueba de la segunda derivada o la prueba de la derivada de orden superior .

Argumento intuitivo

Intuitivamente, una función diferenciable se aproxima por su derivada – una función diferenciable se comporta infinitesimalmente como una función lineal o más precisamente, Por lo tanto, desde la perspectiva de que “si f es diferenciable y tiene derivada no nula en entonces no alcanza un extremo en ” la intuición es que si la derivada en es positiva, la función es creciente cerca mientras que si la derivada es negativa, la función es decreciente cerca En ambos casos, no puede alcanzar un máximo o mínimo, porque su valor está cambiando. Solo puede alcanzar un máximo o mínimo si “se detiene” – si la derivada se nula (o si no es diferenciable, o si uno llega al límite y no puede continuar). Sin embargo, hacer que “se comporte como una función lineal” sea preciso requiere una prueba analítica cuidadosa. ${\displaystyle a+bx,}$ ${\displaystyle f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

Más precisamente, la intuición puede enunciarse así: si la derivada es positiva, hay un punto a la derecha de donde f es mayor, y un punto a la izquierda de donde f es menor, y por tanto f no alcanza ni un máximo ni un mínimo en . A la inversa, si la derivada es negativa, hay un punto a la derecha que es menor, y un punto a la izquierda que es mayor. Enunciado de esta manera, la prueba consiste simplemente en traducir esto a ecuaciones y verificar "cuánto mayor o menor". ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

La intuición se basa en el comportamiento de las funciones polinómicas . Supongamos que la función f tiene un máximo en x ₀ , siendo el razonamiento similar para un mínimo de función. Si es un máximo local entonces, aproximadamente, hay un entorno (posiblemente pequeño) de tal como la función "es creciente antes" y "decreciente después" ^{[nota 1]} . Como la derivada es positiva para una función creciente y negativa para una función decreciente, es positiva antes y negativa después . no salta valores (por el teorema de Darboux ), por lo que tiene que ser cero en algún punto entre los valores positivo y negativo. El único punto en el entorno donde es posible tener es . ${\displaystyle \displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \displaystyle f'}$ ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \displaystyle f'}$ ${\displaystyle \displaystyle f'(x)=0}$ ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$

El teorema (y su demostración a continuación) es más general que la intuición en el sentido de que no requiere que la función sea diferenciable en un entorno alrededor de . Es suficiente que la función sea diferenciable solo en el punto extremo. ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$

Prueba

Prueba 1: Las derivadas no nulas implican que no hay extremos

Supóngase que f es diferenciable en con derivada K, y supongamos sin pérdida de generalidad que entonces la recta tangente en tiene pendiente positiva (es creciente). Entonces hay un entorno de en el cual las rectas secantes que pasan por todas tienen pendiente positiva, y por lo tanto a la derecha de f es mayor, y a la izquierda de f es menor. ${\displaystyle x_{0}\in (a,b),}$ ${\displaystyle K>0,}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle x_{0},}$

El esquema de la prueba es:

• una afirmación infinitesimal sobre la derivada (línea tangente) implica ${\displaystyle x_{0}}$
• un enunciado local sobre cocientes de diferencias (líneas secantes) cerca del cual implica ${\displaystyle x_{0},}$
• una declaración local sobre el valor de f cerca ${\displaystyle x_{0}.}$

Formalmente, por la definición de derivada, significa que ${\displaystyle f'(x_{0})=K}$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon )-f(x_{0})}{\varepsilon }}=K.}$

En particular, para valores suficientemente pequeños (menores que algunos ), el cociente debe ser al menos por la definición de límite. Así, en el intervalo se tiene: ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle K/2,}$ ${\displaystyle (x_{0}-\varepsilon _{0},x_{0}+\varepsilon _{0})}$

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+\varepsilon )-f(x_{0})}{\varepsilon }}>K/2;}$

Se ha reemplazado la igualdad en el límite (un enunciado infinitesimal) por una desigualdad en un entorno (un enunciado local). Por lo tanto, reordenando la ecuación, si entonces: ${\displaystyle \varepsilon >0,}$

${\displaystyle f(x_{0}+\varepsilon )>f(x_{0})+(K/2)\varepsilon >f(x_{0}),}$

Entonces, en el intervalo a la derecha, f es mayor que y si entonces: ${\displaystyle f(x_{0}),}$ ${\displaystyle \varepsilon <0,}$

${\displaystyle f(x_{0}+\varepsilon )<f(x_{0})+(K/2)\varepsilon <f(x_{0}),}$

Entonces, en el intervalo a la izquierda, f es menor que ${\displaystyle f(x_{0}).}$

Por lo tanto no hay un máximo o mínimo local o global de f. ${\displaystyle x_{0}}$

Prueba 2: El extremo implica que la derivada se desvanece

Alternativamente, se puede comenzar asumiendo que es un máximo local y luego demostrar que la derivada es 0. ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$

Supongamos que es un máximo local (se aplica una prueba similar si es un mínimo local). Entonces existe tal que y tal que tenemos para todos con . Por lo tanto, para cualquier tenemos ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )\subset (a,b)}$ ${\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$ ${\displaystyle h\in (0,\delta )}$

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\leq 0.}$

Como el límite de esta relación a medida que se acerca a 0 desde arriba existe y es igual a concluimos que . Por otra parte, para observamos que ${\displaystyle \displaystyle h}$ ${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})}$ ${\displaystyle f'(x_{0})\leq 0}$ ${\displaystyle h\in (-\delta ,0)}$

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\geq 0}$

pero de nuevo el límite a medida que se acerca a 0 desde abajo existe y es igual a por lo que también tenemos . ${\displaystyle \displaystyle h}$ ${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})}$ ${\displaystyle f'(x_{0})\geq 0}$

Por lo tanto concluimos que ${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})=0.}$

Precauciones

Un error sutil que se suele cometer en el contexto del teorema de Fermat es suponer que hace una afirmación más contundente sobre el comportamiento local de lo que en realidad hace. En particular, el teorema de Fermat no dice que las funciones (monótonamente) "aumenten hasta" o "decrezcan desde" un máximo local. Esto es muy similar al error de pensar que un límite significa "aproximarse monótonamente a un punto". En el caso de las "funciones de buen comportamiento" (lo que aquí significa continuamente diferenciables ), algunas intuiciones son válidas, pero en general las funciones pueden comportarse mal, como se ilustra a continuación. La moraleja es que las derivadas determinan el comportamiento infinitesimal y que las derivadas continuas determinan el comportamiento local .

Funciones continuamente diferenciables

Si f es continuamente diferenciable en un entorno abierto del punto , entonces significa que f es creciente en un entorno de como sigue. ${\displaystyle \left(C^{1}\right)}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f'(x_{0})>0}$ ${\displaystyle x_{0},}$

Si y entonces por continuidad de la derivada, existe alguna tal que para todo . Entonces f es creciente en este intervalo, por el teorema del valor medio : la pendiente de cualquier recta secante es al menos igual a la pendiente de alguna recta tangente. ${\displaystyle f'(x_{0})=K>0}$ ${\displaystyle f\in C^{1},}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}>0}$ ${\displaystyle f'(x)>K/2}$ ${\displaystyle x\in (x_{0}-\varepsilon _{0},x_{0}+\varepsilon _{0})}$ ${\displaystyle K/2,}$

Sin embargo, en el enunciado general del teorema de Fermat, donde sólo se da que la derivada en es positiva, sólo se puede concluir que las líneas secantes que pasan por ellas tendrán pendiente positiva, para líneas secantes entre puntos suficientemente cercanos y suficientemente cercanos. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Por el contrario, si la derivada de f en un punto es cero ( es un punto estacionario), en general no se puede concluir nada sobre el comportamiento local de f : puede aumentar hacia un lado y disminuir hacia el otro (como en ), aumentar hacia ambos lados (como en ), disminuir hacia ambos lados (como en ), o comportarse de formas más complicadas, como oscilar (como en , como se analiza más adelante). ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x^{3}}$ ${\displaystyle x^{4}}$ ${\displaystyle -x^{4}}$ ${\displaystyle x^{2}\sin(1/x)}$

Se puede analizar el comportamiento infinitesimal a través de la prueba de la segunda derivada y la prueba de la derivada de orden superior , si la función es suficientemente diferenciable, y si la primera derivada no nula en es una función continua , entonces se puede concluir un comportamiento local (es decir, si es la primera derivada no nula, y es continua, entonces ), entonces se puede tratar a f como localmente cercano a un polinomio de grado k, ya que se comporta aproximadamente como pero si la derivada k -ésima no es continua, no se pueden sacar tales conclusiones, y puede comportarse de manera bastante diferente. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f^{(k)}(x_{0})\neq 0}$ ${\displaystyle f^{(k)}}$ ${\displaystyle f\in C^{k}}$ ${\displaystyle f^{(k)}(x_{0})(x-x_{0})^{k},}$

Funciones patológicas

La función oscila cada vez más rápidamente entre y a medida que x se acerca a 0. En consecuencia, la función oscila cada vez más rápidamente entre 0 y a medida que x se acerca a 0. Si uno extiende esta función definiendo entonces la función extendida es continua y en todas partes diferenciable (es diferenciable en 0 con derivada 0), pero tiene un comportamiento bastante inesperado cerca de 0: en cualquier entorno de 0 alcanza 0 infinitas veces, pero también es igual a (un número positivo) infinitamente a menudo. ${\displaystyle \sin(1/x)}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f(x)=(1+\sin(1/x))x^{2}}$ ${\displaystyle 2x^{2}}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle 2x^{2}}$

Siguiendo en esta línea, se puede definir , que oscila entre y . La función tiene su mínimo local y global en , pero en ningún entorno de 0 disminuye hasta o aumenta desde 0; oscila de forma descontrolada cerca de 0. ${\displaystyle g(x)=(2+\sin(1/x))x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 3x^{2}}$ ${\displaystyle x=0}$

Esta patología se puede entender porque, si bien la función g es diferenciable en todas partes, no es continuamente diferenciable: el límite de as no existe, por lo que la derivada no es continua en 0. Esto refleja la oscilación entre valores crecientes y decrecientes a medida que se acerca a 0. ${\displaystyle g'(x)}$ ${\displaystyle x\to 0}$

Véase también

• Optimización (matemáticas)
• Máximos y mínimos
• Derivado
• Valor extremo
• Argumento máximo
• Adecuación

Notas

1. Esta intuición sólo es correcta para funciones continuamente diferenciables , aunque en general no es literalmente correcta: una función no tiene por qué ser creciente hasta un máximo local: puede, en cambio, ser oscilante, es decir, ni creciente ni decreciente, sino que simplemente el máximo local es mayor que cualquier valor en un pequeño entorno a la izquierda o a la derecha de él. Ver detalles en las patologías. ${\displaystyle \left(C^{1}\right)}$

Referencias

1. "¿Es cierto el teorema de Fermat sobre extremos locales para variedades suaves?". Stack Exchange . 11 de agosto de 2015 . Consultado el 21 de abril de 2017 .

Enlaces externos

• "Teorema de Fermat (puntos estacionarios)". PlanetMath .
• "Demostración del teorema de Fermat (puntos estacionarios)". PlanetMath .