teorema de darboux

Resultado fundamental en geometría simpléctica.

En geometría diferencial , un campo de las matemáticas , el teorema de Darboux es un teorema que proporciona una forma normal para clases especiales de formas 1 diferenciales , generalizando parcialmente el teorema de integración de Frobenius . Lleva el nombre de Jean Gaston Darboux ^[1] quien lo estableció como la solución al problema de Pfaff . ^[2]

Es un resultado fundamental en varios campos, siendo el principal la geometría simpléctica . De hecho, una de sus muchas consecuencias es que dos variedades simplécticas cualesquiera de la misma dimensión son localmente simplectomorfas entre sí. Es decir, se puede hacer que cada variedad simpléctica -dimensional se parezca localmente al espacio simpléctico lineal con su forma simpléctica canónica. ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

También hay una consecuencia análoga del teorema aplicado a la geometría de contacto .

Declaración

Supongamos que es una forma diferencial de 1 en una variedad de dimensiones, tal que tiene rango constante . Entonces ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$ ${\displaystyle p}$

• si está en todas partes, entonces hay un sistema local de coordenadas en el que ${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}=0}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n-p},y_{1},\ldots ,y_{p})}$
  $${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{p}\,\mathrm {d} y_{p};}$$
• si está en todas partes, entonces hay un sistema local de coordenadas en el que ${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}\neq 0}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n-p},y_{1},\ldots ,y_{p})}$
  $${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{p}\,\mathrm {d} y_{p}+\mathrm {d} x_{p+1}.}$$

La prueba original de Darboux utilizó inducción y puede presentarse de manera equivalente en términos de distribuciones ^[3] o de ideales diferenciales . ^[4] ${\displaystyle p}$

Teorema de Frobenius

El teorema de Darboux garantiza que cualquier forma 1 que pueda escribirse como en algún sistema de coordenadas . ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle \theta \neq 0}$ ${\displaystyle \theta \wedge d\theta =0}$ ${\displaystyle \theta =dx_{1}}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Esto recupera una de las formulaciones del teorema de Frobenius en términos de formas diferenciales: si el ideal diferencial es generado por , entonces implica la existencia de un sistema de coordenadas donde en realidad es generado por . ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset \Omega ^{*}(M)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta \wedge d\theta =0}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset \Omega ^{*}(M)}$ ${\displaystyle dx_{1}}$

Teorema de Darboux para variedades simplécticas

Supongamos que es una forma bidimensional simpléctica en una variedad de dimensiones . En una vecindad de cada punto de , según el lema de Poincaré , hay una forma 1 con . Además, satisface el primer conjunto de hipótesis del teorema de Darboux, por lo que localmente hay un gráfico de coordenadas cerca del cual ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n=2m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \theta =\omega }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{m}\,\mathrm {d} y_{m}.}$$

Tomando una derivada exterior ahora se muestra

$${\displaystyle \omega =\mathrm {d} \theta =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\ldots +\mathrm {d} x_{m}\wedge \mathrm {d} y_{m}.}$$

Se dice que el gráfico es un gráfico de Darboux . ^[5] La variedad puede estar cubierta por dichos gráficos. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$

Para decirlo de otra manera, identifícate con dejando . Si es un gráfico de Darboux, entonces se puede escribir como el retroceso de la forma simpléctica estándar en : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle z_{j}=x_{j}+{\textit {i}}\,y_{j}}$ ${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \omega =\varphi ^{*}\omega _{0}.\,}$

Una prueba moderna de este resultado, sin emplear la afirmación general de Darboux sobre las formas 1, se realiza utilizando el truco de Moser . ^{[5] [6]}

Comparación con la geometría de Riemann

El teorema de Darboux para variedades simplécticas implica que no hay invariantes locales en geometría simpléctica: siempre se puede tomar una base de Darboux , válida cerca de cualquier punto dado. Esto contrasta marcadamente con la situación en la geometría de Riemann, donde la curvatura es una invariante local, siendo una obstrucción a la métrica localmente una suma de cuadrados de diferenciales de coordenadas.

La diferencia es que el teorema de Darboux establece que se puede hacer que adopte la forma estándar en todo un vecindario alrededor . En la geometría de Riemann, siempre se puede hacer que la métrica tome la forma estándar en cualquier punto dado, pero no siempre en una vecindad alrededor de ese punto. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p}$

Teorema de Darboux para colectores de contacto

Otro caso particular se recupera cuando ; Si está en todas partes, entonces hay un formulario de contacto . Se puede dar una demostración más sencilla, como en el caso de las estructuras simplécticas, utilizando el truco de Moser . ^[7] ${\displaystyle n=2p+1}$ ${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}\neq 0}$ ${\displaystyle \theta }$

El teorema de Darboux-Weinstein

Alan Weinstein demostró que el teorema de Darboux para variedades simpléticas puede reforzarse para mantener una vecindad de una subvariedad : ^[8]

Sea una variedad suave dotada de dos formas simplécticas y , y sea una subvariedad cerrada. Si , entonces hay una vecindad de in y un difeomorfismo tal que . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle \left.\omega _{1}\right|_{N}=\left.\omega _{2}\right|_{N}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:U\to U}$ ${\displaystyle f^{*}\omega _{2}=\omega _{1}}$

El teorema estándar de Darboux se recupera cuando es un punto y es la estructura simpléctica estándar en un gráfico de coordenadas. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

Este teorema también es válido para variedades de Banach de dimensión infinita .

Ver también

• Teorema de Carathéodory-Jacobi-Lie , una generalización de este teorema.
• El truco de Moser
• Base simpléctica

Referencias

1. Darboux, Gastón (1882). "Sur le problème de Pfaff" [Sobre el problema de Pfaff]. Toro. Ciencia. Matemáticas. (en francés). 6 : 14–36, 49–68. JFM  05.0196.01.
2. Pfaff, Johann Friedrich (1814-1815). "Methodus generalis, aequationes differentiarum parcialium nec non aequationes diferenciales vulgates, ultrasque primi ordinis, inter quotcunque variables, complete integrandi" [Un método general para integrar completamente ecuaciones diferenciales parciales, así como ecuaciones diferenciales ordinarias, de orden superior a uno, con cualquier número de variables]. Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften en Berlín (en latín): 76–136.
3. Sternberg, Shlomo (1964). Conferencias sobre geometría diferencial. Prentice Hall . págs. 140-141. ISBN 9780828403160.
4. Bryant, Robert L .; Chern, SS ; Gardner, Robert B .; Goldschmidt, Hubert L.; Griffiths, Pensilvania (1991). "Sistemas Diferenciales Exteriores". Publicaciones del Instituto de Investigaciones en Ciencias Matemáticas . doi :10.1007/978-1-4613-9714-4. ISSN  0940-4740.
5. McDuff, Dusa ; Salamón, Dietmar (22 de junio de 2017). Introducción a la topología simpléctica. vol. 1. Prensa de la Universidad de Oxford . doi :10.1093/oso/9780198794899.001.0001. ISBN 978-0-19-879489-9.
6. Cannas Silva, Ana (2008). Conferencias sobre geometría simpléctica. Saltador . doi :10.1007/978-3-540-45330-7. ISBN 978-3-540-42195-5.
7. Geiges, Hansjörg (2008). Introducción a la topología de contactos. Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 67–68. doi :10.1017/cbo9780511611438. ISBN 978-0-521-86585-2.
8. Weinstein, Alan (1971). "Variedades simplécticas y sus subvariedades lagrangianas". Avances en Matemáticas . 6 (3): 329–346. doi : 10.1016/0001-8708(71)90020-X .

enlaces externos

• G. Darboux, "Sobre el problema de Pfaff", trad. por DH Delphenich
• G. Darboux, "Sobre el problema de Pfaff (cont.)", trad. por DH Delphenich