Teoría del dinamo

Mecanismo por el cual un cuerpo celeste genera un campo magnético

Ilustración del mecanismo de dinamo que genera el campo magnético de la Tierra: corrientes de convección de metal fluido en el núcleo externo de la Tierra, impulsadas por el flujo de calor desde el núcleo interno, organizadas en rollos por la fuerza de Coriolis , generan corrientes eléctricas circulantes, que sostienen el campo magnético. . ^[1]

En física , la teoría de la dinamo propone un mecanismo por el cual un cuerpo celeste como la Tierra o una estrella genera un campo magnético . La teoría de la dinamo describe el proceso mediante el cual un fluido giratorio, convectivo y conductor eléctrico puede mantener un campo magnético en escalas de tiempo astronómicas . Se cree que una dinamo es la fuente del campo magnético de la Tierra y de los campos magnéticos de Mercurio y los planetas jovianos .

Historia de la teoría

Cuando William Gilbert publicó De Magnete en 1600, concluyó que la Tierra es magnética y propuso la primera hipótesis sobre el origen de este magnetismo: un magnetismo permanente como el que se encuentra en la piedra imán . En 1822, André-Marie Ampère propuso que las corrientes internas son responsables del magnetismo terrestre ^[2] . En 1919, Joseph Larmor propuso que una dinamo podría estar generando el campo. ^{[3] [4]} Sin embargo, incluso después de que avanzó su hipótesis, algunos científicos destacados propusieron explicaciones alternativas. El premio Nobel Patrick Blackett realizó una serie de experimentos buscando una relación fundamental entre el momento angular y el momento magnético , pero no encontró ninguno. ^{[5] [6]}

Walter M. Elsasser , considerado el "padre" de la teoría de la dinamo actualmente aceptada como explicación del magnetismo de la Tierra, propuso que este campo magnético era el resultado de corrientes eléctricas inducidas en el núcleo externo fluido de la Tierra. Reveló la historia del campo magnético de la Tierra al ser pionero en el estudio de la orientación magnética de los minerales en las rocas.

Para mantener el campo magnético contra la desintegración óhmica (que ocurriría en el campo dipolar dentro de 20.000 años), el núcleo externo debe estar convectivo. Es probable que la convección sea una combinación de convección térmica y composicional. El manto controla la velocidad a la que se extrae calor del núcleo. Las fuentes de calor incluyen energía gravitacional liberada por la compresión del núcleo, energía gravitacional liberada por el rechazo de elementos ligeros (probablemente azufre , oxígeno o silicio ) en el límite interno del núcleo a medida que crece, calor latente de cristalización en el límite interno del núcleo, y radiactividad del potasio , uranio y torio . ^[7]

En los albores del siglo XXI, la modelización numérica del campo magnético terrestre no se ha demostrado con éxito. Los modelos iniciales se centran en la generación de campos por convección en el núcleo externo fluido del planeta. Fue posible mostrar la generación de un campo fuerte similar a la Tierra cuando el modelo asumió una temperatura uniforme en la superficie del núcleo y viscosidades excepcionalmente altas para el fluido del núcleo. Los cálculos que incorporaron valores de parámetros más realistas produjeron campos magnéticos que eran menos parecidos a los de la Tierra, pero indicaron que las mejoras del modelo ^{[ ¿cuáles? ]} puede, en última instancia, conducir a un modelo analítico preciso. Ligeras variaciones en la temperatura de la superficie del núcleo, en el rango de unos pocos mikelvins, dan como resultado aumentos significativos en el flujo convectivo y producen campos magnéticos más realistas. ^{[8] [9]}

Definicion formal

La teoría del dínamo describe el proceso mediante el cual un fluido giratorio, convectivo y conductor eléctrico actúa para mantener un campo magnético. Esta teoría se utiliza para explicar la presencia de campos magnéticos anormalmente duraderos en los cuerpos astrofísicos. El fluido conductor en la geodinamo es hierro líquido en el núcleo externo, y en la dinamo solar es gas ionizado en la tacoclina . La teoría dinamo de los cuerpos astrofísicos utiliza ecuaciones magnetohidrodinámicas para investigar cómo el fluido puede regenerar continuamente el campo magnético. ^[10]

Alguna vez se creyó que el dipolo , que comprende gran parte del campo magnético de la Tierra y está desalineado a lo largo del eje de rotación en 11,3 grados, era causado por la magnetización permanente de los materiales de la Tierra. Esto significa que la teoría de la dinamo se utilizó originalmente para explicar el campo magnético del Sol en su relación con el de la Tierra. Sin embargo, esta hipótesis, que fue propuesta inicialmente por Joseph Larmor en 1919, ha sido modificada debido a extensos estudios de variación secular magnética , paleomagnetismo (incluidas las inversiones de polaridad ), sismología y abundancia de elementos del sistema solar. Además, la aplicación de las teorías de Carl Friedrich Gauss a las observaciones magnéticas demostró que el campo magnético de la Tierra tenía un origen interno, más que externo.

Hay tres requisitos para que funcione una dinamo:

• Un medio fluido eléctricamente conductor.
• Energía cinética proporcionada por la rotación planetaria.
• Una fuente de energía interna para impulsar movimientos convectivos dentro del fluido. ^[11]

En el caso de la Tierra, el campo magnético es inducido y mantenido constantemente por la convección de hierro líquido en el núcleo externo. Un requisito para la inducción de campo es un fluido en rotación. La rotación en el núcleo exterior se debe al efecto Coriolis causado por la rotación de la Tierra. La fuerza de Coriolis tiende a organizar los movimientos de fluidos y las corrientes eléctricas en columnas (ver también columnas de Taylor ) alineadas con el eje de rotación. La inducción o generación de un campo magnético se describe mediante la ecuación de inducción :

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} +\nabla \times (\mathbf {u} \times \mathbf {B} )}$$

uBtdifusividad magnéticapermeabilidadnúmero de Reynolds magnético ${\displaystyle \eta =1/(\sigma \mu )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$

Calentamiento mareomotriz soportando una dinamo

Las fuerzas de marea entre cuerpos celestes en órbita provocan una fricción que calienta sus interiores. Esto se conoce como calentamiento por mareas y ayuda a mantener el interior en estado líquido. Para producir una dinamo se requiere un interior líquido que pueda conducir electricidad. Encelado de Saturno y Io de Júpiter tienen suficiente calentamiento por marea para licuar sus núcleos internos, pero es posible que no creen una dinamo porque no pueden conducir electricidad. ^{[12] [13]} Mercurio, a pesar de su pequeño tamaño, tiene un campo magnético, porque tiene un núcleo líquido conductor creado por su composición de hierro y la fricción resultante de su órbita altamente elíptica. ^[14] Se teoriza que la Luna alguna vez tuvo un campo magnético, basado en evidencia de rocas lunares magnetizadas, debido a su corta distancia más cercana a la Tierra creando calentamiento de marea. ^[15] La órbita y la rotación de un planeta ayudan a proporcionar un núcleo líquido y complementan la energía cinética que sustenta la acción de la dinamo.

Teoría de la dinamo cinemática

En la teoría de la dinamo cinemática, el campo de velocidad está prescrito , en lugar de ser una variable dinámica: el modelo no prevé la distorsión del flujo en respuesta al campo magnético. Este método no puede proporcionar el comportamiento variable en el tiempo de una dinamo caótica completamente no lineal, pero puede usarse para estudiar cómo la intensidad del campo magnético varía con la estructura y la velocidad del flujo.

Usando las ecuaciones de Maxwell simultáneamente con la curvatura de la ley de Ohm , se puede derivar lo que es básicamente una ecuación de valor propio lineal para campos magnéticos ( B ), lo que se puede hacer suponiendo que el campo magnético es independiente del campo de velocidad. Se llega a un número de Reynolds magnético crítico , por encima del cual la fuerza del flujo es suficiente para amplificar el campo magnético impuesto, y por debajo del cual el campo magnético se disipa.

Medida práctica de posibles dinamos.

La característica más funcional de la teoría de la dinamo cinemática es que se puede utilizar para probar si un campo de velocidad es o no capaz de actuar como dinamo. Al aplicar experimentalmente un cierto campo de velocidad a un pequeño campo magnético, se puede observar si el campo magnético tiende a crecer (o no) en respuesta al flujo aplicado. Si el campo magnético crece, entonces el sistema es capaz de actuar como una dinamo o es una dinamo, pero si el campo magnético no crece, entonces simplemente se lo denomina "no una dinamo".

Un método análogo llamado paradigma de membrana es una forma de observar los agujeros negros que permite expresar el material cerca de sus superficies en el lenguaje de la teoría de la dinamo.

Ruptura espontánea de una supersimetría topológica.

La dinamo cinemática también puede verse como el fenómeno de la ruptura espontánea de la supersimetría topológica de la ecuación diferencial estocástica asociada relacionada con el flujo de la materia de fondo. ^[16] Dentro de la teoría supersimétrica estocástica , esta supersimetría es una propiedad intrínseca de todas las ecuaciones diferenciales estocásticas , su interpretación es que el espacio de fases del modelo preserva la continuidad a través de flujos de tiempo continuos. Cuando la continuidad de ese flujo se rompe espontáneamente, el sistema se encuentra en el estado estocástico de caos determinista . ^[17] En otras palabras, la dinamo cinemática surge debido al flujo caótico en la materia de fondo subyacente.

Teoría de la dinamo no lineal

La aproximación cinemática deja de ser válida cuando el campo magnético se vuelve lo suficientemente fuerte como para afectar los movimientos del fluido. En ese caso, el campo de velocidad se ve afectado por la fuerza de Lorentz , por lo que la ecuación de inducción ya no es lineal en el campo magnético. En la mayoría de los casos esto conduce a una extinción de la amplitud de la dinamo. Estas dinamos a veces también se denominan dinamos hidromagnéticos . ^[18] Prácticamente todas las dinamos en astrofísica y geofísica son dinamos hidromagnéticos.

La idea principal de la teoría es que cualquier pequeño campo magnético existente en el núcleo externo crea corrientes en el fluido en movimiento debido a la fuerza de Lorentz. Estas corrientes crean más campos magnéticos debido a la ley de Ampere . Con el movimiento del fluido, las corrientes se transportan de manera que el campo magnético se vuelve más fuerte (siempre que sea negativo ^[19] ). Por lo tanto, un campo magnético "semilla" puede volverse cada vez más fuerte hasta alcanzar algún valor relacionado con las fuerzas no magnéticas existentes. ${\displaystyle \;\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\;}$

Se utilizan modelos numéricos para simular dinamos totalmente no lineales. Se utilizan las siguientes ecuaciones:

• La ecuación de inducción, presentada arriba.
• Ecuaciones de Maxwell para campo eléctrico insignificante:
  $${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \cdot \mathbf {B} =0\\[1ex]&\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} \end{aligned}}}$$
• La ecuación de continuidad para la conservación de la masa , para la cual se suele utilizar la aproximación de Boussinesq :
  $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0,}$$
• La ecuación de Navier-Stokes para la conservación del momento , nuevamente en la misma aproximación, con la fuerza magnética y la fuerza de gravitación como fuerzas externas:
  $${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\rho '\mathbf {g} +2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} +{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {R} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\mathbf {J} \times \mathbf {B} ~,}$$
  donde es la viscosidad cinemática , es la densidad media y es la perturbación de densidad relativa que proporciona flotabilidad (para convección térmica donde es el coeficiente de expansión térmica ), es la velocidad de rotación de la Tierra y es la densidad de corriente eléctrica. ${\displaystyle \,\nu \,}$ ${\displaystyle \,\rho _{0}\,}$ ${\displaystyle \rho '}$ ${\displaystyle \;\rho '=\alpha \Delta T\;}$ ${\displaystyle \,\alpha \,}$ ${\displaystyle \,\Omega \,}$ ${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$
• Una ecuación de transporte, generalmente de calor (a veces de concentración de elementos ligeros):
  $${\displaystyle {\frac {\,\partial T\,}{\partial t}}=\kappa \nabla ^{2}T+\varepsilon }$$
  donde T es la temperatura, es la difusividad térmica con k conductividad térmica, capacidad calorífica y densidad, y es una fuente de calor opcional. A menudo, la presión es la presión dinámica, sin la presión hidrostática y el potencial centrípeto. ${\displaystyle \;\kappa =k/\rho c_{p}\;}$ ${\displaystyle \,c_{p}\,}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Estas ecuaciones luego se adimensionalizan, introduciendo los parámetros adimensionales,

$${\displaystyle R_{\mathsf {a}}={\frac {\,g\alpha TD^{3}\,}{\nu \kappa }}\;,\quad E={\frac {\nu }{\,\Omega D^{2}\,}}\;,\quad P_{\mathsf {r}}={\frac {\,\nu \,}{\kappa }}\;,\quad P_{\mathsf {m}}={\frac {\,\nu \,}{\eta }}}$$

R _anúmero de RayleighEnúmero de EkmanP _rP _mPrandtlmagnético de Prandtlnuméricas de Elsasser. ${\displaystyle B=(\rho \Omega /\sigma )^{1/2}.}$

Conversión de energía entre energía magnética y cinemática.

El producto escalar de la forma anterior de la ecuación de Navier-Stokes da la tasa de aumento de la densidad de energía cinética, en el lado izquierdo. El último término del lado derecho es entonces la contribución local a la energía cinética debida a la fuerza de Lorentz . ${\displaystyle \;\rho _{0}\mathbf {u} \;}$ ${\displaystyle \;{\tfrac {1}{2}}\rho _{0}u^{2}c\;}$ ${\displaystyle \;\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\;}$

El producto escalar de la ecuación de inducción con da la tasa de aumento de la densidad de energía magnética, , en el lado izquierdo. El último término en el lado derecho es entonces Dado que la ecuación está integrada en volumen, este término es equivalente hasta un término límite (y con el doble uso de la identidad del triple producto escalar ) a (donde se usó una de las ecuaciones de Maxwell ). Ésta es la contribución local a la energía magnética debida al movimiento del fluido. ${\textstyle {\tfrac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} }$ ${\displaystyle \;{\tfrac {1}{2}}\mu _{0}B^{2}\;}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \cdot \left(\nabla \times \left(\mathbf {u} \times \mathbf {B} \right)\right)\;.}$ ${\textstyle \;-\mathbf {u} \cdot \left({\tfrac {1}{\mu _{0}}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} \right)=-\mathbf {u} \cdot \left(\mathbf {J} \times \mathbf {B} \right)~}$

Por tanto, el término es la tasa de transformación de la energía cinética en energía magnética. Este tiene que ser no negativo al menos en una parte del volumen, para que la dinamo produzca un campo magnético. ^[19] ${\displaystyle \;-\mathbf {u} \cdot (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )\;}$

Del diagrama anterior no queda claro por qué este término debería ser positivo. Un argumento sencillo puede basarse en la consideración de los efectos netos. Para crear el campo magnético, la corriente eléctrica neta debe rodear el eje de rotación del planeta. En ese caso, para que el término sea positivo, el flujo neto de materia conductora debe ser hacia el eje de rotación. El diagrama sólo muestra un flujo neto desde los polos al ecuador. Sin embargo, la conservación de la masa requiere un flujo adicional desde el ecuador hacia los polos. Si ese flujo fuera a lo largo del eje de rotación, eso implica que la circulación se completaría con un flujo de los que se muestran hacia el eje de rotación, produciendo el efecto deseado.

Orden de magnitud del campo magnético creado por la dinamo de la Tierra

La fórmula anterior para la tasa de conversión de energía cinética en energía magnética es equivalente a la tasa de trabajo realizado por una fuerza sobre la materia del núcleo externo, cuya velocidad es . Este trabajo es el resultado de fuerzas no magnéticas que actúan sobre el fluido. ${\displaystyle \;\mathbf {J} \times \mathbf {B} \;}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

De ellas, la fuerza gravitacional y la fuerza centrífuga son conservativas y, por lo tanto, no contribuyen globalmente al fluido que se mueve en circuitos cerrados. El número de Ekman (definido anteriormente), que es la relación entre las dos fuerzas restantes, es decir, la viscosidad y la fuerza de Coriolis, es muy bajo dentro del núcleo externo de la Tierra, porque su viscosidad es baja (1,2–1,5 ×10 ⁻² pascal-segundo ^{[20 ]} ) debido a su liquidez.

Por lo tanto, la principal contribución al trabajo promediada en el tiempo proviene de la fuerza de Coriolis, cuyo tamaño es esta cantidad y están relacionados sólo indirectamente y, en general, no son iguales localmente (por lo tanto, se afectan entre sí pero no en el mismo lugar y tiempo). ${\displaystyle \;-2\rho \,\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} \;,}$ ${\displaystyle \mathbf {J} \times \mathbf {B} }$

La densidad de corriente J es en sí misma el resultado del campo magnético según la ley de Ohm . Nuevamente, debido al movimiento de la materia y al flujo de corriente, este no es necesariamente el campo en el mismo lugar y momento. Sin embargo, estas relaciones todavía se pueden utilizar para deducir órdenes de magnitud de las cantidades en cuestión.

En términos de orden de magnitud, y , dando o: ${\displaystyle \;J\,B\sim \rho \,\Omega \,u\;}$ ${\displaystyle \;J\sim \sigma uB\;}$ ${\displaystyle \;\sigma \,u\,B^{2}\sim \rho \,\Omega \,u\;,}$

$${\displaystyle B\sim {\sqrt {{\frac {\,\rho \,\Omega \,}{\sigma }}\;}}}$$

La razón exacta entre ambos lados es la raíz cuadrada del número de Elsasser .

Tenga en cuenta que la dirección del campo magnético no se puede inferir a partir de esta aproximación (al menos no su signo), ya que aparece al cuadrado y, de hecho, a veces está invertida , aunque en general se encuentra en un eje similar al de . ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$

Para el núcleo externo de la Tierra, ρ es aproximadamente 10 ⁴ kg/m ³ , ^[20]   Ω = 2 π /día = 7,3×10 ⁻⁵ /segundo y   σ   es aproximadamente 10 ⁷ Ω ⁻¹ m ⁻¹  . ^[21] Esto da 2,7 × 10 ⁻⁴  Tesla .

El campo magnético de un dipolo magnético tiene una dependencia cúbica inversa de la distancia, por lo que su orden de magnitud en la superficie terrestre se puede aproximar multiplicando el resultado anterior por ( R _{núcleo externo} ⁄ R _Tierra ) ³ = ( 2890 ⁄ 6370 ) ³ = 0,093, lo que da 2,5×10 ⁻⁵  Tesla, no muy lejos del valor medido de 3×10 ⁻⁵  Tesla en el ecuador .

Modelos numéricos

Una representación visual del modelo Glatzmaier antes de la inversión dipolar.

En términos generales, los modelos de geodinamo intentan producir campos magnéticos consistentes con los datos observados dadas ciertas condiciones y ecuaciones como se menciona en las secciones anteriores. La implementación exitosa de las ecuaciones magnetohidrodinámicas fue de particular importancia porque impulsaron los modelos de dinamo hacia la autoconsistencia. Aunque los modelos de geodinamo son especialmente frecuentes, los modelos de dinamo no se limitan necesariamente a la geodinamo; También son de interés los modelos solares y de dinamo general. Estudiar modelos de dinamo tiene utilidad en el campo de la geofísica, ya que al hacerlo se pueden identificar cómo varios mecanismos forman campos magnéticos como los producidos por cuerpos astrofísicos como la Tierra y cómo hacen que los campos magnéticos muestren ciertas características, como las inversiones de polos.

Las ecuaciones utilizadas en los modelos numéricos de dinamo son muy complejas. Durante décadas, los teóricos se vieron confinados a los modelos de dinamo cinemáticos bidimensionales descritos anteriormente, en los que el movimiento del fluido se elige de antemano y se calcula el efecto sobre el campo magnético. La progresión de modelos tridimensionales lineales a no lineales de dinamo se vio obstaculizada en gran medida por la búsqueda de soluciones a ecuaciones magnetohidrodinámicas, que eliminan la necesidad de muchas de las suposiciones hechas en los modelos cinemáticos y permiten la autoconsistencia.

Una representación visual del modelo Glatzmaier durante la inversión dipolar.

Los primeros modelos de dinamo autoconsistentes , que determinan tanto los movimientos de los fluidos como el campo magnético, fueron desarrollados por dos grupos en 1995, uno en Japón ^[22] y otro en Estados Unidos. ^{[23] [24]} Este último se hizo como modelo con respecto a la geodinamo y recibió mucha atención porque reproducía con éxito algunas de las características del campo terrestre. ^[19] Después de este avance, hubo un gran aumento en el desarrollo de modelos de dinamo tridimensionales razonables. ^[19]

Aunque ahora existen muchos modelos autoconsistentes, existen diferencias significativas entre ellos, tanto en los resultados que producen como en la forma en que fueron desarrollados. ^[19] Dada la complejidad del desarrollo de un modelo de geodinamo, hay muchos lugares donde pueden ocurrir discrepancias, como al hacer suposiciones que involucran los mecanismos que proporcionan energía para la dinamo, al elegir valores para los parámetros utilizados en las ecuaciones o al normalizar ecuaciones. A pesar de las muchas diferencias que pueden ocurrir, la mayoría de los modelos tienen características compartidas como dipolos axiales claros. En muchos de estos modelos también se han recreado con éxito fenómenos como la variación secular y las inversiones de polaridad geomagnética . ^[19]

Observaciones

Una representación visual del modelo Glatzmaier después de la inversión dipolar.

Se pueden hacer muchas observaciones a partir de modelos de dinamo. Los modelos se pueden utilizar para estimar cómo varían los campos magnéticos con el tiempo y se pueden comparar con los datos paleomagnéticos observados para encontrar similitudes entre el modelo y la Tierra. Sin embargo, debido a la incertidumbre de las observaciones paleomagnéticas, las comparaciones pueden no ser del todo válidas o útiles. ^[19] Los modelos de geodinamo simplificados han mostrado relaciones entre el número de dinamo (determinado por la variación en las tasas de rotación en el núcleo externo y la convección asimétrica en espejo (por ejemplo, cuando la convección favorece una dirección en el norte y la otra en el sur)) y el polo magnético. reversiones y similitudes encontradas entre la geodinamo y la dinamo del Sol. ^[19] En muchos modelos, parece que los campos magnéticos tienen magnitudes algo aleatorias que siguen una tendencia normal con un promedio de cero. ^[19] Además de estas observaciones, se pueden realizar observaciones generales sobre los mecanismos que impulsan la geodinamo en función de la precisión con la que el modelo refleja los datos reales recopilados de la Tierra.

modelado moderno

La complejidad del modelado de dinamo es tan grande que los modelos de geodinamo están limitados por la potencia actual de las supercomputadoras , particularmente porque calcular el número de Ekman y Rayleigh del núcleo externo es extremadamente difícil y requiere una gran cantidad de cálculos.

Se han propuesto muchas mejoras en el modelado de dinamo desde el avance autoconsistente en 1995. Una sugerencia al estudiar los cambios complejos del campo magnético es aplicar métodos espectrales para simplificar los cálculos. ^[25] En última instancia, hasta que se realicen mejoras considerables en la potencia de las computadoras, los métodos para calcular modelos de dinamo realistas tendrán que ser más eficientes, por lo que mejorar los métodos para calcular el modelo es de gran importancia para el avance del modelado numérico de dinamo.

Gente notable

• Stanislav I. Braginsky , geofísico investigador

Ver también

• Teorema de antidinamo
• Campo magnético giratorio
• variación secular

Referencias

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