En matemáticas , un isomorfismo es una aplicación que preserva la estructura entre dos estructuras del mismo tipo y que puede revertirse mediante una aplicación inversa . Dos estructuras matemáticas son isomorfas si existe un isomorfismo entre ellas. La palabra isomorfismo se deriva del griego antiguo : ἴσος isos "igual" y μορφή morphe "forma" o "figura".
El interés de los isomorfismos reside en el hecho de que dos objetos isomorfos tienen las mismas propiedades (excluyendo información adicional como la estructura adicional o los nombres de los objetos). Por lo tanto, las estructuras isomorfas no se pueden distinguir desde el punto de vista de la estructura únicamente, y se pueden identificar. En la jerga matemática, se dice que dos objetos son iguales hasta que se produce un isomorfismo . [ cita requerida ]
Un automorfismo es un isomorfismo de una estructura a sí misma. Un isomorfismo entre dos estructuras es un isomorfismo canónico (una función canónica que es un isomorfismo) si solo hay un isomorfismo entre las dos estructuras (como es el caso de las soluciones de una propiedad universal ), o si el isomorfismo es mucho más natural (en algún sentido) que otros isomorfismos. Por ejemplo, para cada número primo p , todos los cuerpos con p elementos son canónicamente isomorfos, con un isomorfismo único. Los teoremas de isomorfismo proporcionan isomorfismos canónicos que no son únicos.
El término isomorfismo se utiliza principalmente para estructuras algebraicas . En este caso, las aplicaciones se denominan homomorfismos y un homomorfismo es un isomorfismo si y solo si es biyectivo .
En diversas áreas de las matemáticas, los isomorfismos han recibido nombres especializados, dependiendo del tipo de estructura en cuestión. Por ejemplo:
La teoría de categorías , que puede considerarse como una formalización del concepto de mapeo entre estructuras, proporciona un lenguaje que puede utilizarse para unificar el enfoque de estos diferentes aspectos de la idea básica.
Sea el grupo multiplicativo de los números reales positivos , y sea el grupo aditivo de los números reales.
La función logaritmo satisface para todos , por lo que es un homomorfismo de grupo . La función exponencial satisface para todos , por lo que también es un homomorfismo.
Las identidades y muestran que y son inversas entre sí. Como es un homomorfismo que tiene una inversa que también es un homomorfismo, es un isomorfismo de grupos.
La función es un isomorfismo que traduce la multiplicación de números reales positivos en suma de números reales. Esta función permite multiplicar números reales utilizando una regla y una tabla de logaritmos , o utilizando una regla de cálculo con una escala logarítmica.
Consideremos el grupo de los números enteros del 0 al 5 con adición módulo 6. Consideremos también el grupo de los pares ordenados donde las coordenadas x pueden ser 0 o 1, y las coordenadas y pueden ser 0, 1 o 2, donde la adición en la coordenada x es módulo 2 y la adición en la coordenada y es módulo 3.
Estas estructuras son isomorfas bajo adición, bajo el siguiente esquema: o en general
Por ejemplo, lo que se traduce en el otro sistema como
Aunque estos dos grupos "parecen" diferentes en el sentido de que los conjuntos contienen elementos diferentes, en realidad son isomorfos : sus estructuras son exactamente las mismas. En términos más generales, el producto directo de dos grupos cíclicos y es isomorfo a si y solo si m y n son coprimos , según el teorema del resto chino .
Si un objeto consiste en un conjunto X con una relación binaria R y el otro objeto consiste en un conjunto Y con una relación binaria S entonces un isomorfismo de X a Y es una función biyectiva tal que: [1]
S es reflexiva , irreflexiva , simétrica , antisimétrica , asimétrica , transitiva , total , tricotómica , un orden parcial , un orden total , un buen orden , un orden débil estricto , un preorden total (orden débil), una relación de equivalencia o una relación con cualquier otra propiedad especial, si y solo si R lo es.
Por ejemplo, R es un ordenamiento ≤ y S un ordenamiento, entonces un isomorfismo de X a Y es una función biyectiva tal que Tal isomorfismo se llama isomorfismo de orden o (menos comúnmente) isomorfismo de isótono .
Si entonces se trata de un automorfismo que preserva la relación .
En álgebra , los isomorfismos se definen para todas las estructuras algebraicas . Algunos se estudian de forma más específica; por ejemplo:
Así como los automorfismos de una estructura algebraica forman un grupo , los isomorfismos entre dos álgebras que comparten una estructura común forman un montón . Si un isomorfismo particular identifica las dos estructuras, este montón se convierte en un grupo.
En el análisis matemático , la transformada de Laplace es un isomorfismo que convierte ecuaciones diferenciales difíciles en ecuaciones algebraicas más sencillas .
En teoría de grafos , un isomorfismo entre dos grafos G y H es una función biyectiva f desde los vértices de G a los vértices de H que preserva la "estructura de arista" en el sentido de que hay una arista desde el vértice u al vértice v en G si y solo si hay una arista desde a en H. Véase isomorfismo de grafos .
En el análisis matemático, un isomorfismo entre dos espacios de Hilbert es una biyección que preserva la suma, la multiplicación escalar y el producto interno.
En las primeras teorías del atomismo lógico , Bertrand Russell y Ludwig Wittgenstein teorizaron que la relación formal entre hechos y proposiciones verdaderas era isomórfica. Un ejemplo de esta línea de pensamiento se puede encontrar en la Introducción a la filosofía matemática de Russell .
En cibernética , el teorema del buen regulador o teorema de Conant-Ashby establece que "todo buen regulador de un sistema debe ser un modelo de ese sistema". Ya sea regulado o autorregulado, se requiere un isomorfismo entre las partes reguladora y procesadora del sistema.
En teoría de categorías , dada una categoría C , un isomorfismo es un morfismo que tiene un morfismo inverso que es, y Por ejemplo, una función lineal biyectiva es un isomorfismo entre espacios vectoriales , y una función continua biyectiva cuya inversa también es continua es un isomorfismo entre espacios topológicos , llamado homeomorfismo .
Dos categorías C y D son isomorfas si existen funtores y que son mutuamente inversos entre sí, es decir, (el funtor identidad en D ) y (el funtor identidad en C ).
En una categoría concreta (a grandes rasgos, una categoría cuyos objetos son conjuntos (quizás con estructura extra) y cuyos morfismos son funciones que preservan la estructura), como la categoría de espacios topológicos o categorías de objetos algebraicos (como la categoría de grupos , la categoría de anillos y la categoría de módulos ), un isomorfismo debe ser biyectivo sobre los conjuntos subyacentes . En categorías algebraicas (específicamente, categorías de variedades en el sentido del álgebra universal ), un isomorfismo es lo mismo que un homomorfismo que es biyectivo sobre conjuntos subyacentes. Sin embargo, hay categorías concretas en las que los morfismos biyectivos no son necesariamente isomorfismos (como la categoría de espacios topológicos).
Aunque existen casos en los que los objetos isomorfos pueden considerarse iguales, hay que distinguir entre igualdad e isomorfismo . [2] La igualdad se da cuando dos objetos son iguales y, por lo tanto, todo lo que es cierto sobre un objeto es cierto sobre el otro. Por otro lado, los isomorfismos están relacionados con alguna estructura y dos objetos isomorfos comparten solo las propiedades que están relacionadas con esta estructura.
Por ejemplo, los conjuntos son iguales ; son simplemente representaciones diferentes —la primera intensional (en la notación del constructor de conjuntos ) y la segunda extensional (por enumeración explícita)— del mismo subconjunto de los enteros. Por el contrario, los conjuntos y no son iguales ya que no tienen los mismos elementos. Son isomorfos como conjuntos, pero hay muchas opciones (de hecho 6) de isomorfismo entre ellos: un isomorfismo es
mientras otro esta
y ningún isomorfismo es intrínsecamente mejor que otro. [nota 1] Desde este punto de vista y en este sentido, estos dos conjuntos no son iguales porque no se los puede considerar idénticos : se puede elegir un isomorfismo entre ellos, pero esa es una afirmación más débil que la identidad, y válida sólo en el contexto del isomorfismo elegido.
Además, los números enteros y pares son isomorfos como los conjuntos ordenados y los grupos abelianos (para la adición), pero no pueden considerarse conjuntos iguales, ya que uno es un subconjunto propio del otro.
Por otra parte, cuando los conjuntos (u otros objetos matemáticos ) se definen únicamente por sus propiedades, sin tener en cuenta la naturaleza de sus elementos, a menudo se los considera iguales. Este suele ser el caso de las soluciones de propiedades universales .
Por ejemplo, los números racionales suelen definirse como clases de equivalencia de pares de números enteros, aunque nadie piensa en un número racional como un conjunto (clase de equivalencia). La propiedad universal de los números racionales es esencialmente que forman un cuerpo que contiene a los números enteros y no contiene ningún subcuerpo propio. Resulta que dados dos cuerpos con estas propiedades, existe un único isomorfismo de cuerpo entre ellos. Esto permite identificar estos dos cuerpos, ya que cada propiedad de uno de ellos puede transferirse al otro a través del isomorfismo. Por ejemplo, los números reales que se obtienen al dividir dos números enteros (dentro de los números reales) forman el subcuerpo más pequeño de los números reales. Existe, pues, un único isomorfismo de los números racionales (definidos como clases de equivalencia de pares) a los cocientes de dos números reales que son enteros. Esto permite identificar estas dos clases de números racionales.
