En matemáticas, una superficie de Klein es una variedad dianalítica de dimensión compleja 1. Las superficies de Klein pueden tener un límite y no necesitan ser orientables . Las superficies de Klein generalizan las superficies de Riemann . Mientras que estas últimas se utilizan para estudiar analíticamente curvas algebraicas sobre números complejos , las primeras se utilizan para estudiar analíticamente curvas algebraicas sobre números reales. Las superficies de Klein fueron introducidas por Felix Klein en 1882. [1]
Una superficie de Klein es una superficie (es decir, una variedad diferenciable de dimensión real 2) en la que la noción de ángulo entre dos vectores tangentes en un punto dado está bien definida, y también lo está el ángulo entre dos curvas que se intersecan en la superficie. Estos ángulos están en el rango [0,π]; dado que la superficie no conlleva noción de orientación, no es posible distinguir entre los ángulos α y −α. (Por el contrario, en las superficies de Riemann están orientadas y los ángulos en el rango de (-π,π] se pueden definir de manera significativa). La longitud de las curvas, el área de las subvariedades y la noción de geodésica no están definidas en las superficies de Klein.
Dos superficies de Klein X e Y se consideran equivalentes si hay mapas diferenciables conformes (es decir, que preservan el ángulo pero no necesariamente la orientación) f : X → Y y g : Y → X que mapean un límite con otro y satisfacen fg = id Y y gf = id X .
Toda superficie de Riemann (variedad analítica de dimensión compleja 1, sin borde) es una superficie de Klein. Algunos ejemplos son los subconjuntos abiertos del plano complejo (no compacto), la esfera de Riemann (compacta) y los toros (compactos). Nótese que existen muchas superficies de Riemann no equivalentes con el mismo toro subyacente como variedad.
Un disco cerrado en el plano complejo es una superficie de Klein (compacta, con borde). Todos los discos cerrados son equivalentes como superficies de Klein. Un anillo cerrado en el plano complejo es una superficie de Klein (compacta, con borde). No todos los anillos son equivalentes como superficies de Klein: hay una familia de un parámetro de superficies de Klein no equivalentes que surgen de esta manera a partir de anillos. Al eliminar una cantidad de discos abiertos de la esfera de Riemann, obtenemos otra clase de superficies de Klein (compactas, con borde). El plano proyectivo real se puede convertir en una superficie de Klein (compacta, sin borde), esencialmente de una sola manera. La botella de Klein se puede convertir en una superficie de Klein (compacta, sin borde); hay una familia de un parámetro de estructuras de superficies de Klein no equivalentes definidas en la botella de Klein. De manera similar, hay una familia de un parámetro de estructuras de superficies de Klein no equivalentes (compactas, con borde) definidas en la banda de Möbius . [2]
Cada 2-variedad topológica compacta (posiblemente con borde) se puede convertir en una superficie de Klein, [3] a menudo de muchas maneras diferentes e inequívocas.
El límite de una superficie de Klein compacta consta de un número finito de componentes conexos , cada uno de los cuales es homeomorfo a un círculo. Estos componentes se denominan óvalos de la superficie de Klein. [3]
Supongamos que Σ es una superficie de Riemann (no necesariamente conexa) y que τ:Σ→Σ es una involución antiholomórfica (que invierte la orientación) . Entonces, el cociente Σ/τ tiene una estructura de superficie de Klein natural, y cada superficie de Klein se puede obtener de esta manera esencialmente de una sola manera. [3] Los puntos fijos de τ corresponden a los puntos límite de Σ/τ. La superficie Σ se denomina "doble analítico" de Σ/τ.
Las superficies de Klein forman una categoría ; un morfismo de la superficie de Klein X a la superficie de Klein Y es una función diferenciable f : X → Y que en cada parche de coordenadas es holomorfa o el conjugado complejo de una función holomorfa y además asigna el límite de X al límite de Y.
Existe una correspondencia biunívoca entre curvas algebraicas proyectivas suaves sobre los números reales (hasta el isomorfismo ) y superficies de Klein compactas y conexas (hasta la equivalencia). Los puntos reales de la curva corresponden a los puntos límite de la superficie de Klein. [3] De hecho, existe una equivalencia de categorías entre la categoría de curvas algebraicas proyectivas suaves sobre R (con funciones regulares como morfismos) y la categoría de superficies de Klein compactas y conexas. Esto es similar a la correspondencia entre curvas algebraicas proyectivas suaves sobre los números complejos y superficies de Riemann compactas y conexas. (Nótese que las curvas algebraicas consideradas aquí son curvas abstractas: integrales , esquemas unidimensionales separados de tipo finito sobre R . Tal curva no necesita tener ningún punto R -racional (como la curva X 2 + Y 2 +1=0 sobre R ), en cuyo caso su superficie de Klein tendrá un límite vacío).
También existe una correspondencia biunívoca entre superficies de Klein conexas compactas (hasta equivalencia) y cuerpos de funciones algebraicas en una variable sobre R (hasta R -isomorfismo). Esta correspondencia es similar a la que existe entre superficies de Riemann conexas compactas y cuerpos de funciones algebraicas sobre números complejos. [2] Si X es una superficie de Klein, una función f : X → C u{∞} se llama meromorfa si, en cada parche de coordenadas, f o su conjugado complejo es meromorfa en el sentido ordinario, y si f toma solo valores reales (o ∞) en el límite de X . Dada una superficie de Klein conexa X , el conjunto de funciones meromorfas definidas en X forman un cuerpo M( X ), un cuerpo de funciones algebraicas en una variable sobre R . M es un funtor contravariante y produce una dualidad (equivalencia contravariante) entre la categoría de superficies de Klein compactas conexas (con morfismos no constantes) y la categoría de campos de funciones en una variable sobre los reales.
Se pueden clasificar las superficies de Klein compactas y conexas X hasta el homeomorfismo (¡no hasta la equivalencia!) especificando tres números ( g , k , a ): el género g del doble analítico Σ , el número k de componentes conexos del límite de X , y el número a , definido por a = 0 si X es orientable y a = 1 en caso contrario. [3] Siempre tenemos k ≤ g +1. La característica de Euler de X es igual a 1- g . [3]