Superficie de Bolza

En matemáticas, una superficie de Riemann

En matemáticas , la superficie de Bolza , o curva de Bolza algebraica compleja (introducida por Oskar Bolza  (1887)), es una superficie de Riemann compacta de género con el orden más alto posible del grupo de automorfismos conformes en este género, es decir, de orden 48 (el grupo lineal general de matrices sobre el cuerpo finito ). El grupo de automorfismos completo (incluyendo las reflexiones) es el producto semidirecto de orden 96. Se puede obtener un modelo afín para la superficie de Bolza como el lugar geométrico de la ecuación ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle GL_{2}(3)}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$ ${\displaystyle GL_{2}(3)\rtimes \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle y^{2}=x^{5}-x}$

La superficie de Bolza es la terminación suave de la curva afín. De todas las superficies hiperbólicas de género, la superficie de Bolza maximiza la longitud de la sístole (Schmutz 1993). Como superficie de Riemann hiperelíptica , surge como la doble cubierta ramificada de la esfera de Riemann, con lugar geométrico de ramificación en los seis vértices de un octaedro regular inscrito en la esfera, como se puede ver fácilmente en la ecuación anterior. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle 2}$

La superficie de Bolza ha atraído la atención de los físicos, ya que proporciona un modelo relativamente simple para el caos cuántico ; en este contexto, generalmente se la conoce como el modelo de Hadamard-Gutzwiller . ^[1] La teoría espectral del operador de Laplace-Beltrami que actúa sobre funciones en la superficie de Bolza es de interés tanto para matemáticos como para físicos, ya que se conjetura que la superficie maximiza el primer valor propio positivo del laplaciano entre todas las superficies de Riemann compactas y cerradas de género con curvatura negativa constante . ${\displaystyle 2}$

Superficie triangular

El mosaico de la superficie de Bolza por dominios de reflexión es un cociente del mosaico octogonal bisecado de orden 3 .

El dominio fundamental de la superficie de Bolza en el disco de Poincaré; se identifican los lados opuestos.

La superficie de Bolza es conformemente equivalente a una superficie triangular – ver triángulo de Schwarz . Más específicamente, el grupo Fuchsiano que define la superficie de Bolza es un subgrupo del grupo generado por reflexiones en los lados de un triángulo hiperbólico con ángulos . El grupo de isometrías que preservan la orientación es un subgrupo del subgrupo de índice -dos del grupo de reflexiones, que consiste en productos de un número par de reflexiones, que tiene una presentación abstracta en términos de generadores y relaciones así como . El grupo Fuchsiano que define la superficie de Bolza es también un subgrupo del grupo de triángulos (3,3,4) , que es un subgrupo de índice 2 en el grupo de triángulos. El grupo no tiene una realización en términos de un álgebra de cuaterniones, pero el grupo sí. ${\displaystyle (2,3,8)}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{3}},{\tfrac {\pi }{8}}}$ ${\displaystyle s_{2},s_{3},s_{8}}$ ${\displaystyle s_{2}{}^{2}=s_{3}{}^{3}=s_{8}{}^{8}=1}$ ${\displaystyle s_{2}s_{3}=s_{8}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle (2,3,8)}$ ${\displaystyle (2,3,8)}$ ${\displaystyle (3,3,4)}$

Bajo la acción de sobre el disco de Poincaré , el dominio fundamental de la superficie de Bolza es un octógono regular con ángulos y vértices en ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$

${\displaystyle p_{k}=2^{-1/4}e^{i\left({\tfrac {\pi }{8}}+{\tfrac {k\pi }{4}}\right)},}$

donde . Los lados opuestos del octágono se identifican bajo la acción del grupo fuchsiano. Sus generadores son las matrices ${\displaystyle k=0,\ldots ,7}$

${\displaystyle g_{k}={\begin{pmatrix}1+{\sqrt {2}}&(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{\tfrac {ik\pi }{4}}\\(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{-{\tfrac {ik\pi }{4}}}&1+{\sqrt {2}}\end{pmatrix}},}$

donde y , junto con sus inversos. Los generadores satisfacen la relación ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}$ ${\displaystyle k=0,\ldots ,3}$

${\displaystyle g_{0}g_{1}^{-1}g_{2}g_{3}^{-1}g_{0}^{-1}g_{1}g_{2}^{-1}g_{3}=1.}$

Estos generadores están conectados al espectro de longitud, que proporciona todas las longitudes posibles de los bucles geodésicos. La longitud más corta de este tipo se denomina sístole de la superficie. La sístole de la superficie de Bolza es

${\displaystyle \ell _{1}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (1+{\sqrt {2}})\approx 3.05714.}$

El elemento del espectro de longitud para la superficie de Bolza está dado por ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle \ell _{n}}$

${\displaystyle \ell _{n}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (m+n{\sqrt {2}}),}$

donde recorre los números enteros positivos (pero omitiendo 4, 24, 48, 72, 140 y varios valores superiores) (Aurich, Bogomolny y Steiner 1991) y donde es el único entero impar que minimiza ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \vert m-n{\sqrt {2}}\vert .}$

Es posible obtener una forma cerrada equivalente de la sístole directamente a partir del grupo de triángulos. Existen fórmulas para calcular las longitudes de los lados de un triángulo (2,3,8) de forma explícita. La sístole es igual a cuatro veces la longitud del lado de longitud medial en un triángulo (2,3,8), es decir,

${\displaystyle \ell _{1}=4\operatorname {\rm {arcosh}} \left({\tfrac {\csc \left({\tfrac {\pi }{8}}\right)}{2}}\right)\approx 3.05714.}$

Las longitudes geodésicas también aparecen en las coordenadas de Fenchel-Nielsen de la superficie. Un conjunto de coordenadas de Fenchel-Nielsen para una superficie de género 2 consta de tres pares, cada uno de los cuales es una longitud y una torsión. Quizás el conjunto de coordenadas más simple de este tipo para la superficie de Bolza sea , donde . ${\displaystyle \ell _{n}}$ ${\displaystyle (\ell _{2},{\tfrac {1}{2}};\;\ell _{1},0;\;\ell _{1},0)}$ ${\displaystyle \ell _{2}=2\operatorname {\rm {arcosh}} (3+2{\sqrt {2}})\approx 4.8969}$

También hay un conjunto de coordenadas "simétrico" , donde las tres longitudes son la sístole y los tres giros están dados por ^[2] ${\displaystyle (\ell _{1},t;\;\ell _{1},t;\;\ell _{1},t)}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$

${\displaystyle t={\frac {\operatorname {\rm {arcosh}} \left({\sqrt {{\tfrac {2}{7}}(3+{\sqrt {2}})}}\right)}{\operatorname {\rm {arcosh}} (1+{\sqrt {2}})}}\approx 0.321281.}$

Simetrías de la superficie

Los cuatro generadores del grupo de simetría de la superficie de Bolza

El dominio fundamental de la superficie de Bolza es un octágono regular en el disco de Poincaré; las cuatro acciones simétricas que generan el grupo de simetría (completo) son:

• R – rotación de orden 8 alrededor del centro del octágono;
• S – reflexión en la recta real;
• T – reflexión en el lado de uno de los 16 (4,4,4) triángulos que teselan el octágono;
• U – rotación de orden 3 alrededor del centro de un triángulo (4,4,4).

Estas se muestran mediante las líneas en negrita en la figura adyacente y satisfacen el siguiente conjunto de relaciones:

${\displaystyle \langle R,\,S,\,T,\,U\mid R^{8}=S^{2}=T^{2}=U^{3}=RSRS=STST=RTR^{3}T=e,\,UR=R^{7}U^{2},\,U^{2}R=STU,\,US=SU^{2},\,UT=RSU\rangle ,}$

donde es la acción trivial (identidad). Se puede utilizar este conjunto de relaciones en GAP para recuperar información sobre la teoría de representación del grupo. En particular, hay cuatro representaciones irreducibles unidimensionales, dos bidimensionales, cuatro tridimensionales y tres tetradimensionales, y ${\displaystyle e}$

${\displaystyle 4(1^{2})+2(2^{2})+4(3^{2})+3(4^{2})=96}$

Como se esperaba.

Teoría espectral

Gráficos de las tres funciones propias correspondientes al primer valor propio positivo de la superficie de Bolza. Las funciones son cero en las líneas de color azul claro. Estos gráficos se generaron utilizando FreeFEM++ .

Aquí, la teoría espectral se refiere al espectro del laplaciano, . El primer espacio propio (es decir, el espacio propio correspondiente al primer valor propio positivo) de la superficie de Bolza es tridimensional, y el segundo, cuatridimensional (Cook 2018), (Jenni 1981). Se cree que investigar las perturbaciones de las líneas nodales de funciones en el primer espacio propio en el espacio de Teichmüller arrojará el resultado conjeturado en la introducción. Esta conjetura se basa en extensos cálculos numéricos de valores propios de la superficie y otras superficies de género 2. En particular, el espectro de la superficie de Bolza se conoce con una precisión muy alta (Strohmaier y Uski 2013). La siguiente tabla muestra los primeros diez valores propios positivos de la superficie de Bolza. ${\displaystyle \Delta }$

El determinante espectral y la energía de Casimir de la superficie de Bolza son ${\displaystyle \zeta (-1/2)}$

${\displaystyle \det {}_{\zeta }(\Delta )\approx 4.72273280444557}$

y

${\displaystyle \zeta _{\Delta }(-1/2)\approx -0.65000636917383}$

respectivamente, donde se cree que todos los decimales son correctos. Se conjetura que el determinante espectral se maximiza en el género 2 para la superficie de Bolza.

Álgebra de cuaterniones

Siguiendo a MacLachlan y Reid, el álgebra de cuaterniones puede considerarse como el álgebra generada como un álgebra asociativa por los generadores i, j y las relaciones ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

${\displaystyle i^{2}=-3,\;j^{2}={\sqrt {2}},\;ij=-ji,}$

con una elección adecuada de un orden .

Véase también

• Curva hiperelíptica
• Klein cuártico
• La curva de Bring
• Superficie de Macbeath
• Primer triplete de Hurwitz

Referencias

• Bolza, Oskar (1887), "Sobre sextas binarias con transformaciones lineales en sí mismas", American Journal of Mathematics , 10 (1): 47–70, doi :10.2307/2369402, JSTOR  2369402
• Katz, M.; Sabourau, S. (2006). "Una desigualdad sistólica óptima para métricas CAT(0) en el género dos". Pacific J. Math. 227 (1): 95–107. arXiv : math.DG/0501017 . doi :10.2140/pjm.2006.227.95. S2CID  16510851.
• Schmutz, P. (1993). "Superficies de Riemann con la geodésica más corta de longitud máxima". GAFA . 3 (6): 564–631. doi :10.1007/BF01896258. S2CID  120508826.
• Aurich, R.; Bogomolny, EB; Steiner, F. (1991). "Órbitas periódicas en el octógono hiperbólico regular". Physica D: Nonlinear Phenomena . 48 (1): 91–101. Bibcode :1991PhyD...48...91A. doi :10.1016/0167-2789(91)90053-C.
• Cook, J. (2018). Propiedades de valores propios en superficies de Riemann con grandes grupos de simetría (tesis doctoral, inédita). Universidad de Loughborough.
• Jenni, F. (1981). Über das Spektrum des Laplace-Operators auf einer Schar kompakter Riemannscher Flächen (tesis doctoral). Universidad de Basilea. OCLC  45934169.
• Strohmaier, A.; Uski, V. (2013). "Un algoritmo para el cálculo de valores propios, funciones zeta espectrales y determinantes zeta en superficies hiperbólicas". Communications in Mathematical Physics . 317 (3): 827–869. arXiv : 1110.2150 . Bibcode :2013CMaPh.317..827S. doi :10.1007/s00220-012-1557-1. S2CID  14305255.
• Maclachlan, C.; Reid, A. (2003). La aritmética de las 3 variedades hiperbólicas . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 219. Nueva York: Springer. ISBN. 0-387-98386-4.

Específico

1. Aurich, R.; Sieber, M.; Steiner, F. (1 de agosto de 1988). "Caos cuántico del modelo Hadamard-Gutzwiller". Cartas de revisión física . 61 (5): 483–487. Código bibliográfico : 1988PhRvL..61..483A. doi :10.1103/PhysRevLett.61.483. PMID  10039347. S2CID  20390243.
2. Strohmaier, Alexander (2017). Girouard, Alexandre (ed.). "Cálculo de valores propios, funciones zeta espectrales y determinantes zeta en superficies hiperbólicas". Matemáticas contemporáneas . 700 . Montreal: Centre de Recherches Mathématiques y American Mathematical Society: 194. arXiv : 1603.07356 . doi :10.1090/conm/700. ISBN 9781470426651.