El sistema dinámico de Hadamard

Sistema dinámico caótico, una especie de "billar"

En física y matemáticas , el sistema dinámico de Hadamard (también llamado billar de Hadamard o modelo de Hadamard-Gutzwiller ^[1] ) es un sistema dinámico caótico , un tipo de billar dinámico . Introducido por Jacques Hadamard en 1898, ^[2] y estudiado por Martin Gutzwiller en la década de 1980, ^{[3] [4]} es el primer sistema dinámico que se ha demostrado caótico .

El sistema considera el movimiento de una partícula libre ( sin fricción ) sobre la superficie de Bolza , es decir, una superficie bidimensional de género dos (una rosquilla con dos agujeros) y curvatura negativa constante ; se trata de una superficie compacta de Riemann . Hadamard fue capaz de demostrar que cada trayectoria de partícula se aleja de todas las demás: que todas las trayectorias tienen un exponente de Lyapunov positivo .

Frank Steiner sostiene que el estudio de Hadamard debería considerarse el primer examen de un sistema dinámico caótico, y que Hadamard debería ser considerado el primer descubridor del caos. ^[5] Señala que el estudio se difundió ampliamente y considera el impacto de las ideas en el pensamiento de Albert Einstein y Ernst Mach .

El sistema es particularmente importante porque en 1963, Yakov Sinai , al estudiar el billar de Sinai como modelo del conjunto clásico de un gas de Boltzmann-Gibbs, pudo demostrar que el movimiento de los átomos en el gas sigue las trayectorias del sistema dinámico de Hadamard.

Exposición

El movimiento estudiado es el de una partícula libre que se desliza sin fricción sobre la superficie, es decir, una que tiene el hamiltoniano

${\displaystyle H(p,q)={\frac {1}{2m}}p_{i}p_{j}g^{ij}(q)}$

donde m es la masa de la partícula, , son las coordenadas en la variedad, son los momentos conjugados : ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle i=1,2}$ ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle p_{i}=mg_{ij}{\frac {dq^{j}}{dt}}}$

y

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}(q)dq^{i}dq^{j}\,}$

es el tensor métrico en la variedad. Como este es el hamiltoniano de partícula libre, la solución de las ecuaciones de movimiento de Hamilton-Jacobi se da simplemente mediante las geodésicas en la variedad.

Hadamard pudo demostrar que todas las geodésicas son inestables, ya que todas divergen exponencialmente entre sí, como ocurre con el exponente de Lyapunov positivo . ${\displaystyle e^{\lambda t}}$

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {2E}{mR^{2}}}}}$

siendo E la energía de una trayectoria, y siendo la curvatura negativa constante de la superficie. ${\displaystyle K=-1/R^{2}}$

Referencias

1. Aurich, R.; Sieber, M.; Steiner, F. (1 de agosto de 1988). "Caos cuántico del modelo Hadamard-Gutzwiller" (PDF) . Cartas de revisión física . 61 (5): 483–487. Código bibliográfico : 1988PhRvL..61..483A. doi :10.1103/PhysRevLett.61.483. PMID  10039347.
2. Hadamard, J. (1898). "Les superficies à courbures opposées et leurs lignes géodésiques". J. Matemáticas. Pures Appl . 4 : 27–73.
3. Gutzwiller, MC (21 de julio de 1980). "Cuantización clásica de un hamiltoniano con comportamiento ergódico". Physical Review Letters . 45 (3): 150–153. Código Bibliográfico :1980PhRvL..45..150G. doi :10.1103/PhysRevLett.45.150.
4. Gutzwiller, MC (1985). "La geometría del caos cuántico". Physica Scripta . T9 : 184–192. Código Bibliográfico :1985PhST....9..184G. doi :10.1088/0031-8949/1985/T9/030.
5. Steiner, Frank (1994). "Caos cuántico". En Ansorge, R. (ed.). Schlaglichter der Forschung: Zum 75. Jahrestag der Universität Hamburg 1994 . Berlín: Reimer. págs. 542–564. arXiv : chao-dyn/9402001 . Código bibliográfico : 1994chao.dyn..2001S. ISBN 978-3-496-02540-5.