Sin embargo, tiene colas más pesadas y la cantidad de masa de probabilidad en las colas está controlada por el parámetro Para la distribución t de Student se convierte en la distribución de Cauchy estándar , que tiene colas muy "gordas" ; mientras que para se convierte en la distribución normal estándar , que tiene colas muy "delgadas".
En la forma de distribución t de escala de ubicación, generaliza la distribución normal y también surge en el análisis bayesiano de datos de una familia normal como una distribución compuesta al marginalizar sobre el parámetro de varianza.
En la literatura en lengua inglesa, la distribución toma su nombre del artículo de 1908 de William Sealy Gosset en Biometrika bajo el seudónimo de "Student". [10] Una versión del origen del seudónimo es que el empleador de Gosset prefería que el personal usara seudónimos al publicar artículos científicos en lugar de su nombre real, por lo que utilizó el nombre "Student" para ocultar su identidad. Otra versión es que Guinness no quería que sus competidores supieran que estaban utilizando la prueba t para determinar la calidad de la materia prima. [11] [12]
Gosset trabajó en la fábrica de cerveza Guinness en Dublín, Irlanda , y estaba interesado en los problemas de las muestras pequeñas; por ejemplo, las propiedades químicas de la cebada, donde los tamaños de muestra pueden ser tan pequeños como 3. El artículo de Gosset se refiere a la distribución como la "distribución de frecuencia de las desviaciones estándar de muestras extraídas de una población normal". Se hizo muy conocida a través del trabajo de Ronald Fisher , quien llamó a la distribución "distribución de Student" y representó el valor de prueba con la letra t . [13] [14]
donde es la función Beta . En particular, para grados de libertad de valores enteros tenemos:
Porque y aun,
Por y para impar,
La función de densidad de probabilidad es simétrica y su forma general se asemeja a la forma de campana de una variable distribuida normalmente con media 0 y varianza 1, excepto que es un poco más baja y más ancha. A medida que aumenta el número de grados de libertad, la distribución t se aproxima a la distribución normal con media 0 y varianza 1. Por esta razón, también se la conoce como parámetro de normalidad. [15]
Las siguientes imágenes muestran la densidad de la distribución t para valores crecientes de La distribución normal se muestra como una línea azul para comparación. Observe que la distribución t (línea roja) se acerca más a la distribución normal a medida que aumenta.
Densidad de la distribución t (roja) para 1, 2, 3, 5, 10 y 30 grados de libertad en comparación con la distribución normal estándar (azul). Los gráficos anteriores se muestran en verde.
La distribución t de Student se generaliza a la distribución t de ubicación-escala de tres parámetros introduciendo un parámetro de ubicación y un parámetro de escala .
ser una estimación imparcial de la varianza de la muestra. Se puede demostrar que la variable aleatoria
tiene una distribución de chi-cuadrado con grados de libertad (por el teorema de Cochran ). [20] Se demuestra fácilmente que la cantidad
se distribuye normalmente con media 0 y varianza 1, ya que la media de la muestra se distribuye normalmente con media μ y varianza σ 2 / n . Además, es posible demostrar que estas dos variables aleatorias (la que se distribuye normalmente Z y la que se distribuye con chi-cuadrado V ) son independientes. En consecuencia [ aclaración necesaria ] la cantidad fundamental
que difiere de Z en que la desviación estándar exacta σ se reemplaza por la variable aleatoria S n , tiene una distribución t de Student como se definió anteriormente. Nótese que la varianza poblacional desconocida σ 2 no aparece en T , ya que estaba tanto en el numerador como en el denominador, por lo que se canceló. Gosset obtuvo intuitivamente la función de densidad de probabilidad establecida anteriormente, con igual a n − 1, y Fisher la demostró en 1925. [13]
La distribución de la estadística de prueba T depende de , pero no de μ o σ ; la falta de dependencia de μ y σ es lo que hace que la distribución t sea importante tanto en la teoría como en la práctica.
Distribución de muestreo de la estadística t
La distribución t surge como la distribución de muestreo de la estadística t . A continuación se analiza la estadística t de una muestra ; para la estadística t de dos muestras correspondiente, consulte la prueba t de Student .
Estimación de varianza imparcial
Sean muestras independientes e idénticamente distribuidas de una distribución normal con media y varianza. La media de la muestra y la varianza de la muestra no sesgada vienen dadas por:
La estadística t resultante (una muestra) viene dada por
y se distribuye según una distribución t de Student con grados de libertad.
Por lo tanto, para fines de inferencia, la estadística t es una " cantidad fundamental " útil en el caso en que la media y la varianza son parámetros poblacionales desconocidos, en el sentido de que la estadística t tiene entonces una distribución de probabilidad que no depende ni de
Estimación de la varianza de ML
En lugar de la estimación imparcial también podemos utilizar la estimación de máxima verosimilitud.
dando como resultado la estadística
Esto se distribuye de acuerdo con la distribución t de escala de ubicación :
Distribución compuesta de normal con distribución gamma inversa
La distribución t a escala de ubicación resulta de la composición de una distribución gaussiana (distribución normal) con media y varianza desconocida , con una distribución gamma inversa colocada sobre la varianza con parámetros y En otras palabras, se supone que la variable aleatoria X tiene una distribución gaussiana con una varianza desconocida distribuida como gamma inversa, y luego la varianza se margina (se integra).
De manera equivalente, esta distribución resulta de combinar una distribución gaussiana con una distribución chi-cuadrado inversa escalada con parámetros y La distribución chi-cuadrado inversa escalada es exactamente la misma distribución que la distribución gamma inversa, pero con una parametrización diferente, es decir
La razón de la utilidad de esta caracterización es que en la estadística bayesiana la distribución gamma inversa es la distribución previa conjugada de la varianza de una distribución gaussiana. Como resultado, la distribución t de escala de ubicación surge naturalmente en muchos problemas de inferencia bayesiana. [21]
Existen varios enfoques para construir muestras aleatorias a partir de la distribución t de Student . La cuestión depende de si las muestras se requieren de forma independiente o se deben construir mediante la aplicación de una función cuantil a muestras uniformes ; por ejemplo, en la base de aplicaciones multidimensionales de dependencia de cópula . [ cita requerida ] En el caso del muestreo independiente, se puede implementar fácilmente una extensión del método de Box-Muller y su forma polar . [23] Tiene el mérito de que se aplica igualmente bien a todos los grados de libertad positivos reales , ν , mientras que muchos otros métodos candidatos fallan si ν es cercano a cero. [23]
Integral de la función de densidad de probabilidad de Student ypag-valor
La función A ( t | ν ) es la integral de la función de densidad de probabilidad de Student, f ( t ) entre -t y t , para t ≥ 0 . Por lo tanto, da la probabilidad de que un valor de t menor que el calculado a partir de datos observados ocurra por casualidad. Por lo tanto, la función A ( t | ν ) se puede utilizar para probar si la diferencia entre las medias de dos conjuntos de datos es estadísticamente significativa, calculando el valor correspondiente de t y la probabilidad de su ocurrencia si los dos conjuntos de datos se extrajeron de la misma población. Esto se utiliza en una variedad de situaciones, particularmente en pruebas t . Para el estadístico t , con ν grados de libertad, A ( t | ν ) es la probabilidad de que t sea menor que el valor observado si las dos medias fueran iguales (siempre que la media más pequeña se reste de la más grande, de modo que t ≥ 0 ). Se puede calcular fácilmente a partir de la función de distribución acumulativa F ν ( t ) de la distribución t :
Para probar la hipótesis estadística, esta función se utiliza para construir el valor p .
Distribuciones relacionadas
La distribución t no central generaliza la distribución t para incluir un parámetro de no centralidad. A diferencia de las distribuciones t no estandarizadas , las distribuciones no centrales no son simétricas (la mediana no es lo mismo que la moda).
La distribución t de Student discreta se define por su función de masa de probabilidad en r, que es proporcional a: [24] Aquí a , b y k son parámetros. Esta distribución surge de la construcción de un sistema de distribuciones discretas similar al de las distribuciones de Pearson para distribuciones continuas. [25]
Se pueden generar muestras de Student A ( t | ν ) tomando la proporción de variables de la distribución normal y la raíz cuadrada de la distribución χ ² . Si utilizamos en lugar de la distribución normal, por ejemplo, la distribución de Irwin-Hall , obtenemos en general una distribución simétrica de 4 parámetros, que incluye la distribución normal, la uniforme , la triangular , la t de Student y la distribución de Cauchy . Esto también es más flexible que algunas otras generalizaciones simétricas de la distribución normal.
La distribución t de Student surge en una variedad de problemas de estimación estadística donde el objetivo es estimar un parámetro desconocido, como un valor medio, en un contexto donde los datos se observan con errores aditivos . Si (como en casi todo trabajo estadístico práctico) la desviación estándar de la población de estos errores es desconocida y debe estimarse a partir de los datos, la distribución t se utiliza a menudo para dar cuenta de la incertidumbre adicional que resulta de esta estimación. En la mayoría de estos problemas, si se conociera la desviación estándar de los errores, se utilizaría una distribución normal en lugar de la distribución t .
Muy a menudo, los problemas de los libros de texto tratan la desviación estándar de la población como si fuera conocida y, por lo tanto, evitan la necesidad de utilizar la distribución t de Student . Estos problemas son generalmente de dos tipos: (1) aquellos en los que el tamaño de la muestra es tan grande que se puede tratar una estimación basada en datos de la varianza como si fuera cierta, y (2) aquellos que ilustran el razonamiento matemático, en los que el problema de estimar la desviación estándar se ignora temporalmente porque ese no es el punto que el autor o el instructor están explicando.
Prueba de hipótesis
Se puede demostrar que una serie de estadísticas tienen distribuciones t para muestras de tamaño moderado bajo hipótesis nulas que son de interés, de modo que la distribución t constituye la base para las pruebas de significación. Por ejemplo, la distribución del coeficiente de correlación de rangos de Spearman ρ , en el caso nulo (correlación cero) se aproxima bien mediante la distribución t para tamaños de muestra superiores a aproximadamente 20. [ cita requerida ]
Intervalos de confianza
Supongamos que el número A se elige de tal manera que
cuando T tiene una distribución t con n − 1 grados de libertad. Por simetría, esto es lo mismo que decir que A satisface
Entonces A es el "percentil 95" de esta distribución de probabilidad, o Entonces
y esto es equivalente a
Por lo tanto, el intervalo cuyos puntos finales son
es un intervalo de confianza del 90 % para μ. Por lo tanto, si encontramos la media de un conjunto de observaciones que podemos esperar razonablemente que tengan una distribución normal, podemos usar la distribución t para examinar si los límites de confianza de esa media incluyen algún valor predicho teóricamente, como el valor predicho en una hipótesis nula .
Este es el resultado que se utiliza en las pruebas t de Student : dado que la diferencia entre las medias de muestras de dos distribuciones normales se distribuye normalmente, la distribución t se puede utilizar para examinar si se puede suponer razonablemente que esa diferencia es cero.
Si los datos se distribuyen normalmente, el límite de confianza superior (LCS ) unilateral (1 − α ) de la media se puede calcular utilizando la siguiente ecuación:
El UCL resultante será el mayor valor promedio que se dará para un intervalo de confianza y tamaño de población dados. En otras palabras, al ser la media del conjunto de observaciones, la probabilidad de que la media de la distribución sea inferior al UCL 1 − α es igual al nivel de confianza 1 − α .
Intervalos de predicción
La distribución t se puede utilizar para construir un intervalo de predicción para una muestra no observada de una distribución normal con media y varianza desconocidas.
En estadística bayesiana
La distribución t de Student , especialmente en su versión de tres parámetros (ubicación-escala), surge con frecuencia en las estadísticas bayesianas como resultado de su conexión con la distribución normal. Siempre que se desconoce la varianza de una variable aleatoria distribuida normalmente y se coloca sobre ella una distribución conjugada previa que sigue una distribución gamma inversa , la distribución marginal resultante de la variable seguirá una distribución t de Student . Las construcciones equivalentes con los mismos resultados involucran una distribución conjugada escalada-inversa-chi-cuadrado sobre la varianza, o una distribución gamma conjugada sobre la precisión . Si una distribución previa impropia proporcional a 1/σ² se coloca sobre la varianza, también surge la distribución t . Esto es así independientemente de si la media de la variable distribuida normalmente es conocida, se desconoce si se distribuye de acuerdo con una distribución previa normalmente conjugada o se desconoce si se distribuye de acuerdo con una distribución previa constante impropia.
Situaciones relacionadas que también producen una distribución t son:
Distribución posterior marginal de la media desconocida de una variable distribuida normalmente, con media previa y varianza desconocidas, siguiendo el modelo anterior .
La distribución t se utiliza a menudo como una alternativa a la distribución normal como modelo para los datos, que a menudo tienen colas más pesadas de lo que permite la distribución normal; consulte, por ejemplo, Lange et al. [26] El enfoque clásico era identificar valores atípicos (por ejemplo, utilizando la prueba de Grubbs ) y excluirlos o reducir su peso de alguna manera. Sin embargo, no siempre es fácil identificar valores atípicos (especialmente en dimensiones altas ), y la distribución t es una elección natural de modelo para tales datos y proporciona un enfoque paramétrico para estadísticas robustas .
Se puede encontrar una explicación bayesiana en Gelman et al. [27] . El parámetro de grados de libertad controla la curtosis de la distribución y está correlacionado con el parámetro de escala. La verosimilitud puede tener múltiples máximos locales y, como tal, a menudo es necesario fijar los grados de libertad en un valor bastante bajo y estimar los otros parámetros tomándolo como dado. Algunos autores [ cita requerida ] informan que los valores entre 3 y 9 suelen ser buenas opciones. Venables y Ripley [ cita requerida ] sugieren que un valor de 5 suele ser una buena opción.
Estudiantesa proceso
Para las necesidades prácticas de regresión y predicción , se introdujeron los procesos t de Student, que son generalizaciones de las distribuciones t de Student para funciones. Un proceso t de Student se construye a partir de las distribuciones t de Student como un proceso gaussiano se construye a partir de las distribuciones gaussianas . Para un proceso gaussiano , todos los conjuntos de valores tienen una distribución gaussiana multidimensional. Análogamente, es un proceso t de Student en un intervalo si los valores correspondientes del proceso ( ) tienen una distribución t de Student multivariada conjunta . [28] Estos procesos se utilizan para regresión, predicción, optimización bayesiana y problemas relacionados. Para la regresión multivariada y la predicción de múltiples salidas, se introducen y utilizan los procesos t de Student multivariados. [29]
Tabla de valores seleccionados
La siguiente tabla muestra los valores de las distribuciones t con ν grados de libertad para un rango de regiones críticas unilaterales o bilaterales. La primera columna es ν , los porcentajes en la parte superior son los niveles de confianza y los números en el cuerpo de la tabla son los factores descritos en la sección sobre intervalos de confianza.
La última fila con ν infinito proporciona puntos críticos para una distribución normal, ya que una distribución t con infinitos grados de libertad es una distribución normal. (Ver Distribuciones relacionadas más arriba).
Calcular el intervalo de confianza
Digamos que tenemos una muestra con un tamaño de 11, una media muestral de 10 y una varianza muestral de 2. Para un 90 % de confianza con 10 grados de libertad, el valor t unilateral de la tabla es 1,372. Entonces, con un intervalo de confianza calculado a partir de
Determinamos que con un 90% de confianza tenemos una media verdadera que se encuentra por debajo
En otras palabras, el 90% de las veces que se calcula un umbral superior mediante este método a partir de muestras particulares, este umbral superior excede la media real.
Y con un 90% de confianza tenemos una media real que se encuentra arriba
En otras palabras, el 90% de las veces que se calcula un umbral inferior mediante este método a partir de muestras particulares, dicho umbral inferior se encuentra por debajo de la media real.
De modo que con un 80% de confianza (calculado a partir de 100% − 2 × (1 − 90%) = 80%), tenemos una media verdadera que se encuentra dentro del intervalo
Decir que el 80% de las veces que se calculan los umbrales superior e inferior mediante este método a partir de una muestra dada, la media verdadera está tanto por debajo del umbral superior como por encima del umbral inferior no es lo mismo que decir que hay una probabilidad del 80% de que la media verdadera se encuentre entre un par particular de umbrales superior e inferior que se han calculado mediante este método; véase intervalo de confianza y falacia del fiscal .
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