Distribución gamma inversa

Two-parameter family of continuous probability distributions

En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución gamma inversa es una familia de dos parámetros de distribuciones de probabilidad continuas sobre la línea real positiva , que es la distribución del recíproco de una variable distribuida según la distribución gamma .

Quizás el uso principal de la distribución gamma inversa sea en la estadística bayesiana , donde la distribución surge como la distribución posterior marginal para la varianza desconocida de una distribución normal , si se utiliza una priorización no informativa , y como una priorización conjugada analíticamente manejable , si se utiliza una priorización informativa. Se requiere previa. Es común entre algunos bayesianos considerar una parametrización alternativa de la distribución normal en términos de la precisión , definida como el recíproco de la varianza, que permite utilizar la distribución gamma directamente como prior conjugada. Otros bayesianos prefieren parametrizar la distribución gamma inversa de manera diferente, como una distribución chi-cuadrado inversa escalada .

Caracterización

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de la distribución gamma inversa se define sobre el soporte ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}(1/x)^{\alpha +1}\exp \left(-\beta /x\right)}$

con parámetro de forma y parámetro de escala . ^[1] Aquí se indica la función gamma . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$

A diferencia de la distribución Gamma , que contiene un término exponencial algo similar, es un parámetro de escala ya que la función de distribución satisface: ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {f(x/\beta ;\alpha ,1)}{\beta }}}$

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa es la función gamma regularizada.

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma \left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)}{\Gamma (\alpha )}}=Q\left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)\!}$

donde el numerador es la función gamma incompleta superior y el denominador es la función gamma . Muchos paquetes matemáticos permiten el cálculo directo de la función gamma regularizada. ${\displaystyle Q}$

Momentos

Siempre que , el -ésimo momento de la distribución gamma inversa esté dado por ^[2] ${\displaystyle \alpha >n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mathrm {E} [X^{n}]=\beta ^{n}{\frac {\Gamma (\alpha -n)}{\Gamma (\alpha )}}={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -1)\cdots (\alpha -n)}}.}$

Función característica

La distribución gamma inversa tiene una función característica.

$${\displaystyle {\frac {2\left(-i\beta t\right)^{\!\!{\frac {\alpha }{2}}}}{\Gamma (\alpha )}}K_{\alpha }\left({\sqrt {-4i\beta t}}\right)}$$

función de Bessel modificada ${\displaystyle K_{\alpha }}$

Propiedades

Para y , ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \beta >0}$

${\displaystyle \mathbb {E} [\ln(X)]=\ln(\beta )-\psi (\alpha )\,}$

y

${\displaystyle \mathbb {E} [X^{-1}]={\frac {\alpha }{\beta }},\,}$

La entropía de la información es

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (X)&=\operatorname {E} [-\ln(p(X))]\\&=\operatorname {E} \left[-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(X)+{\frac {\beta }{X}}\right]\\&=-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(\beta )-(\alpha +1)\psi (\alpha )+\alpha \\&=\alpha +\ln(\beta \Gamma (\alpha ))-(\alpha +1)\psi (\alpha ).\end{aligned}}}$

¿Dónde está la función digamma ? ${\displaystyle \psi (\alpha )}$

La divergencia de Kullback-Leibler de Gamma inversa ( α _p , β _p ) de Gamma inversa ( α _q , β _q ) es la misma que la divergencia KL de Gamma ( α _p , β _p ) de Gamma ( α _q , βq ₎ :

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (X)}{\pi (X)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (1/Y)}{\pi (1/Y)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho _{G}(Y)}{\pi _{G}(Y)}}\right],}$

¿Dónde están las PDF de las distribuciones Gamma inversa y son las PDF de las distribuciones Gamma? Gamma ( α _p , β _p ) está distribuida. ${\displaystyle \rho ,\pi }$ ${\displaystyle \rho _{G},\pi _{G}}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log \Gamma (\alpha _{p})+\log \Gamma (\alpha _{q})+\alpha _{q}(\log \beta _{p}-\log \beta _{q})+\alpha _{p}{\frac {\beta _{q}-\beta _{p}}{\beta _{p}}}.\end{aligned}}}$

Distribuciones relacionadas

• Si entonces , por ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle kX\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,k\beta )\,}$ ${\displaystyle k>0}$
• Si entonces ( distribución chi-cuadrado inversa ) ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,{\tfrac {1}{2}})}$ ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(2\alpha )\,}$
• Si entonces ( distribución de chi cuadrado inversa escalada ) ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}({\tfrac {\alpha }{2}},{\tfrac {1}{2}})}$ ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scaled Inv-}}\chi ^{2}(\alpha ,{\tfrac {1}{\alpha }})\,}$
• Si entonces ( distribución de Lévy ) ${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})}$ ${\displaystyle X\sim {\textrm {Levy}}(0,c)\,}$
• Si entonces ( Distribución exponencial ) ${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}(1,c)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\textrm {Exp}}(c)\,}$
• Si ( distribución gamma con parámetro de velocidad ), entonces (consulte la derivación en el siguiente párrafo para obtener más detalles) ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$
• Tenga en cuenta que si (distribución gamma con parámetro de escala ) entonces ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(k,\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 1/X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(k,1/\theta )}$
• La distribución gamma inversa es un caso especial de la distribución de Pearson tipo 5
• Una generalización multivariada de la distribución gamma inversa es la distribución de Wishart inversa .
• Para la distribución de una suma de variables Gamma invertidas independientes, consulte Witkovsky (2001)

Derivación de la distribución gamma

Dejemos y recordemos que la fdp de la distribución gamma es ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}$, . ${\displaystyle x>0}$

Tenga en cuenta que es el parámetro de tasa desde la perspectiva de la distribución gamma. ${\displaystyle \beta }$

Definir la transformación . Entonces, el pdf de es ${\displaystyle Y=g(X)={\tfrac {1}{X}}}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Y}(y)&=f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|{\frac {d}{dy}}g^{-1}(y)\right|\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right){\frac {1}{y^{2}}}\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha +1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left(y\right)^{-\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que es el parámetro de escala desde la perspectiva de la distribución gamma inversa. Esto se puede demostrar claramente al ver que satisface las condiciones para ser un parámetro de escala . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f_{\beta }(y/\beta )}{\beta }}&={\frac {1}{\beta }}{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {y}{\beta }}\right)^{-\alpha -1}\exp(-y)\\[6pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\left(y\right)^{-\alpha -1}\exp(-y)\\[6pt]&=f_{\beta =1}(y)\end{aligned}}}$

Ocurrencia

• La distribución temporal de un proceso de Wiener sigue una distribución de Lévy , que es un caso especial de la distribución gamma inversa con . ^[3] ${\displaystyle \alpha =0.5}$

Ver también

• Distribución gamma
• Distribución inversa de chi cuadrado
• Distribución normal
• Distribución de Pearson

Referencias

1. "InverseGammaDistribution: documentación de Wolfram Language". referencia.wolfram.com . Consultado el 9 de abril de 2018 .
2. John D. Cook (3 de octubre de 2008). "Distribución Gamma Inversa" (PDF) . Consultado el 3 de diciembre de 2018 .
3. Ludkovski, Mike (2007). "Matemáticas 526: notas de movimiento browniano" (PDF) . UC Santa Bárbara. págs. 5–6.

• Hoff, P. (2009). "Un primer curso de métodos estadísticos bayesianos". Saltador.
• Witkovsky, V. (2001). "Cálculo de la distribución de una combinación lineal de variables gamma invertidas". Kybernética . 37 (1): 79–90. SEÑOR  1825758. Zbl  1263.62022.