La función beta es simétrica , lo que significa que para todas las entradas y . [1]
Una propiedad clave de la función beta es su estrecha relación con la función gamma : [1]
A continuación se proporciona una prueba en § Relación con la función gamma.
La función beta también está estrechamente relacionada con los coeficientes binomiales . Cuando m (o n , por simetría) es un número entero positivo, de la definición de la función gamma Γ se deduce que [1]
Relación con la función gamma
Se puede encontrar una derivación simple de la relación en el libro de Emil Artin The Gamma Function , páginas 18-19. [2]
Para derivar esta relación, escriba el producto de dos factoriales como
Cambiando variables por u = st y v = s (1 − t ) , porque u + v = s y u / (u+v) = t , tenemos que los límites de integraciones para s son de 0 a ∞ y los límites de la integración para t es de 0 a 1. Por lo tanto, se produce
Dividir ambos lados entre da el resultado deseado.
La identidad declarada puede verse como un caso particular de la identidad de la integral de una convolución . Tomando
La función beta satisface varias identidades análogas a las identidades correspondientes de coeficientes binomiales, incluida una versión de la identidad de Pascal.
y una recurrencia simple en una coordenada:
[4]
Los valores enteros positivos de la función beta son también las derivadas parciales de una función 2D: para todos los números enteros no negativos y ,
Las evaluaciones en puntos particulares pueden simplificarse significativamente; Por ejemplo,
y
[5]
Teniendo en cuenta esta última fórmula, se deduce que . Generalizar esto en una identidad bivariada para un producto de funciones beta conduce a:
La integral de Euler para la función beta se puede convertir en una integral sobre el contorno de Pochhammer C como
Esta integral de contorno de Pochhammer converge para todos los valores de α y β y así da la continuación analítica de la función beta.
Así como la función gamma para números enteros describe factoriales , la función beta puede definir un coeficiente binomial después de ajustar los índices:
Además, para un número entero n , Β se puede factorizar para obtener una función de interpolación de forma cerrada para valores continuos de k :
Función beta recíproca
La función beta recíproca es la función sobre la forma
La función beta incompleta , una generalización de la función beta, se define como [7] [8]
Para x = 1 , la función beta incompleta coincide con la función beta completa. La relación entre las dos funciones es similar a la que existe entre la función gamma y su generalización, la función gamma incompleta . Para números enteros positivos a y b , la función beta incompleta será un polinomio de grado a + b - 1 con coeficientes racionales.
La función beta incompleta regularizada (o función beta regularizada para abreviar) se define en términos de la función beta incompleta y la función beta completa:
converge rápidamente cuando no está cerca de 1. Los convergentes y son menores que , mientras que los convergentes y son mayores que .
Para , la función se puede evaluar de manera más eficiente usando . [8]
Función beta multivariante
La función beta se puede extender a una función con más de dos argumentos:
Esta función beta multivariante se utiliza en la definición de la distribución de Dirichlet . Su relación con la función beta es análoga a la relación entre coeficientes multinomiales y coeficientes binomiales. Por ejemplo, satisface una versión similar de la identidad de Pascal:
Incluso si no están disponibles directamente, los valores de la función beta completa e incompleta se pueden calcular utilizando funciones comúnmente incluidas en hojas de cálculo o sistemas de álgebra informática .
Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))
Este resultado se deriva de las propiedades enumeradas anteriormente.
La función beta incompleta no se puede calcular directamente utilizando tales relaciones y se deben utilizar otros métodos. En GNU Octave, se calcula mediante una expansión de fracción continua .
La función beta incompleta ya tiene implementación en lenguajes comunes. Por ejemplo, betainc(función beta incompleta) en MATLAB y GNU Octave , pbeta(probabilidad de distribución beta) en R , o special.betaincen SciPy calcula la función beta incompleta regularizada —que es, de hecho, la distribución beta acumulativa— y así, para obtener la función beta incompleta real, se debe multiplicar el resultado de betaincpor el resultado devuelto por la betafunción correspondiente. En Mathematica , Beta[x, a, b]y BetaRegularized[x, a, b]dan y , respectivamente.
^ abc Davis, Philip J. (1972), "6. Función gamma y funciones relacionadas", en Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (eds.), Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas, Nueva York: Dover Publications , p. 258, ISBN 978-0-486-61272-0. Específicamente, consulte 6.2 Función Beta.
^ Artin, Emil, The Gamma Function (PDF) , págs. 18-19, archivado desde el original (PDF) el 12 de noviembre de 2016 , consultado el 11 de noviembre de 2016
^ Función beta: representaciones en serie (Fórmula 06.18.06.0007)
^ Mäklin, Tommi (2022), Métodos probabilísticos para metagenómica de alta resolución (PDF) , Serie de publicaciones A / Departamento de Ciencias de la Computación, Universidad de Helsinki, Helsinki: Unigrafia, p. 27, ISBN978-951-51-8695-9, ISSN 2814-4031
^ "Fórmula de reflexión de Euler - ProofWiki", proofwiki.org , consultado el 2 de septiembre de 2020
Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 6.1 Función gamma, función beta, factoriales", Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, archivado desde el original el 27 de octubre de 2021 , consultado el 9 de agosto de 2011