Función de pieza estándar

Función desde lo hiperreal limitado a los números reales

En el análisis no estándar , la función parcial estándar es una función desde los números hiperreales limitados (finitos) hasta los números reales. Brevemente, la función de parte estándar "redondea" un hiperreal finito al real más cercano. Se asocia a cada uno de esos hiperrealistas , el único real infinitamente cercano a él, es decir, que es infinitesimal . Como tal, es una implementación matemática del concepto histórico de desigualdad introducido por Pierre de Fermat , ^[1] así como de la ley trascendental de homogeneidad de Leibniz . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x-x_{0}}$

La función de parte estándar fue definida por primera vez por Abraham Robinson, quien utilizó la notación para la parte estándar de un hiperreal (ver Robinson 1974). Este concepto juega un papel clave en la definición de los conceptos del cálculo, como la continuidad, la derivada y la integral, en el análisis no estándar . Esta última teoría es una formalización rigurosa de los cálculos con infinitesimales . La parte estándar de x a veces se denomina sombra . ^[2] ${\displaystyle {}^{\circ }x}$ ${\displaystyle x}$

Definición

La función de parte estándar "redondea" un hiperreal finito al número real más cercano. El "microscopio infinitesimal" se utiliza para ver una vecindad infinitesimal de un real estándar.

El análisis no estándar se ocupa principalmente del par , donde los hiperreales son una extensión de campo ordenada de los reales y contienen infinitesimales, además de los reales. En la línea hiperreal, cada número real tiene una colección de números (llamada mónada o halo ) de hiperreales infinitamente cercanos a él. La función parte estándar asocia a un hiperreal finito x , el único número real estándar x ₀ que está infinitamente cerca de él. La relación se expresa simbólicamente escribiendo. ${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {st} (x)=x_{0}.}$

La parte estándar de cualquier infinitesimal es 0. Por lo tanto, si N es un infinito hipernatural , entonces 1/ N es infinitesimal y st(1/ N ) = 0.

Si un hiperreal está representado por una secuencia de Cauchy en la construcción de ultrapoderes , entonces ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle }$

${\displaystyle \operatorname {st} (u)=\lim _{n\to \infty }u_{n}.}$

De manera más general, cada finito define un corte de Dedekind en el subconjunto (a través del orden total en ) y el número real correspondiente es la parte estándar de u . ${\displaystyle u\in {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} }$

No interno

La función de pieza estándar "st" no está definida por un conjunto interno . Hay varias maneras de explicar esto. Quizás la más simple es que su dominio L, que es la colección de hiperreales limitados (es decir, finitos), no es un conjunto interno. Es decir, dado que L está acotado (por cualquier infinito hipernatural, por ejemplo), L tendría que tener un límite superior mínimo si L fuera interno, pero L no tiene un límite superior mínimo. Alternativamente, el rango de "st" es , que no es interno; de hecho, todo conjunto interno que sea un subconjunto de es necesariamente finito . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Aplicaciones

Todas las nociones tradicionales de cálculo se pueden expresar en términos de la función de parte estándar, como sigue.

Derivado

La función de parte estándar se utiliza para definir la derivada de una función f . Si f es una función real y h es infinitesimal, y si f ′( x ) existe, entonces

${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right).}$

Alternativamente, si , se toma un incremento infinitesimal y se calcula el correspondiente . Se forma la proporción . La derivada se define entonces como la parte estándar de la relación: ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}$ ${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right).}$

Integral

Dada una función en , se define la integral como la parte estándar de una suma de Riemann infinita cuando el valor de se considera infinitesimal, explotando una partición hiperfinita del intervalo [ a , b ]. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ ${\displaystyle S(f,a,b,\Delta x)}$ ${\displaystyle \Delta x}$

Límite

Dada una secuencia , su límite está definido por donde es un índice infinito. Aquí se dice que existe el límite si la pieza estándar es la misma independientemente del índice infinito elegido. ${\displaystyle (u_{n})}$ ${\textstyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=\operatorname {st} (u_{H})}$ ${\displaystyle H\in {}^{*}\mathbb {N} \setminus \mathbb {N} }$

Continuidad

Una función real es continua en un punto real si y sólo si la composición es constante en el halo de . Consulte microcontinuidad para obtener más detalles. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {st} \circ f}$ ${\displaystyle x}$

Ver también

• Adecuación
• Cálculo no estándar

Referencias

1. Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (marzo de 2012). "Una crítica burguesa de las tendencias nominalistas en las matemáticas contemporáneas y su historiografía". Fundamentos de la ciencia . 17 (1): 51–89. arXiv : 1104.0375 . doi :10.1007/s10699-011-9223-1 Los autores hacen referencia a la parte estándar de Fermat-Robinson.{{cite journal}}: Mantenimiento CS1: posdata ( enlace )
2. Bascelli, Tiziana; Bottazzi, Emanuele; Herzberg, Federico; Kanovei, Vladimir; Katz, Karin U.; Katz, Mijaíl G.; Nowik, Tahl; Jerez, David; Shnider, Steven (1 de septiembre de 2014). "Fermat, Leibniz, Euler y la pandilla: la verdadera historia de los conceptos de límite y sombra" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 61 (08): 848. doi : 10.1090/noti1149.
3. Goldblatt, Robert (1998). Conferencias sobre los hiperreales: una introducción al análisis no estándar. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-98464-3.

Otras lecturas

• H. Jerome Keisler . Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal . Primera edición 1976; Segunda edición, 1986. (Este libro ya está agotado. El editor ha revertido los derechos de autor al autor, quien ha puesto a disposición la segunda edición en formato .pdf disponible para descargar en http://www.math.wisc.edu/ ~keisler/calc.html.)
• Abraham Robinson . Análisis no estándar. Reimpresión de la segunda edición (1974). Con prólogo de Wilhelmus AJ Luxemburg . Hitos de Princeton en matemáticas. Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1996. xx+293 págs. ISBN 0-691-04490-2