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John R. Stallings

John Robert Stallings Jr. (22 de julio de 1935 - 24 de noviembre de 2008) fue un matemático conocido por sus contribuciones fundamentales a la teoría geométrica de grupos y la topología de 3-variedades . Stallings fue profesor emérito en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de California en Berkeley [1], donde había sido miembro de la facultad desde 1967. [1] Publicó más de 50 artículos, predominantemente en las áreas de teoría geométrica de grupos y topología de 3-variedades . Las contribuciones más importantes de Stallings incluyen una prueba, en un artículo de 1960, de la conjetura de Poincaré en dimensiones mayores que seis y una prueba, en un artículo de 1971, del teorema de Stallings sobre los extremos de los grupos .

Biografía

John Stallings nació el 22 de julio de 1935 en Morrilton, Arkansas . [1]

Stallings recibió su licenciatura en la Universidad de Arkansas en 1956 (donde fue uno de los dos primeros graduados en el programa de honores de la universidad) [2] y recibió un doctorado en Matemáticas de la Universidad de Princeton en 1959 bajo la dirección de Ralph Fox . [1]

Después de completar su doctorado, Stallings ocupó varios puestos postdoctorales y de profesor, incluyendo un becario postdoctoral de la NSF en la Universidad de Oxford , así como un puesto de profesor y un nombramiento de profesor en Princeton. Stallings se unió a la Universidad de California en Berkeley como miembro de la facultad en 1967, donde permaneció hasta su jubilación en 1994. [1] Incluso después de su jubilación, Stallings continuó supervisando a los estudiantes de posgrado de UC Berkeley hasta 2005. [3] Stallings fue becario de investigación Alfred P. Sloan de 1962 a 1965 y becario del Instituto Miller de 1972 a 1973. [1] A lo largo de su carrera, Stallings tuvo 22 estudiantes de doctorado, incluidos Marc Culler , Stephen M. Gersten y J. Hyam Rubinstein y 100 descendientes de doctorados. Publicó más de 50 artículos, predominantemente en las áreas de teoría de grupos geométricos y la topología de 3-variedades .

Stallings pronunció un discurso como invitado en el Congreso Internacional de Matemáticos en Niza en 1970 [4] y una conferencia James K. Whittemore en la Universidad de Yale en 1969. [5]

Stallings recibió el Premio Frank Nelson Cole de Álgebra de la Sociedad Matemática Americana en 1970. [6]

La conferencia "Aspectos geométricos y topológicos de la teoría de grupos", celebrada en el Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas de Berkeley en mayo de 2000, estuvo dedicada al 65º cumpleaños de Stallings. [7] En 2002, un número especial de la revista Geometriae Dedicata estuvo dedicado a Stallings con motivo de su 65º cumpleaños. [8] Stallings murió de cáncer de próstata el 24 de noviembre de 2008. [3] [9]

Contribuciones matemáticas

La mayoría de las contribuciones matemáticas de Stallings se encuentran en las áreas de teoría de grupos geométricos y topología de baja dimensión (particularmente la topología de 3-variedades ) y en la interacción entre estas dos áreas.

Un resultado temprano significativo de Stallings es su prueba de 1960 [10] de la conjetura de Poincaré en dimensiones mayores que seis . (La prueba de Stallings se obtuvo independientemente y poco después de la prueba diferente de Stephen Smale , quien estableció el mismo resultado en dimensiones mayores que cuatro [11] ).

Utilizando métodos "envolventes" similares a los de su prueba de la conjetura de Poincaré para n > 6, Stallings demostró que el espacio euclidiano n -dimensional ordinario tiene una estructura lineal por partes única, por lo tanto también suave, si n no es igual a 4. Esto adquirió mayor importancia cuando, como consecuencia del trabajo de Michael Freedman y Simon Donaldson en 1982, se demostró que el espacio 4-dimensional tiene estructuras suaves exóticas , de hecho, un número incontable de estructuras no equivalentes.

En un artículo de 1963 [12] Stallings construyó un ejemplo de un grupo finitamente presentado con un grupo de homología integral tridimensional generado infinitamente y, además, no del tipo , es decir, que no admite un espacio de clasificación con un 3-esqueleto finito. Este ejemplo pasó a llamarse el grupo de Stallings y es un ejemplo clave en el estudio de las propiedades de finitud homológica de los grupos. Robert Bieri demostró más tarde [13] que el grupo de Stallings es exactamente el núcleo del homomorfismo del producto directo de tres copias del grupo libre al grupo aditivo de números enteros que envía a los seis elementos procedentes de la elección de bases libres para las tres copias de . Bieri también demostró que el grupo de Stallings encaja en una secuencia de ejemplos de grupos de tipo pero no de tipo . El grupo de Stallings es un objeto clave en la versión de la teoría de Morse discreta para complejos cúbicos desarrollada por Mladen Bestvina y Noel Brady [14] y en el estudio de subgrupos de productos directos de grupos límite. [15] [16] [17]

El teorema más famoso de Stallings en teoría de grupos es una caracterización algebraica de grupos con más de un extremo (es decir, con más de un "componente conexo en el infinito"), que ahora se conoce como teorema de Stallings sobre los extremos de los grupos . Stallings demostró que un grupo finitamente generado G tiene más de un extremo si y solo si este grupo admite una división no trivial como un producto libre amalgamado o como una extensión HNN sobre un grupo finito (es decir, en términos de la teoría de Bass-Serre , si y solo si el grupo admite una acción no trivial en un árbol con estabilizadores de aristas finitos). Más precisamente, el teorema establece que un grupo finitamente generado G tiene más de un extremo si y solo si G admite una división como un producto libre amalgamado , donde el grupo C es finito y , , o G admite una división como una extensión HNN donde son subgrupos finitos de H.

Stallings demostró este resultado en una serie de trabajos, primero tratando con el caso libre de torsión (esto es, un grupo sin elementos no triviales de orden finito ) [18] y luego con el caso general. [5] [19] El teorema de Stallings produjo una solución positiva al problema abierto de larga data sobre la caracterización de grupos finitamente generados de dimensión cohomológica uno como exactamente los grupos libres . [20] El teorema de Stallings sobre los extremos de los grupos se considera uno de los primeros resultados en la teoría geométrica de grupos propiamente dicha, ya que conecta una propiedad geométrica de un grupo (tener más de un extremo) con su estructura algebraica (admitir una división sobre un subgrupo finito). El teorema de Stallings generó muchas demostraciones alternativas posteriores por parte de otros matemáticos (por ejemplo, [21] [22] ), así como muchas aplicaciones (por ejemplo, [23] ). El teorema también motivó varias generalizaciones y versiones relativas del resultado de Stallings a otros contextos, como el estudio de la noción de extremos relativos de un grupo con respecto a un subgrupo, [24] [25] [26] incluyendo una conexión con los complejos cúbicos CAT(0) . [27] Un estudio exhaustivo que analiza, en particular, numerosas aplicaciones y generalizaciones del teorema de Stallings se presenta en un artículo de 2003 de CTC Wall . [28]

Otro artículo influyente de Stallings es su artículo de 1983 "Topología de grafos finitos". [29] Tradicionalmente, la estructura algebraica de subgrupos de grupos libres se ha estudiado en la teoría combinatoria de grupos utilizando métodos combinatorios, como el método de reescritura de Schreier y las transformaciones de Nielsen . [30] El artículo de Stallings propuso un enfoque topológico basado en los métodos de la teoría del espacio de cobertura que también utilizó un marco teórico de grafos simple . El artículo introdujo la noción de lo que ahora se conoce comúnmente como grafo de subgrupos de Stallings para describir subgrupos de grupos libres, y también introdujo una técnica de plegados (utilizada para aproximar y obtener algorítmicamente los grafos de subgrupos) y la noción de lo que ahora se conoce como plegado de Stallings . La mayoría de los resultados clásicos con respecto a los subgrupos de grupos libres adquirieron pruebas simples y directas en esta configuración y el método de Stallings se ha convertido en la herramienta estándar en la teoría para estudiar la estructura de subgrupos de grupos libres, incluidas las preguntas algebraicas y algorítmicas (ver [31] ). En particular, los gráficos de subgrupos de Stallings y los plegamientos de Stallings se han utilizado como herramientas clave en muchos intentos de aproximarse a la conjetura de Hanna Neumann . [32] [33] [34] [35]

Los gráficos de subgrupos de Stallings también pueden verse como autómatas de estados finitos [31] y también han encontrado aplicaciones en la teoría de semigrupos y en la ciencia informática . [36] [37] [38] [39]

El método de plegado de Stallings se ha generalizado y aplicado a otros contextos, en particular en la teoría de Bass-Serre para aproximar acciones de grupo en árboles y estudiar la estructura de subgrupos de los grupos fundamentales de grafos de grupos . El primer artículo en esta dirección fue escrito por el propio Stallings [40] , con varias generalizaciones posteriores de los métodos de plegado de Stallings en el contexto de la teoría de Bass-Serre por parte de otros matemáticos. [41] [42] [43] [44]

El artículo de Stallings de 1991 "Triángulos de grupos con curvatura no positiva" [45] introdujo y estudió la noción de triángulo de grupos . Esta noción fue el punto de partida de la teoría de complejos de grupos (un análogo de dimensión superior de la teoría de Bass-Serre ), desarrollada por André Haefliger [46] y otros. [47] [48] El trabajo de Stallings señaló la importancia de imponer algún tipo de condiciones de "curvatura no positiva" en los complejos de grupos para que la teoría funcione bien; tales restricciones no son necesarias en el caso unidimensional de la teoría de Bass-Serre.

Entre las contribuciones de Stallings a la topología de 3-variedades , la más conocida es el teorema de fibración de Stallings . [49] El teorema establece que si M es una 3-variedad compacta irreducible cuyo grupo fundamental contiene un subgrupo normal , tal que este subgrupo se genera finitamente y tal que el grupo cociente por este subgrupo es infinito cíclico , entonces M se fibra sobre un círculo. Este es un resultado estructural importante en la teoría de las variedades de Haken que engendró muchas pruebas alternativas, generalizaciones y aplicaciones (por ejemplo, [50] [51] [52] [53] ), incluido un análogo de dimensión superior. [54]

Un artículo de 1965 de Stallings "Cómo no probar la conjetura de Poincaré" [55] dio una reformulación de la famosa conjetura de Poincaré en términos de teoría de grupos . El artículo comenzaba con una admisión humorística: "He cometido el pecado de probar falsamente la conjetura de Poincaré. Pero eso fue en otro país; y además, hasta ahora, nadie lo ha sabido". [1] [55] A pesar de su título irónico, el artículo de Stallings informó gran parte de la investigación posterior sobre la exploración de los aspectos algebraicos de la conjetura de Poincaré (véase, por ejemplo, [56] [57] [58] [59] ).

Stallings también estaba interesado en los idiomas y escribió uno de los pocos artículos de investigación matemática en el lenguaje construido Interlingua . [60] [61]

Obras seleccionadas

Notas

  1. ^ abcdefg El matemático John Stallings murió el año pasado a los 73 años. Comunicado de prensa de la UC Berkeley , 12 de enero de 2009. Consultado el 26 de enero de 2009.
  2. ^ Todo lo académico. Volumen 3, número 4; noviembre de 2002.
  3. ^ ab Chang, Kenneth (18 de enero de 2009), "John R. Stallings Jr., 73, matemático de California, ha muerto", The New York Times. Consultado el 26 de enero de 2009.
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  7. ^ Aspectos geométricos y topológicos de la teoría de grupos, anuncio de la conferencia Archivado el 6 de septiembre de 2008 en Wayback Machine , atlas-conferences.com
  8. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "John Stallings", Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews
  9. ^ Falleció el profesor emérito John Stallings del Departamento de Matemáticas de la Universidad de California en Berkeley. Archivado el 28 de diciembre de 2008 en Wayback Machine. Anuncio en el sitio web del Departamento de Matemáticas de la Universidad de California en Berkeley . Consultado el 4 de diciembre de 2008.
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  60. ^ "El matemático John Stallings murió el año pasado a los 73 años". 12 de enero de 2009.
  61. ^ Stallings, John R. (16 de junio de 1993). "Sur una generalización del concepto de producto libere amalgamate de gruppos". arXiv : matemáticas/9306203 .

Enlaces externos