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Método de diferencias finitas en el dominio del tiempo

En el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo, la "red Yee" se utiliza para discretizar las ecuaciones de Maxwell en el espacio. Este esquema implica la colocación de campos eléctricos y magnéticos en una rejilla escalonada.

El dominio del tiempo en diferencias finitas ( FDTD ) o método de Yee (llamado así por el matemático aplicado chino-estadounidense Kane S. Yee , nacido en 1934) es una técnica de análisis numérico utilizada para modelar electrodinámica computacional (encontrar soluciones aproximadas al sistema asociado de ecuaciones diferenciales ). . Dado que es un método en el dominio del tiempo , las soluciones FDTD pueden cubrir un amplio rango de frecuencia con una sola ejecución de simulación y tratar propiedades de materiales no lineales de forma natural.

El método FDTD pertenece a la clase general de métodos de modelado numérico diferencial basados ​​en cuadrículas ( métodos de diferencias finitas ). Las ecuaciones de Maxwell dependientes del tiempo (en forma diferencial parcial ) se discretizan utilizando aproximaciones en diferencia central a las derivadas parciales de espacio y tiempo . Las ecuaciones en diferencias finitas resultantes se resuelven mediante software o hardware de forma muy rápida : los componentes del vector del campo eléctrico en un volumen de espacio se resuelven en un instante dado en el tiempo; luego, los componentes del vector del campo magnético en el mismo volumen espacial se resuelven en el siguiente instante en el tiempo; y el proceso se repite una y otra vez hasta que se desarrolla completamente el comportamiento deseado del campo electromagnético transitorio o en estado estacionario.

Historia

Los esquemas de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales (PDE) dependientes del tiempo se han empleado durante muchos años en problemas de dinámica de fluidos computacional , [1] incluida la idea de utilizar operadores de diferencias finitas centrados en cuadrículas escalonadas en el espacio y el tiempo para lograr una precisión de segundo orden. . [1] La novedad del esquema FDTD de Kane Yee, presentado en su artículo fundamental de 1966, [2] fue aplicar operadores de diferencias finitas centrados en rejillas escalonadas en el espacio y el tiempo para cada componente del campo vectorial eléctrico y magnético en las ecuaciones de rizo de Maxwell. El descriptor "dominio del tiempo en diferencias finitas" y su correspondiente acrónimo "FDTD" fueron creados por Allen Taflove en 1980. [3] Desde aproximadamente 1990, las técnicas FDTD han surgido como medios principales para modelar computacionalmente muchos problemas científicos y de ingeniería relacionados con el campo electromagnético . Interacciones de ondas con estructuras materiales. Las aplicaciones actuales de modelado FDTD varían desde cerca de CC ( geofísica de frecuencia ultrabaja que involucra toda la guía de ondas Tierra- ionosfera ) pasando por microondas (tecnología de firma de radar, antenas , dispositivos de comunicaciones inalámbricas, interconexiones digitales, imágenes/tratamientos biomédicos) hasta la luz visible ( cristales fotónicos , nanoplasmónica , solitones y biofotónica ) . [4] En 2006, se estima que aparecieron 2.000 publicaciones relacionadas con FDTD en la literatura de ciencia e ingeniería (ver Popularidad). En 2013, hay al menos 25 proveedores de software FDTD comercial/propietario; 13 proyectos FDTD de software libre/ código abierto ; y 2 proyectos FDTD de código cerrado/freeware, algunos no para uso comercial (ver enlaces externos).

Desarrollo de FDTD y ecuaciones de Maxwell.

Se puede apreciar la base, el desarrollo técnico y el posible futuro de las técnicas numéricas FDTD para las ecuaciones de Maxwell considerando primero su historia. A continuación se enumeran algunas de las publicaciones clave en esta área.

Modelos y métodos FDTD.

Cuando se examinan las ecuaciones diferenciales de Maxwell , se puede ver que el cambio en el campo E en el tiempo (la derivada del tiempo) depende del cambio en el campo H a través del espacio (el rizo ). Esto da como resultado la relación básica de paso de tiempo FDTD de que, en cualquier punto del espacio, el valor actualizado del campo E en el tiempo depende del valor almacenado del campo E y de la curvatura numérica de la distribución local de H. -campo en el espacio. [2]

El campo H está escalonado en el tiempo de manera similar. En cualquier punto del espacio, el valor actualizado del campo H en el tiempo depende del valor almacenado del campo H y de la curvatura numérica de la distribución local del campo E en el espacio. La iteración de las actualizaciones del campo E y del campo H da como resultado un proceso de marcha en el tiempo en el que los análogos de datos muestreados de las ondas electromagnéticas continuas bajo consideración se propagan en una cuadrícula numérica almacenada en la memoria de la computadora.

Ilustración de una celda cartesiana Yee estándar utilizada para FDTD, alrededor de la cual se distribuyen componentes vectoriales de campo eléctrico y magnético. [2] Visualizado como un vóxel cúbico , los componentes del campo eléctrico forman las aristas del cubo y los componentes del campo magnético forman las normales a las caras del cubo. Una red espacial tridimensional consta de una multiplicidad de tales células Yee. Se mapea una estructura de interacción de ondas electromagnéticas en la red espacial asignando valores apropiados de permitividad a cada componente del campo eléctrico y permeabilidad a cada componente del campo magnético.

Esta descripción es válida para las técnicas FDTD 1-D, 2-D y 3-D. Cuando se consideran múltiples dimensiones, calcular la curvatura numérica puede resultar complicado. El artículo fundamental de Kane Yee de 1966 propuso escalonar espacialmente los componentes vectoriales del campo E y del campo H alrededor de celdas unitarias rectangulares de una cuadrícula computacional cartesiana de modo que cada componente vectorial del campo E esté ubicado a medio camino entre un par de componentes vectoriales del campo H. y por el contrario. [2] Este esquema, ahora conocido como celosía Yee , ha demostrado ser muy sólido y sigue siendo el núcleo de muchas construcciones de software FDTD actuales.

Además, Yee propuso un esquema de avance para avanzar en el tiempo en el que las actualizaciones del campo E y del campo H se escalonan de modo que las actualizaciones del campo E se realicen a medio camino durante cada paso de tiempo entre las sucesivas actualizaciones del campo H, y a la inversa. [2] En el lado positivo, este esquema explícito de pasos de tiempo evita la necesidad de resolver ecuaciones simultáneas y, además, produce una propagación de ondas numéricas sin disipación. En el lado negativo, este esquema exige un límite superior en el paso del tiempo para garantizar la estabilidad numérica. [9] Como resultado, ciertas clases de simulaciones pueden requerir muchos miles de pasos de tiempo para completarse.

Usando el método FDTD

Para implementar una solución FDTD de las ecuaciones de Maxwell, primero se debe establecer un dominio computacional. El dominio computacional es simplemente la región física sobre la cual se realizará la simulación. Los campos E y H se determinan en cada punto del espacio dentro de ese dominio computacional. Se debe especificar el material de cada celda dentro del dominio computacional. Normalmente, el material es espacio libre (aire), metal o dieléctrico . Se puede utilizar cualquier material siempre que se especifiquen la permeabilidad , permitividad y conductividad .

La permitividad de materiales dispersivos en forma tabular no se puede sustituir directamente en el esquema FDTD. En cambio, se puede aproximar utilizando múltiples términos de Debye, Drude, Lorentz o de puntos críticos. Esta aproximación se puede obtener utilizando programas de ajuste abiertos [70] y no necesariamente tiene un significado físico.

Una vez establecidos el dominio computacional y los materiales de la grilla, se especifica una fuente. La fuente puede ser la corriente en un cable, un campo eléctrico aplicado o una onda plana incidente. En el último caso, FDTD se puede utilizar para simular la dispersión de la luz de objetos de formas arbitrarias, estructuras periódicas planas en varios ángulos de incidencia, [71] [72] y estructuras de bandas fotónicas de infinitas estructuras periódicas. [73] [74]

Dado que los campos E y H se determinan directamente, el resultado de la simulación suele ser el campo E o H en un punto o una serie de puntos dentro del dominio computacional. La simulación evoluciona los campos E y H hacia adelante en el tiempo.

El procesamiento se puede realizar en los campos E y H devueltos por la simulación. El procesamiento de datos también puede ocurrir mientras la simulación está en curso.

Si bien la técnica FDTD calcula campos electromagnéticos dentro de una región espacial compacta, se pueden obtener campos lejanos dispersos y/o radiados mediante transformaciones de campo cercano a lejano. [14]

Fortalezas del modelado FDTD

Cada técnica de modelado tiene fortalezas y debilidades, y el método FDTD no es diferente.

Debilidades del modelado FDTD

Dispersión numérica de una señal de pulso cuadrado en un esquema FDTD unidimensional simple. Los artefactos de zumbido alrededor de los bordes del pulso se acentúan mucho ( fenómeno de Gibbs ) y la señal se distorsiona a medida que se propaga, incluso en ausencia de un medio dispersivo . Este artefacto es un resultado directo del esquema de discretización. [4]

Técnicas de truncamiento de cuadrícula

Las técnicas de truncamiento de cuadrícula más comúnmente utilizadas para problemas de modelado FDTD de región abierta son la condición de frontera absorbente de Mur (ABC), [13] la ABC de Liao, [16] y varias formulaciones de capas perfectamente adaptadas (PML). [4] [43] [42] [47] Las técnicas de Mur y Liao son más simples que PML. Sin embargo, PML (que técnicamente es una región absorbente en lugar de una condición de contorno per se ) puede proporcionar reflexiones inferiores de órdenes de magnitud. El concepto PML fue introducido por J.-P. Berenger en un artículo fundamental de 1994 en el Journal of Computational Physics. [42] Desde 1994, la implementación original de campo dividido de Berenger se ha modificado y extendido al PML uniaxial (UPML), al PML convolucional (CPML) y al PML de orden superior. Las dos últimas formulaciones de PML tienen una mayor capacidad para absorber ondas evanescentes y, por lo tanto, en principio pueden colocarse más cerca de una estructura de dispersión o radiación simulada que la formulación original de Berenger.

Para reducir la reflexión numérica no deseada del PML, se puede utilizar la técnica de capas absorbentes adicionales. [76]

Popularidad


A pesar del aumento general en el rendimiento de las publicaciones académicas durante el mismo período y la expansión general del interés en todas las técnicas de electromagnetismo computacional (CEM), existen siete razones principales para la tremenda expansión del interés en los enfoques de solución computacional FDTD para las ecuaciones de Maxwell:

  1. FDTD no requiere inversión de matriz. Al ser un cálculo completamente explícito, FDTD evita las dificultades con las inversiones de matrices que limitan el tamaño de los modelos electromagnéticos de elementos finitos y de ecuaciones integrales en el dominio de la frecuencia a generalmente menos de 10 9 incógnitas de campos electromagnéticos. [4] Se han ejecutado modelos FDTD con hasta 10 9 incógnitas de campo; no existe un límite superior intrínseco para este número. [4]
  2. FDTD es preciso y robusto. Las fuentes de error en los cálculos FDTD se conocen bien y pueden limitarse para permitir modelos precisos para una gran variedad de problemas de interacción de ondas electromagnéticas. [4]
  3. FDTD trata el comportamiento impulsivo de forma natural. Al ser una técnica en el dominio del tiempo, FDTD calcula directamente la respuesta al impulso de un sistema electromagnético. Por lo tanto, una única simulación FDTD puede proporcionar formas de onda temporales de banda ultraancha o la respuesta sinusoidal de estado estable a cualquier frecuencia dentro del espectro de excitación. [4]
  4. FDTD trata el comportamiento no lineal de forma natural. Al ser una técnica en el dominio del tiempo, FDTD calcula directamente la respuesta no lineal de un sistema electromagnético. Esto permite la hibridación natural de FDTD con conjuntos de ecuaciones diferenciales auxiliares que describen no linealidades desde el punto de vista clásico o semiclásico. [4] Una frontera de investigación es el desarrollo de algoritmos híbridos que unen los modelos de electrodinámica clásica FDTD con fenómenos derivados de la electrodinámica cuántica, especialmente las fluctuaciones del vacío, como el efecto Casimir . [4] [77]
  5. FDTD es un enfoque sistemático. Con FDTD, especificar una nueva estructura a modelar se reduce a un problema de generación de malla en lugar de la reformulación potencialmente compleja de una ecuación integral. Por ejemplo, FDTD no requiere ningún cálculo de funciones de Green dependientes de la estructura. [4]
  6. Las arquitecturas informáticas de procesamiento paralelo han llegado a dominar la supercomputación. FDTD escala con alta eficiencia en computadoras basadas en CPU de procesamiento paralelo y extremadamente bien en tecnología de acelerador basada en GPU desarrollada recientemente. [4]
  7. Las capacidades de visualización por computadora están aumentando rápidamente. Si bien esta tendencia influye positivamente en todas las técnicas numéricas, es de particular ventaja para los métodos FDTD, que generan matrices de cantidades de campo en marcha en el tiempo adecuadas para su uso en videos en color para ilustrar la dinámica del campo. [4]

Taflove ha argumentado que estos factores se combinan para sugerir que FDTD seguirá siendo una de las técnicas electrodinámicas computacionales dominantes (así como potencialmente otros problemas multifísicos ). [4]

Ver también

Referencias

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Otras lecturas

El siguiente artículo en Nature Milestones: Photons ilustra la importancia histórica del método FDTD en relación con las ecuaciones de Maxwell:

Entrevista de Allen Taflove, "Numerical Solution", en la edición especial de enero de 2015 de Nature Photonics en honor al 150 aniversario de la publicación de las ecuaciones de Maxwell. Esta entrevista aborda cómo el desarrollo de FDTD se relaciona con el siglo y medio de historia de la teoría de la electrodinámica de Maxwell:

Los siguientes libros de texto de nivel universitario proporcionan una buena introducción general al método FDTD:

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con el método de dominio del tiempo de diferencias finitas .

Proyectos FDTD de software libre / software de código abierto :

Proyectos FDTD de código cerrado / freeware (algunos no para uso comercial):