S es una teoría de conjuntos axiomática establecida por George Boolos en su artículo de 1989, "Iteration Again". S , una teoría de primer orden , es de dos tipos porque su ontología incluye "etapas" así como conjuntos . Boolos diseñó S para incorporar su comprensión de la "concepción iterativa de conjunto" y la jerarquía iterativa asociada . S tiene la importante propiedad de que todos los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo Z , excepto el axioma de extensionalidad y el axioma de elección , son teoremas de S o una ligera modificación de este.
Cualquier agrupación de objetos matemáticos , abstractos o concretos, cualquiera sea su forma, es una colección , sinónimo de lo que otras teorías de conjuntos denominan una clase . Las cosas que forman una colección se denominan elementos o miembros. Un ejemplo común de una colección es el dominio del discurso de una teoría de primer orden .
Todos los conjuntos son colecciones, pero hay colecciones que no son conjuntos. Un sinónimo de colecciones que no son conjuntos es clase propia . Una tarea esencial de la teoría axiomática de conjuntos es distinguir los conjuntos de las clases propias, aunque sólo sea porque las matemáticas se basan en conjuntos, y las clases propias quedan relegadas a un papel puramente descriptivo.
El universo de Von Neumann implementa la “concepción iterativa de conjunto” al estratificar el universo de conjuntos en una serie de “etapas”, donde los conjuntos en una etapa dada son posibles miembros de los conjuntos formados en todas las etapas superiores. La noción de etapa es la siguiente. A cada etapa se le asigna un número ordinal . La etapa más baja, la etapa 0, consiste en todas las entidades que no tienen miembros. Suponemos que la única entidad en la etapa 0 es el conjunto vacío , aunque esta etapa incluiría cualquier urelemento que decidiéramos admitir. La etapa n , n > 0, consiste en todos los conjuntos posibles formados a partir de elementos que se encuentran en cualquier etapa cuyo número es menor que n . Cada conjunto formado en la etapa n también puede formarse en cada etapa mayor que n . [1]
Por lo tanto, las etapas forman una secuencia anidada y bien ordenada , y formarían una jerarquía si la pertenencia al conjunto fuera transitiva . La concepción iterativa ha ganado cada vez más aceptación, a pesar de una comprensión imperfecta de sus orígenes históricos.
La concepción iterativa de conjunto evita, de forma bien motivada, las conocidas paradojas de Russell , Burali-Forti y Cantor . Todas estas paradojas resultan del uso irrestricto del principio de comprensión de la teoría ingenua de conjuntos . Conjuntos como "la clase de todos los conjuntos" o "la clase de todos los ordinales " incluyen conjuntos de todas las etapas de la jerarquía iterativa. Por lo tanto, tales conjuntos no pueden formarse en ninguna etapa dada y, por lo tanto, no pueden ser conjuntos.
Esta sección sigue a Boolos (1998: 91). Las variables x e y se extienden a lo largo de conjuntos, mientras que r , s y t se extienden a lo largo de etapas. Hay tres predicados primitivos de dos lugares :
Los axiomas siguientes incluyen un predicado definido de dos lugares, Bxr , que abrevia:
Bxr se lee como “el conjunto x se forma antes de la etapa r ”.
La identidad , denotada por el infijo '=', no juega el papel en S que juega en otras teorías de conjuntos, y Boolos no hace completamente explícito si la lógica de fondo incluye la identidad. S no tiene axioma de extensionalidad y la identidad está ausente en los otros axiomas de S. La identidad sí aparece en el esquema axiomático que distingue a S+ de S , [2] y en la derivación en S de los axiomas de emparejamiento , conjunto nulo e infinito de Z . [3]
Los axiomas simbólicos que se muestran a continuación son de Boolos (1998: 91) y rigen el comportamiento e interacción de los conjuntos y las etapas. Las versiones en lenguaje natural de los axiomas tienen como objetivo ayudar a la intuición.
Los axiomas se dividen en dos grupos de tres. El primer grupo está formado por axiomas que se refieren únicamente a etapas y a la relación etapa-etapa '<'.
Tra :
“Antes de” es transitivo.
Neto :
Una consecuencia de la Red es que cada etapa es anterior a alguna etapa.
Información :
El único propósito de Inf es permitir derivar en S el axioma de infinito de otras teorías de conjuntos.
El segundo y último grupo de axiomas involucra tanto conjuntos como etapas y los predicados distintos de '<':
Todo :
Cada conjunto se forma en alguna etapa de la jerarquía.
Cuando :
Un conjunto se forma en alguna etapa si sus miembros se forman en etapas anteriores.
Sea A ( y ) una fórmula de S donde y es libre pero x no lo es. Entonces se cumple el siguiente esquema axiomático:
Especificaciones :
Si existe una etapa r tal que todos los conjuntos que satisfacen A ( y ) se forman en una etapa anterior a r , entonces existe un conjunto x cuyos miembros son justamente aquellos conjuntos que satisfacen A ( y ). El papel de Spec en S es análogo al del esquema axiomático de especificación de Z .
El nombre de Boolos para la teoría de conjuntos de Zermelo menos extensionalidad fue Z- . Boolos derivó en S todos los axiomas de Z- excepto el axioma de elección . [4] El propósito de este ejercicio fue mostrar cómo la mayor parte de la teoría de conjuntos convencional puede derivarse de la concepción iterativa de conjunto, asumida incorporada en S . La extensionalidad no se sigue de la concepción iterativa y, por lo tanto, no es un teorema de S . Sin embargo, S + Extensionalidad está libre de contradicción si S está libre de contradicción.
Boolos luego alteró Spec para obtener una variante de S que llamó S+ , de modo que el esquema axiomático de reemplazo es derivable en S+ + Extensionalidad. Por lo tanto, S+ + Extensionalidad tiene el poder de ZF . Boolos también argumentó que el axioma de elección no se sigue de la concepción iterativa, pero no abordó si Choice podría agregarse a S de alguna manera. [5] Por lo tanto, S+ + Extensionalidad no puede probar aquellos teoremas de la teoría de conjuntos convencional ZFC cuyas pruebas requieren Choice.
Inf garantiza la existencia de las etapas ω y de ω + n para n finito , pero no de la etapa ω + ω. No obstante, S ofrece suficiente paraíso de Cantor como para fundamentar casi toda la matemática contemporánea. [6]
Boolos compara S con cierta extensión con una variante del sistema de Grundgesetze de Frege , en el que el principio de Hume , tomado como axioma, reemplaza la Ley Básica V de Frege, un axioma de comprensión irrestricto que hacía que el sistema de Frege fuera inconsistente; véase la paradoja de Russell .
![{\displaystyle \existe s[s<r\land Fxs].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dccfee4c7a692e5c4649a185c9736704fa0ecaaf)
![{\displaystyle \para todo r\para todo s\para todo t[r<s\land s<t\rightarrow r<t]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e18d52330568fef1f43abce796c5022c278cdaa)
![{\displaystyle \para todo s\para todo t\existe r[t<r\ly s<r]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8500e0b25fb36d438f0ae5f84e685d0f33a7f0f)
![{\displaystyle \existe r\existe u[u<r\land \para todo t[t<r\rightarrow \existe s[t<s\land s<r]]]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27211c3a8d8a702545281c6484304345926ef4b3)
![{\displaystyle \forall r\forall x[Fxr\leftrightarrow [\forall y(y\in x\rightarrow Byr)\land \lnot Bxr]]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c47511e428e2114d366e67d1f1ff6c8ce2626df0)
![{\displaystyle \existe r\para todo y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \existe x\para todo y[y\en x\leftrightarrow A(y)]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/affc478cb78f148542e4347662ee5ac050792b24)