En lógica , la extensionalidad o igualdad extensional se refiere a los principios que juzgan que los objetos son iguales si tienen las mismas propiedades externas. Se contrapone al concepto de intensionalidad , que se ocupa de si las definiciones internas de los objetos son las mismas.
La definición extensional de igualdad de funciones, analizada anteriormente, se utiliza habitualmente en matemáticas. Una definición extensional similar se suele emplear para las relaciones : se dice que dos relaciones son iguales si tienen las mismas extensiones .
En la teoría de conjuntos , el axioma de extensionalidad establece que dos conjuntos son iguales si y solo si contienen los mismos elementos. En las matemáticas formalizadas en la teoría de conjuntos, es común identificar las relaciones (y, sobre todo, las funciones ) con su extensión, como se indicó anteriormente, de modo que es imposible distinguir dos relaciones o funciones con la misma extensión.
Otros objetos matemáticos también se construyen de tal manera que la noción intuitiva de "igualdad" concuerda con la igualdad extensional a nivel de conjunto; así, los pares ordenados iguales tienen elementos iguales, y los elementos de un conjunto que están relacionados por una relación de equivalencia pertenecen a la misma clase de equivalencia .
Los fundamentos teóricos de tipos de las matemáticas generalmente no son extensionales en este sentido, y los setoides se utilizan comúnmente para mantener una diferencia entre la igualdad intensional y una relación de equivalencia más general (que generalmente tiene malas propiedades de constructibilidad o decidibilidad ).
Existen varios principios de extensionalidad en matemáticas.
Dependiendo de la base elegida, algunos principios de extensionalidad pueden implicar otros. Por ejemplo, es bien sabido que en las bases univalentes , el axioma de univalencia implica extensionalidad tanto proposicional como funcional. Los principios de extensionalidad suelen asumirse como axiomas, especialmente en teorías de tipos donde se debe preservar el contenido computacional. Sin embargo, en la teoría de conjuntos y otras bases extensionales, se puede demostrar que la extensionalidad funcional se cumple por defecto.
Consideremos las dos funciones f y g derivadas de y hacia números naturales , definidas de la siguiente manera:
Estas funciones son extensionalmente iguales; dada la misma entrada, ambas funciones siempre producen el mismo valor. Pero las definiciones de las funciones no son iguales y, en ese sentido intensional, las funciones no son las mismas.
De manera similar, en el lenguaje natural hay muchos predicados (relaciones) que son intencionalmente diferentes pero que son extensionalmente idénticos. Por ejemplo, supongamos que en un pueblo hay una persona llamada Joe, que también es la persona más anciana del pueblo. Entonces, los dos predicados "llamarse Joe" y "ser la persona más anciana de este pueblo" son intencionalmente distintos, pero extensionalmente iguales para la población (actual) de este pueblo.
