Igualdad (matemáticas)

Relación que afirma que dos cantidades son iguales

Signo igual

En matemáticas , la igualdad es una relación entre dos cantidades o, más generalmente, dos expresiones matemáticas , afirmando que las cantidades tienen el mismo valor, o que las expresiones representan el mismo objeto matemático . La igualdad entre A y B se escribe A  =  B , y se pronuncia " A es igual a B ". En esta igualdad, A y B son los miembros de la igualdad y se distinguen llamándolos lado izquierdo o miembro izquierdo , y lado derecho o miembro derecho . Dos objetos que no son iguales se dice que son distintos .

Una fórmula como donde x e y son expresiones cualesquiera, significa que x e y denotan o representan el mismo objeto. ^[1] Por ejemplo, ${\displaystyle x=y,}$

${\displaystyle 1.5=3/2,}$

son dos notaciones para el mismo número. De manera similar, utilizando la notación del generador de conjuntos ,

${\displaystyle \{x\mid x\in \mathbb {Z} {\text{ and }}0<x\leq 3\}=\{1,2,3\},}$

ya que los dos conjuntos tienen los mismos elementos. (Esta igualdad resulta del axioma de extensionalidad que a menudo se expresa como "dos conjuntos que tienen los mismos elementos son iguales". ^[2] )

La verdad de una igualdad depende de la interpretación de sus miembros. En los ejemplos anteriores, las igualdades son verdaderas si los miembros se interpretan como números o conjuntos, pero son falsas si los miembros se interpretan como expresiones o secuencias de símbolos.

Una identidad , como por ejemplo, significa que si x se reemplaza por cualquier número, entonces las dos expresiones toman el mismo valor. Esto también puede interpretarse como que los dos lados del signo igual representan la misma función (igualdad de funciones), o que las dos expresiones denotan el mismo polinomio (igualdad de polinomios). ^{[3] [4]} ${\displaystyle (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1,}$

Etimología

La palabra deriva del latín aequālis ("igual", "semejante", "comparable", "similar"), que a su vez proviene de aequus ("igual", "nivel", "justo", "justo"). ^[5]

Propiedades básicas

• Reflexividad : para cada a , se tiene a = a .
• Simetría : para cada a y b , si a = b , entonces b = a .
• Transitividad : para cada a , b y c , si a = b y b = c , entonces a = c . ^{[6] [7]}
• Sustitución : de manera informal, esto simplemente significa que si a = b , entonces a puede reemplazar a b en cualquier expresión o fórmula matemáticasin cambiar su significado.
• Aplicación de la operación : para cada a y b , con alguna operación , si a = b , entonces. ^{[8] [a]} Por ejemplo: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$
  
  • Dados los números reales a y b , si a = b , entonces . (Aquí, . Una operación unaria ) ${\displaystyle 2a-5=2b-5}$ ${\displaystyle f(x)=2x-5}$
  • Dados los números reales a y b , si , entonces . (Aquí, con . Una operación binaria ) ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}/b^{2}=2}$ ${\displaystyle f(x,y)=x/y^{2}}$ ${\displaystyle y=b}$
  • Dadas funciones de valor real ⁠ ⁠ ${\displaystyle g}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle h}$ sobre alguna variable a , si , entonces . (Aquí, . Una operación sobre funciones (es decir, un operador ), llamada derivada ) ${\displaystyle g(a)=h(a)}$ ${\textstyle {\frac {d}{da}}g(a)={\frac {d}{da}}h(a)}$ ${\textstyle f(x)={\frac {dx}{da}}}$

Si se limita a los elementos de un conjunto dado , esas tres primeras propiedades hacen que la igualdad sea una relación de equivalencia en . De hecho, la igualdad es la única relación de equivalencia en cuyas clases de equivalencia son todas singletons . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

La igualdad como predicado

En lógica , un predicado es una proposición que puede tener algunas variables libres . La igualdad es un predicado que puede ser verdadero para algunos valores de las variables (si los hay) y falso para otros valores. Más específicamente, la igualdad es una relación binaria (es decir, un predicado de dos argumentos) que puede producir un valor de verdad ( verdadero o falso ) a partir de sus argumentos. En programación informática , la igualdad se denomina expresión de valor booleano y su cálculo a partir de las dos expresiones se conoce como comparación .

Véase también: Operador relacional § Igualdad

Ecuaciones

Una ecuación es el problema de encontrar valores de alguna variable, llamada incógnita , para los cuales la igualdad especificada es verdadera. Cada valor de la incógnita para el cual la ecuación es válida se llama solución de la ecuación dada; también se expresa como satisfactoria para la ecuación. Por ejemplo, la ecuación tiene los valores y como sus únicas soluciones. La terminología se usa de manera similar para ecuaciones con varias incógnitas. ^[9] ${\displaystyle x^{2}-6x+5=0}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle x=5}$

Una ecuación puede utilizarse para definir un conjunto. Por ejemplo, el conjunto de todos los pares de soluciones de la ecuación forma el círculo unitario en geometría analítica ; por lo tanto, esta ecuación se denomina ecuación del círculo unitario . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

Ver también: Resolución de ecuaciones

Identidades

Una identidad es una igualdad que es verdadera para todos los valores de sus variables en un dominio dado. ^[10] Una "ecuación" puede significar a veces una identidad, pero la mayoría de las veces, especifica un subconjunto del espacio de variables como el subconjunto donde la ecuación es verdadera. Un ejemplo es es verdadera para todos los números reales . No existe una notación estándar que distinga una ecuación de una identidad u otro uso de la relación de igualdad: uno tiene que adivinar una interpretación apropiada a partir de la semántica de las expresiones y el contexto. ^[11] A veces, pero no siempre, una identidad se escribe con una triple barra : ^[12] ${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)=x^{2}+2x+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1.}$

En lógica

En lógica matemática y filosofía matemática , la igualdad se describe a menudo a través de las siguientes propiedades: ^{[13] [14] [15]}

${\displaystyle \forall a(a=a)}$

• Ley de identidad : Afirma que cada cosa es idéntica a sí misma, sin restricción alguna. Es decir, para cada ,. Es la primera de las tres leyes históricas del pensamiento . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=a}$

${\displaystyle (a=b)\implies {\bigl [}\phi (a)\Rightarrow \phi (b){\bigr ]}}$^[b]

• Propiedad de sustitución : A veces denominada ley de Leibniz , generalmente establece que si dos cosas son iguales, entonces cualquier propiedad de una debe ser una propiedad de la otra. Puede enunciarse formalmente como: para cada a y b , y cualquier fórmula (con una variable libre x ), si, entonces implica . ${\displaystyle \phi (x),}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle \phi (a)}$ ${\displaystyle \phi (b)}$

Por ejemplo: Para todos los números reales a y b , si a = b , entonces a ≥ 0 implica b ≥ 0 (aquí, es x ≥ 0 ) ${\displaystyle \phi (x)}$

Estas propiedades ofrecen una reinterpretación formal de la igualdad a partir de cómo se define en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC) estándar u otros fundamentos formales . En ZFC, la igualdad solo significa que dos conjuntos tienen los mismos elementos. Sin embargo, fuera de la teoría de conjuntos , los matemáticos no tienden a ver sus objetos de interés como conjuntos. Por ejemplo, muchos matemáticos dirían que la expresión " " (ver unión ) es un abuso de notación o carente de sentido. Este es un marco más abstracto que puede basarse en ZFC (es decir, ambos axiomas pueden probarse dentro de ZFC así como en la mayoría de los otros fundamentos formales), pero es más cercano a cómo la mayoría de los matemáticos usan la igualdad. ${\displaystyle 1\cup 2}$

Obsérvese que esto dice "La igualdad implica estas dos propiedades", no que "Estas propiedades definen la igualdad"; esto es intencional. Esto lo convierte en una axiomatización incompleta de la igualdad. Es decir, no dice qué es la igualdad , solo qué debe satisfacer la "igualdad". Sin embargo, los dos axiomas tal como se enunciaron siguen siendo generalmente útiles, incluso como una axiomatización incompleta de la igualdad, ya que suelen ser suficientes para deducir la mayoría de las propiedades de igualdad que interesan a los matemáticos. ^[16] (Véase la siguiente subsección)

Si estas propiedades definieran una axiomatización completa de la igualdad, es decir, si definieran la igualdad, entonces el inverso de la segunda afirmación debe ser verdadero. El inverso de la propiedad de sustitución es la identidad de indiscernibles , que establece que dos cosas distintas no pueden tener todas sus propiedades en común. En matemáticas, la identidad de indiscernibles suele rechazarse, ya que los indiscernibles en la lógica matemática no están necesariamente prohibidos. La igualdad de conjuntos en ZFC es capaz de declarar estos indiscernibles como no iguales, pero una igualdad definida únicamente por estas propiedades no lo es. Por lo tanto, estas propiedades forman una noción estrictamente más débil de igualdad que la igualdad de conjuntos en ZFC. Fuera de las matemáticas puras , la identidad de indiscernibles ha atraído mucha controversia y crítica, especialmente de la filosofía corpuscular y la mecánica cuántica . ^[17] Es por esto que se dice que las propiedades no forman una axiomatización completa.

Sin embargo, aparte de los casos que tratan con indiscernibles, estas propiedades tomadas como axiomas de igualdad son equivalentes a la igualdad tal como se define en ZFC.

Estas a veces se toman como la definición de igualdad, como en algunas áreas de la lógica de primer orden . ^[18]

Derivaciones de propiedades básicas

• Reflexividad de la igualdad : Dado un conjunto S con una relación R inducida por la igualdad (), supóngase que. Entonces,por la ley de identidad, entonces. ${\displaystyle xRy\Leftrightarrow x=y}$ ${\displaystyle a\in S}$ ${\displaystyle a=a}$ ${\displaystyle aRa}$

La ley de identidad se diferencia de la reflexividad en dos aspectos principales: primero, la ley de identidad se aplica sólo a casos de igualdad y, segundo, no se limita a los elementos de un conjunto. Sin embargo, muchos matemáticos se refieren a ambas como "reflexividad", lo que generalmente es inofensivo. ^{[19] [c]}

• Simetría de igualdad : Dado un conjunto S con una relación R inducida por la igualdad (), supongamos que hay elementostales que. Luego, tomemos la fórmula. Por lo tanto, tenemos. Dado quepor suposición ypor reflexividad, tenemos que. ${\displaystyle xRy\Leftrightarrow x=y}$ ${\displaystyle a,b\in S}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle \phi (x):xRa}$ ${\displaystyle (a=b)\implies (aRa\Rightarrow bRa)}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle bRa}$
• Transitividad de la igualdad : Dado un conjunto S con una relación R inducida por la igualdad (), supongamos que hay elementostales quey. Luego tomemos la fórmula. Por lo tanto, tenemos. Dado quepor simetría ypor suposición, tenemos que. ${\displaystyle xRy\Leftrightarrow x=y}$ ${\displaystyle a,b,c\in S}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle bRc}$ ${\displaystyle \phi (x):xRc}$ ${\displaystyle (b=a)\implies (bRc\Rightarrow aRc)}$ ${\displaystyle b=a}$ ${\displaystyle bRc}$ ${\displaystyle aRc}$
• Aplicación de funciones : dada una función , supongamos que hay elementos a y b en su dominio tales que a = b , luego tomemos la fórmula. Por lo tantoComopor suposición ypor reflexividad, tenemos que. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \phi (x):f(a)=f(x)}$
  ${\displaystyle (a=b)\implies [(f(a)=f(a))\Rightarrow (f(a)=f(b))]}$
  ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle f(a)=f(a)}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$

Esto también se incluye a veces en los axiomas de igualdad, pero no es necesario ya que se puede deducir de los otros dos axiomas como se muestra arriba.

Igualdad aproximada

Existen algunos sistemas lógicos que no tienen noción alguna de igualdad. Esto refleja la indecidibilidad de la igualdad de dos números reales , definida por fórmulas que involucran los números enteros , las operaciones aritméticas básicas , el logaritmo y la función exponencial . En otras palabras, no puede existir ningún algoritmo para decidir tal igualdad (véase el teorema de Richardson ).

La relación binaria " es aproximadamente igual " (denotada por el símbolo ) entre números reales u otras cosas, incluso si se define con mayor precisión, no es transitiva (ya que muchas pequeñas diferencias pueden sumar algo grande). Sin embargo, la igualdad casi en todas partes es transitiva. ${\displaystyle \approx }$

Una igualdad cuestionable bajo prueba puede denotarse usando el símbolo . ^[20] ${\displaystyle {\stackrel {?}{=}}}$

Relación con equivalencia, congruencia e isomorfismo

Vista como una relación , la igualdad es el arquetipo del concepto más general de una relación de equivalencia en un conjunto: aquellas relaciones binarias que son reflexivas , simétricas y transitivas . La relación de identidad es una relación de equivalencia. A la inversa, sea R una relación de equivalencia, y denotemos por x ^R la clase de equivalencia de x , que consiste en todos los elementos z tales que x R z . Entonces la relación x R y es equivalente con la igualdad x ^R  =  y ^R . Se sigue que la igualdad es la relación de equivalencia más fina en cualquier conjunto S en el sentido de que es la relación que tiene las clases de equivalencia más pequeñas (cada clase se reduce a un solo elemento).

En algunos contextos, la igualdad se distingue claramente de la equivalencia o isomorfismo . ^[21] Por ejemplo, se pueden distinguir las fracciones de los números racionales , siendo estos últimos clases de equivalencia de fracciones: las fracciones y son distintas como fracciones (como diferentes cadenas de símbolos) pero "representan" el mismo número racional (el mismo punto en una línea numérica). Esta distinción da lugar a la noción de conjunto cociente . ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 2/4}$

De manera similar, los conjuntos

${\displaystyle \{{\text{A}},{\text{B}},{\text{C}}\}}$y ${\displaystyle \{1,2,3\}}$

no son conjuntos iguales –el primero está formado por letras, mientras que el segundo está formado por números–, pero ambos son conjuntos de tres elementos y, por lo tanto, isomorfos, lo que significa que existe una biyección entre ellos. Por ejemplo

${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3.}$

Sin embargo, existen otras opciones de isomorfismo, como por ejemplo:

${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1,}$

y estos conjuntos no pueden identificarse sin hacer tal elección – cualquier enunciado que los identifique “depende de la elección de identificación”. Esta distinción, entre igualdad e isomorfismo , es de importancia fundamental en la teoría de categorías y es una motivación para el desarrollo de la teoría de categorías.

En algunos casos, se pueden considerar iguales dos objetos matemáticos que sólo son equivalentes en cuanto a las propiedades y la estructura que se están considerando. La palabra congruencia (y el símbolo asociado ) se utiliza con frecuencia para este tipo de igualdad, y se define como el conjunto cociente de las clases de isomorfismo entre los objetos. En geometría , por ejemplo, se dice que dos formas geométricas son iguales o congruentes cuando una puede moverse para coincidir con la otra, y la relación de igualdad/congruencia es la clase de isomorfismo de las isometrías entre formas. De manera similar a los isomorfismos de conjuntos, la diferencia entre isomorfismos e igualdad/congruencia entre tales objetos matemáticos con propiedades y estructura fue una motivación para el desarrollo de la teoría de categorías , así como para la teoría de tipos de homotopía y los fundamentos univalentes . ^{[22] [23] [24]} ${\displaystyle \cong }$

Igualdad en la teoría de conjuntos

La igualdad de conjuntos se axiomatiza en la teoría de conjuntos de dos maneras diferentes, dependiendo de si los axiomas se basan en un lenguaje de primer orden con o sin igualdad.

Establecer la igualdad basada en la lógica de primer orden con igualdad

En la lógica de primer orden con igualdad, el axioma de extensionalidad establece que dos conjuntos que contienen los mismos elementos son el mismo conjunto. ^[25]

• Axioma lógico: ${\displaystyle x=y\implies \forall z,(z\in x\iff z\in y)}$
• Axioma lógico: ${\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}$
• Axioma de la teoría de conjuntos: ${\displaystyle (\forall z,(z\in x\iff z\in y))\implies x=y}$

Incorporar la mitad del trabajo a la lógica de primer orden puede considerarse una mera cuestión de conveniencia, como señala Lévy.

"La razón por la que abordamos el cálculo de predicados de primer orden con igualdad es una cuestión de conveniencia; con esto ahorramos el trabajo de definir la igualdad y probar todas sus propiedades; esta carga ahora la asume la lógica". ^[26]

Igualdad de conjuntos basada en lógica de primer orden sin igualdad

En la lógica de primer orden sin igualdad, se define que dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos. Entonces, el axioma de extensionalidad establece que dos conjuntos iguales están contenidos en los mismos conjuntos. ^[27]

• Definición de teoría de conjuntos: ${\displaystyle (x=y)\ :=\ \forall z,(z\in x\iff z\in y)}$
• Axioma de la teoría de conjuntos: ${\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}$

Véase también

• Extensionalidad
• Teoría de tipos de homotopía
• Desigualdad
• Lista de símbolos matemáticos
• Igualdad lógica
• Equivalencia lógica
• Proporcionalidad (matemáticas)

Notas

1. Rosser 2008, pág. 163.
2. Lévy 2002, págs. 13, 358. Mac Lane y Birkhoff 1999, pág. 2. Mendelson 1964, pág. 5.
3. Ecuación. Enciclopedia Springer de Matemáticas. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Ecuación&oldid=32613
4. Pratt, Vaughan, "Álgebra", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2022), Edward N. Zalta y Uri Nodelman (eds.), URL: https://plato.stanford.edu/entries/algebra/#Laws
5. "Definición de IGUAL". Merriam-Webster . Archivado desde el original el 15 de septiembre de 2020. Consultado el 9 de agosto de 2020 .
6. Stoll, Robert R. Teoría de conjuntos y lógica . San Francisco, CA: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63829-4.
7. Lilly Görke (1974). Mengen – Relationen – Funktionen (4ª ed.). Zúrich: Harri Deutsch. ISBN 3-87144-118-X.Aquí: secc.3.5, p.103.
8. Axiomas de igualdad. Enciclopedia Springer de Matemáticas. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Axiomas_de_igualdad&oldid=46837
9. Sobolev, SK (creador). " Ecuación" . Enciclopedia de Matemáticas . Springer . ISBN 1402006098.
10. Ecuación. Enciclopedia Springer de Matemáticas. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Ecuación&oldid=32613
11. Marcus, Solomon ; Watt, Stephen M. "¿Qué es una ecuación?" . Consultado el 27 de febrero de 2019 .
12. "Identidad – definición de palabra matemática – Math Open Reference". www.mathopenref.com . Consultado el 1 de diciembre de 2019 .
13. Axiomas de igualdad. Enciclopedia Springer de Matemáticas. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Axiomas_de_igualdad&oldid=46837
14. Deutsch, Harry y Pawel Garbacz, "Identidad relativa", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de otoño de 2024), Edward N. Zalta y Uri Nodelman (eds.), próximamente URL: https://plato.stanford.edu/entries/identity-relative/#StanAccoIden
15. Forrest, Peter, "La identidad de los indiscernibles", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2020), Edward N. Zalta (ed.), URL: https://plato.stanford.edu/entries/identity-indiscernible/#Form
16. Axiomas de igualdad. Enciclopedia de Matemáticas. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Axiomas_de_igualdad&oldid=46837
17. French, Steven (2019). "Identidad e individualidad en la teoría cuántica". Stanford Encyclopedia of Philosophy . ISSN  1095-5054.
18. Fitting, M. , Lógica de primer orden y demostración automática de teoremas (Berlín/Heidelberg: Springer, 1990), págs. 198-200.
19. Axiomas de igualdad. Enciclopedia de Matemáticas. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Axiomas_de_igualdad&oldid=46837
20. "Encuentre todos los caracteres Unicode, desde jeroglíficos hasta dingbats – Unicode Compart".
21. (Mazur 2007)
22. Eilenberg, S.; Mac Lane, S. (1942). "Extensiones de grupo y homología" . Anales de matemáticas . 43 (4): 757–831. doi :10.2307/1968966. ISSN  0003-486X. JSTOR  1968966 – vía JSTOR .
23. Marquis, Jean-Pierre (2019). «Teoría de categorías». Stanford Encyclopedia of Philosophy . Departamento de Filosofía, Universidad de Stanford . Consultado el 26 de septiembre de 2022 .
24. Hofmann, Martin; Streicher, Thomas (1998). "La interpretación grupoide de la teoría de tipos". En Sambin, Giovanni; Smith, Jan M. (eds.). Veinticinco años de teoría de tipos constructiva . Oxford Logic Guides. Vol. 36. Clarendon Press. págs. 83–111. ISBN 978-0-19-158903-4.Señor 1686862  .
25. Kleene 2002, pág. 189. Lévy 2002, pág. 13. Shoenfield 2001, pág. 239.
26. Lévy 2002, pág. 4.
27. Mendelson 1964, págs. 159-161. Rosser 2008, págs. 211-213

1. 𝒇 puede tener cualquier aridad ( contable ) , pero se escribe como unario para evitar una notación engorrosa.
2. Aquí 𝜙 puede tener cualquier aridad (finita), sin embargo, se escribe como una fórmula unaria para evitar una notación engorrosa.
   De manera similar, debería haber cuantificadores '∀' para a, b y 𝜙, por lo que, de manera más formal, esta fórmula se escribiría como:
   ∀ a ∀ b (( a = b ) ⇒͏ ∀𝜙[𝜙(..., a ,...) ⇒͏ 𝜙(..., b ,...)])
3. En términos más generales, se puede decir formalmente que la igualdad en sí es una "relación reflexiva". No solo como una relación dentro de la ZFC, sino como una "meta-relación", dentro de alguna metateoría en matemáticas , que puede ser la propia ZFC. Por lo tanto, se podría describir la igualdad como una relación reflexiva en alguna "meta-ZFC", pero no "interna-ZFC".

Referencias

• Kleene, Stephen Cole (2002) [1967]. Lógica matemática . Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42533-7.
• Lévy, Azriel (2002) [1979]. Teoría básica de conjuntos . Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42079-0.
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999) [1967]. Álgebra (tercera edición). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society.
• Mazur, Barry (12 de junio de 2007), ¿Cuándo una cosa es igual a otra? (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 24 de octubre de 2019 , consultado el 13 de diciembre de 2009
• Mendelson, Elliott (1964). Introducción a la lógica matemática . Nueva York: Van Nostrand Reinhold.
• Rosser, John Barkley (2008) [1953]. Lógica para matemáticos . Mineola, Nueva York: Dover Publication. ISBN 978-0-486-46898-3.
• Shoenfield, Joseph Robert (2001) [1967]. Lógica matemática (2.ª ed.). AK Peters . ISBN 978-1-56881-135-2.