Teorema de Riesz-Thorin

Teorema sobre la interpolación de operadores

En matemáticas , el teorema de Riesz-Thorin , a menudo denominado teorema de interpolación de Riesz-Thorin o teorema de convexidad de Riesz-Thorin , es un resultado sobre la interpolación de operadores . Recibe su nombre en honor a Marcel Riesz y su alumno G. Olof Thorin .

Este teorema limita las normas de las aplicaciones lineales que actúan entre espacios L p . Su utilidad se debe al hecho de que algunos de estos espacios tienen una estructura más simple que otros. Por lo general, esto se refiere a L ² , que es un espacio de Hilbert , o a L ¹ y L ^∞ . Por lo tanto, se pueden demostrar teoremas sobre los casos más complicados demostrándolos en dos casos simples y luego utilizando el teorema de Riesz-Thorin para pasar de los casos simples a los casos complicados. El teorema de Marcinkiewicz es similar, pero se aplica también a una clase de aplicaciones no lineales.

Motivación

Primero necesitamos la siguiente definición:

Definición. Sean p ₀ , p ₁ dos números tales que 0 < p ₀ < p ₁ ≤ ∞ . Entonces, para 0 < θ < 1, definamos p _θ por: ⁠ 1/pθ_​⁠ = ⁠1 − θ/pág _{. 0}⁠ + ⁠θ/pág _{. 1}⁠ .

Al descomponer la función f en L ^{p _θ} como el producto |  f  | = |  f  | ^{1− θ} |  f  | ^θ y aplicar la desigualdad de Hölder a su potencia p _θ , obtenemos el siguiente resultado, fundamental en el estudio de los L ^p -espacios:  

Proposición (log-convexidad de L ^p -normas)  —  Cada f   ∈ L ^{p ₀} ∩ L ^{p ₁} satisface:  

Este resultado, cuyo nombre deriva de la convexidad de la función 1 ⁄ p ↦ log ||  f  || _p en [0, ∞] , implica que L ^{p ₀} ∩ L ^{p ₁} ⊂ L ^{p _θ} .

Por otra parte, si tomamos la descomposición en capas f   =   f 1 _{{| f |>1}} +   f 1 _{{| f |≤1}} , entonces vemos que f 1 _{{| f |>1}} ∈ L ^{p ₀} y f 1 _{{| f |≤1}} ∈ L ^{p ₁} , de donde obtenemos el siguiente resultado:  

Proposición  —  Cada f en L ^{p _θ} puede escribirse como una suma: f   = g + h , donde g ∈ L ^{p ₀} y h ∈ L ^{p ₁} .   

En particular, el resultado anterior implica que L ^{p _θ} está incluido en L ^{p ₀} + L ^{p ₁} , el conjunto sumatorio de L ^{p ₀} y L ^{p ₁} en el espacio de todas las funciones mensurables. Por lo tanto, tenemos la siguiente cadena de inclusiones:

Corolario  -  L ^{p ₀} ∩ L ^{p ₁} ⊂ L ^{p _θ} ⊂ L ^{p ₀} + L ^{p ₁} .

En la práctica, a menudo encontramos operadores definidos en el conjunto suma L ^{p ₀} + L ^{p ₁} . Por ejemplo, el lema de Riemann-Lebesgue muestra que la transformada de Fourier mapea L ¹ ( R ^d ) de manera acotada en L ^∞ ( R ^d ) , y el teorema de Plancherel muestra que la transformada de Fourier mapea L ² ( R ^d ) de manera acotada en sí misma, por lo tanto, la transformada de Fourier se extiende a ( L ¹ + L ² ) ( R ^d ) al establecer para todo f ₁   ∈ L ¹ ( R ^d ) y f ₂   ∈ L ² ( R ^d ) . Por lo tanto, es natural investigar el comportamiento de tales operadores en los subespacios intermedios L ^{p _θ} . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}(f_{1}+f_{2})={\mathcal {F}}_{L^{1}}(f_{1})+{\mathcal {F}}_{L^{2}}(f_{2})}$$  

Para ello, volvemos a nuestro ejemplo y observamos que la transformada de Fourier sobre el conjunto suma L ¹ + L ² se obtuvo tomando la suma de dos instancias del mismo operador, es decir $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{1}}:L^{1}(\mathbf {R} ^{d})\to L^{\infty }(\mathbf {R} ^{d}),}$$ $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{2}}:L^{2}(\mathbf {R} ^{d})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{d}).}$$

En realidad, son el mismo operador, en el sentido de que coinciden en el subespacio ( L ¹ ∩ L ² ) ( R ^d ) . Dado que la intersección contiene funciones simples , es densa tanto en L ¹ ( R ^d ) como en L ² ( R ^d ) . Los operadores continuos densamente definidos admiten extensiones únicas, por lo que estamos justificados en considerar que y son lo mismo . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{1}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{2}}}$

Por lo tanto, el problema de estudiar operadores en el conjunto suma L ^{p ₀} + L ^{p ₁} se reduce esencialmente al estudio de operadores que mapean dos espacios de dominio natural, L ^{p ₀} y L ^{p ₁} , de manera acotada a dos espacios objetivo: L ^{q ₀} y L ^{q ₁} , respectivamente. Dado que tales operadores mapean el espacio de conjunto suma L ^{p ₀} + L ^{p ₁} a L ^{q ₀} + L ^{q ₁} , es natural esperar que estos operadores mapeen el espacio intermedio L ^{p _θ} al espacio intermedio correspondiente L ^{q _θ} .

Enunciado del teorema

Hay varias maneras de enunciar el teorema de interpolación de Riesz-Thorin; ^[1] para ser coherentes con las notaciones de la sección anterior, utilizaremos la formulación de conjunto suma.

Teorema de interpolación de Riesz-Thorin  —  Sean (Ω ₁ , Σ ₁ , μ ₁ ) y (Ω ₂ , Σ ₂ , μ ₂ ) espacios de medida σ -finitos . Supóngase 1 ≤ p ₀ , q ₀ , p ₁ , q ₁ ≤ ∞ , y sea T  : L ^{p ₀} ( μ ₁ ) + L ^{p ₁} ( μ ₁ ) → L ^{q ₀} ( μ ₂ ) + L ^{q ₁} ( μ ₂ ) un operador lineal que mapea de manera acotada L ^{p ₀} ( μ ₁ ) en L ^{q ₀} ( μ ₂ ) y L ^{p ₁} ( μ ₁ ) en L ^{q ₁} ( μ ₂ ) . Para 0 < θ < 1 , sean p _θ , q _θ definidos como se indicó anteriormente. Entonces T mapea de manera acotada L ^{p _θ} ( μ ₁ ) en L ^{q _θ} ( μ ₂ ) y satisface la estimación de la norma del operador

En otras palabras, si T es simultáneamente de tipo ( p ₀ , q ₀ ) y de tipo ( p ₁ , q ₁ ) , entonces T es de tipo ( p _θ , q _θ ) para todo 0 < θ < 1 . De esta manera, el teorema de interpolación se presta a una descripción gráfica. De hecho, el diagrama de Riesz de T es la colección de todos los puntos ( ⁠1/pag⁠ , ⁠1/q⁠ ) ​​en el cuadrado unitario [0, 1] × [0, 1] tal que T es de tipo ( p , q ) . El teorema de interpolación establece que el diagrama de Riesz de T es un conjunto convexo: dados dos puntos en el diagrama de Riesz, el segmento de línea que los conecta también estará en el diagrama.

El teorema de interpolación fue enunciado y demostrado originalmente por Marcel Riesz en 1927. ^[2] El artículo de 1927 establece el teorema solo para el triángulo inferior del diagrama de Riesz, es decir, con la restricción de que p ₀ ≤ q ₀ y p ₁ ≤ q ₁ . Olof Thorin extendió el teorema de interpolación a todo el cuadrado, eliminando la restricción del triángulo inferior. La prueba de Thorin se publicó originalmente en 1938 y posteriormente se amplió en su tesis de 1948. ^[3]

Prueba

Primero probaremos el resultado para funciones simples y eventualmente mostraremos cómo el argumento puede extenderse por densidad a todas las funciones mensurables.

Funciones simples

Por simetría, supongamos (el caso se sigue trivialmente de ( 1 )). Sea una función simple , es decir, para algún finito , y , . De manera similar, sea una función simple , es decir, para algún finito , y , . ${\textstyle p_{0}<p_{1}}$ ${\textstyle p_{0}=p_{1}}$ ${\textstyle f}$ $${\displaystyle f=\sum _{j=1}^{m}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}}$$ ${\textstyle m\in \mathbb {N} }$ ${\textstyle a_{j}=\left\vert a_{j}\right\vert \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha _{j}}\in \mathbb {C} }$ ${\textstyle A_{j}\in \Sigma _{1}}$ ${\textstyle j=1,2,\dots ,m}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle \Omega _{2}\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle g=\sum _{k=1}^{n}b_{k}\mathbf {1} _{B_{k}}}$$ ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ ${\textstyle b_{k}=\left\vert b_{k}\right\vert \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \beta _{k}}\in \mathbb {C} }$ ${\textstyle B_{k}\in \Sigma _{2}}$ ${\textstyle k=1,2,\dots ,n}$

Nótese que, dado que suponemos que y son espacios métricos -finitos, y para todo . Entonces, mediante la normalización adecuada, podemos suponer que y , con y con , como se define en el enunciado del teorema. ${\textstyle \Omega _{1}}$ ${\textstyle \Omega _{2}}$ ${\textstyle \sigma }$ ${\textstyle f\in L^{r}(\mu _{1})}$ ${\textstyle g\in L^{r}(\mu _{2})}$ ${\textstyle r\in [1,\infty ]}$ ${\textstyle \lVert f\rVert _{p_{\theta }}=1}$ ${\textstyle \lVert g\rVert _{q_{\theta }'}=1}$ ${\textstyle q_{\theta }'=q_{\theta }(q_{\theta }-1)^{-1}}$ ${\textstyle p_{\theta }}$ ${\textstyle q_{\theta }}$

A continuación, definimos las dos funciones complejas Nótese que, para , y . Luego ampliamos y para que dependan de un parámetro complejo de la siguiente manera: de modo que y . Aquí, estamos excluyendo implícitamente el caso , lo que produce : En ese caso, uno puede simplemente tomar , independientemente de , y el siguiente argumento solo requerirá adaptaciones menores. $${\displaystyle {\begin{aligned}u:\mathbb {C} &\to \mathbb {C} &v:\mathbb {C} &\to \mathbb {C} \\z&\mapsto u(z)={\frac {1-z}{p_{0}}}+{\frac {z}{p_{1}}}&z&\mapsto v(z)={\frac {1-z}{q_{0}}}+{\frac {z}{q_{1}}}.\end{aligned}}}$$ ${\textstyle z=\theta }$ ${\textstyle u(\theta )=p_{\theta }^{-1}}$ ${\textstyle v(\theta )=q_{\theta }^{-1}}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle z}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{z}&=\sum _{j=1}^{m}\left\vert a_{j}\right\vert ^{\frac {u(z)}{u(\theta )}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha _{j}}\mathbf {1} _{A_{j}}\\g_{z}&=\sum _{k=1}^{n}\left\vert b_{k}\right\vert ^{\frac {1-v(z)}{1-v(\theta )}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \beta _{k}}\mathbf {1} _{B_{k}}\end{aligned}}}$$ ${\textstyle f_{\theta }=f}$ ${\textstyle g_{\theta }=g}$ ${\textstyle q_{0}=q_{1}=1}$ ${\textstyle v\equiv 1}$ ${\textstyle g_{z}=g}$ ${\textstyle z}$

Introduzcamos ahora la función donde son constantes independientes de . Vemos fácilmente que es una función entera, acotada en la franja . Entonces, para demostrar ( 2 ), sólo necesitamos demostrar que $${\displaystyle \Phi (z)=\int _{\Omega _{2}}(Tf_{z})g_{z}\,\mathrm {d} \mu _{2}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{n}\left\vert a_{j}\right\vert ^{\frac {u(z)}{u(\theta )}}\left\vert b_{k}\right\vert ^{\frac {1-v(z)}{1-v(\theta )}}\gamma _{j,k}}$$ ${\textstyle \gamma _{j,k}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\alpha _{j}+\beta _{k})}\int _{\Omega _{2}}(T\mathbf {1} _{A_{j}})\mathbf {1} _{B_{k}}\,\mathrm {d} \mu _{2}}$ ${\textstyle z}$ ${\textstyle \Phi (z)}$ ${\textstyle 0\leq \operatorname {\mathbb {R} e} z\leq 1}$

para todos y como se construyó anteriormente. De hecho, si ( 3 ) es cierto, por el teorema de las tres líneas de Hadamard , para todos y . Esto significa, al fijar , que donde el supremo se toma con respecto a todas las funciones simples con . El lado izquierdo se puede reescribir por medio del siguiente lema. ^[4] ${\textstyle f_{z}}$ ${\textstyle g_{z}}$ $${\displaystyle \left\vert \Phi (\theta +\mathrm {i} 0)\right\vert ={\biggl \vert }\int _{\Omega _{2}}(Tf)g\,\mathrm {d} \mu _{2}{\biggr \vert }\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }}$$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle f}$ $${\displaystyle \sup _{g}{\biggl \vert }\int _{\Omega _{2}}(Tf)g\,\mathrm {d} \mu _{2}{\biggr \vert }\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }}$$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle \lVert g\rVert _{q_{\theta }'}=1}$

Lema  —  Sean exponentes conjugados y sea una función en . Entonces donde el supremo se toma sobre todas las funciones simples en tales que . ${\textstyle 1\leq p,p'\leq \infty }$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle L^{p}(\mu _{1})}$ $${\displaystyle \lVert f\rVert _{p}=\sup {\biggl |}\int _{\Omega _{1}}fg\,\mathrm {d} \mu _{1}{\biggr |}}$$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle L^{p'}(\mu _{1})}$ ${\textstyle \lVert g\rVert _{p'}\leq 1}$

En nuestro caso, el lema anterior implica para toda función simple con . De manera equivalente, para una función simple genérica, $${\displaystyle \lVert Tf\rVert _{q_{\theta }}\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }}$$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle \lVert f\rVert _{p_{\theta }}=1}$ $${\displaystyle \lVert Tf\rVert _{q_{\theta }}\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }\lVert f\rVert _{p_{\theta }}.}$$

Prueba de (3)

Demostremos ahora que nuestra afirmación ( 3 ) es ciertamente cierta. La sucesión consta de subconjuntos disjuntos en y, por tanto, cada uno pertenece (como máximo) a uno de ellos, digamos . Entonces, para , lo que implica que . Con un argumento paralelo, cada uno pertenece (como máximo) a uno de los conjuntos que sustentan , digamos , y ${\textstyle (A_{j})_{j=1}^{m}}$ ${\textstyle \Sigma _{1}}$ ${\textstyle \xi \in \Omega _{1}}$ ${\textstyle A_{\hat {\jmath }}}$ ${\textstyle z=\mathrm {i} y}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\vert f_{\mathrm {i} y}(\xi )\right\vert &=\left\vert a_{\hat {\jmath }}\right\vert ^{\frac {u(\mathrm {i} y)}{u(\theta )}}\\&=\exp {\biggl (}\log \left\vert a_{\hat {\jmath }}\right\vert {\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}{\biggr )}\exp {\biggl (}-\mathrm {i} y\log \left\vert a_{\hat {\jmath }}\right\vert p_{\theta }{\biggl (}{\frac {1}{p_{0}}}-{\frac {1}{p_{1}}}{\biggr )}{\biggr )}\\&=\left\vert a_{\hat {\jmath }}\right\vert ^{\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}\\&=\left\vert f(\xi )\right\vert ^{\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \lVert f_{\mathrm {i} y}\rVert _{p_{0}}\leq \lVert f\rVert _{p_{\theta }}^{\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}}$ ${\textstyle \zeta \in \Omega _{2}}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle B_{\hat {k}}}$ $${\displaystyle \left\vert g_{\mathrm {i} y}(\zeta )\right\vert =\left\vert b_{\hat {k}}\right\vert ^{\frac {1-1/q_{0}}{1-1/q_{\theta }}}=\left\vert g(\zeta )\right\vert ^{\frac {1-1/q_{0}}{1-1/q_{\theta }}}=\left\vert g(\zeta )\right\vert ^{\frac {q_{\theta }'}{q_{0}'}}\implies \lVert g_{\mathrm {i} y}\rVert _{q_{0}'}\leq \lVert g\rVert _{q_{\theta }'}^{\frac {q_{\theta }'}{q_{0}'}}.}$$

Ahora podemos limitar : Aplicando la desigualdad de Hölder con exponentes conjugados y , tenemos ${\textstyle \Phi (\mathrm {i} y)}$ ${\textstyle q_{0}}$ ${\textstyle q_{0}'}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\vert \Phi (\mathrm {i} y)\right\vert &\leq \lVert Tf_{\mathrm {i} y}\rVert _{q_{0}}\lVert g_{\mathrm {i} y}\rVert _{q_{0}'}\\&\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}\lVert f_{\mathrm {i} y}\rVert _{p_{0}}\lVert g_{\mathrm {i} y}\rVert _{q_{0}'}\\&=\|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}\lVert f\rVert _{p_{\theta }}^{\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}\lVert g\rVert _{q_{\theta }'}^{\frac {q_{\theta }'}{q_{0}'}}\\&=\|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}.\end{aligned}}}$$

Podemos repetir el mismo proceso para obtener , y, finalmente, ${\textstyle z=1+\mathrm {i} y}$ ${\textstyle \left\vert f_{1+\mathrm {i} y}(\xi )\right\vert =\left\vert f(\xi )\right\vert ^{p_{\theta }/p_{1}}}$ ${\textstyle \left\vert g_{1+\mathrm {i} y}(\zeta )\right\vert =\left\vert g(\zeta )\right\vert ^{q_{\theta }'/q_{1}'}}$ $${\displaystyle \left\vert \Phi (1+\mathrm {i} y)\right\vert \leq \|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}\lVert f_{1+\mathrm {i} y}\rVert _{p_{1}}\lVert g_{1+\mathrm {i} y}\rVert _{q_{1}'}=\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}.}$$

Extensión a todas las funciones mensurables enLpθ​​

Hasta ahora hemos demostrado que

cuando es una función simple. Como ya se mencionó, la desigualdad es válida para todos por la densidad de funciones simples en . ${\textstyle f}$ ${\textstyle f\in L^{p_{\theta }}(\Omega _{1})}$ ${\textstyle L^{p_{\theta }}(\Omega _{1})}$

Formalmente, sean y una secuencia de funciones simples tales que , para todos , y puntuales. Sean y definan , , y . Nótese que, dado que estamos asumiendo , y , equivalentemente, y . ${\textstyle f\in L^{p_{\theta }}(\Omega _{1})}$ ${\textstyle (f_{n})_{n}}$ ${\textstyle \left\vert f_{n}\right\vert \leq \left\vert f\right\vert }$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle f_{n}\to f}$ ${\textstyle E=\{x\in \Omega _{1}:\left\vert f(x)\right\vert >1\}}$ ${\textstyle g=f\mathbf {1} _{E}}$ ${\textstyle g_{n}=f_{n}\mathbf {1} _{E}}$ ${\textstyle h=f-g=f\mathbf {1} _{E^{\mathrm {c} }}}$ ${\textstyle h_{n}=f_{n}-g_{n}}$ ${\textstyle p_{0}\leq p_{\theta }\leq p_{1}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\lVert f\rVert _{p_{\theta }}^{p_{\theta }}&=\int _{\Omega _{1}}\left\vert f\right\vert ^{p_{\theta }}\,\mathrm {d} \mu _{1}\geq \int _{\Omega _{1}}\left\vert f\right\vert ^{p_{\theta }}\mathbf {1} _{E}\,\mathrm {d} \mu _{1}\geq \int _{\Omega _{1}}\left\vert f\mathbf {1} _{E}\right\vert ^{p_{0}}\,\mathrm {d} \mu _{1}=\int _{\Omega _{1}}\left\vert g\right\vert ^{p_{0}}\,\mathrm {d} \mu _{1}=\lVert g\rVert _{p_{0}}^{p_{0}}\\\lVert f\rVert _{p_{\theta }}^{p_{\theta }}&=\int _{\Omega _{1}}\left\vert f\right\vert ^{p_{\theta }}\,\mathrm {d} \mu _{1}\geq \int _{\Omega _{1}}\left\vert f\right\vert ^{p_{\theta }}\mathbf {1} _{E^{\mathrm {c} }}\,\mathrm {d} \mu _{1}\geq \int _{\Omega _{1}}\left\vert f\mathbf {1} _{E^{\mathrm {c} }}\right\vert ^{p_{1}}\,\mathrm {d} \mu _{1}=\int _{\Omega _{1}}\left\vert h\right\vert ^{p_{1}}\,\mathrm {d} \mu _{1}=\lVert h\rVert _{p_{1}}^{p_{1}}\end{aligned}}}$$ ${\textstyle g\in L^{p_{0}}(\Omega _{1})}$ ${\textstyle h\in L^{p_{1}}(\Omega _{1})}$

Veamos qué sucede en el límite para . Puesto que , y , por el teorema de convergencia dominada se tiene fácilmente De manera similar, , y implican y , por la linealidad de como operador de tipos y (aún no hemos demostrado que sea del tipo para un genérico ) ${\textstyle n\to \infty }$ ${\textstyle \left\vert f_{n}\right\vert \leq \left\vert f\right\vert }$ ${\textstyle \left\vert g_{n}\right\vert \leq \left\vert g\right\vert }$ ${\textstyle \left\vert h_{n}\right\vert \leq \left\vert h\right\vert }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\lVert f_{n}\rVert _{p_{\theta }}&\to \lVert f\rVert _{p_{\theta }}&\lVert g_{n}\rVert _{p_{0}}&\to \lVert g\rVert _{p_{0}}&\lVert h_{n}\rVert _{p_{1}}&\to \lVert h\rVert _{p_{1}}.\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \left\vert f-f_{n}\right\vert \leq 2\left\vert f\right\vert }$ ${\textstyle \left\vert g-g_{n}\right\vert \leq 2\left\vert g\right\vert }$ ${\textstyle \left\vert h-h_{n}\right\vert \leq 2\left\vert h\right\vert }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\lVert f-f_{n}\rVert _{p_{\theta }}&\to 0&\lVert g-g_{n}\rVert _{p_{0}}&\to 0&\lVert h-h_{n}\rVert _{p_{1}}&\to 0\end{aligned}}}$$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle (p_{0},q_{0})}$ ${\textstyle (p_{1},q_{1})}$ ${\textstyle (p_{\theta },q_{\theta })}$ ${\textstyle f}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\lVert Tg-Tg_{n}\rVert _{p_{0}}&\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}\lVert g-g_{n}\rVert _{p_{0}}\to 0&\lVert Th-Th_{n}\rVert _{p_{1}}&\leq \|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}\lVert h-h_{n}\rVert _{p_{1}}\to 0.\end{aligned}}}$$

Ahora es fácil demostrar que y en medida: Para cualquier , la desigualdad de Chebyshev produce y de manera similar para . Entonces, y ae para alguna subsecuencia y, a su vez, ae Entonces, por el lema de Fatou y recordando que ( 4 ) es cierto para funciones simples, ${\textstyle Tg_{n}\to Tg}$ ${\textstyle Th_{n}\to Th}$ ${\textstyle \epsilon >0}$ $${\displaystyle \mu _{2}(y\in \Omega _{2}:\left\vert Tg-Tg_{n}\right\vert >\epsilon )\leq {\frac {\lVert Tg-Tg_{n}\rVert _{q_{0}}^{q_{0}}}{\epsilon ^{q_{0}}}}}$$ ${\textstyle Th-Th_{n}}$ ${\textstyle Tg_{n}\to Tg}$ ${\textstyle Th_{n}\to Th}$ ${\textstyle Tf_{n}\to Tf}$ $${\displaystyle \lVert Tf\rVert _{q_{\theta }}\leq \liminf _{n\to \infty }\lVert Tf_{n}\rVert _{q_{\theta }}\leq \|T\|_{L^{p_{\theta }}\to L^{q_{\theta }}}\liminf _{n\to \infty }\lVert f_{n}\rVert _{p_{\theta }}=\|T\|_{L^{p_{\theta }}\to L^{q_{\theta }}}\lVert f\rVert _{p_{\theta }}.}$$

Interpolación de familias analíticas de operadores

El esquema de prueba presentado en la sección anterior se generaliza fácilmente al caso en el que se permite que el operador T varíe analíticamente. De hecho, se puede llevar a cabo una prueba análoga para establecer un límite en toda la función de la que obtenemos el siguiente teorema de Elias Stein , publicado en su tesis de 1956: ^[5] $${\displaystyle \varphi (z)=\int (T_{z}f_{z})g_{z}\,d\mu _{2},}$$

Teorema de interpolación de Stein  :  Sean (Ω ₁ , Σ ₁ , μ ₁ ) y (Ω ₂ , Σ ₂ , μ ₂ ) espacios de medida σ -finitos . Supóngase 1 ≤ p ₀ , p ₁ ≤ ∞, 1 ≤ q ₀ , q ₁ ≤ ∞ y definamos:

S = { z ∈ C  : 0 < Re( z ) < 1} ,

S = { z ∈ C  : 0 ≤ Re( z ) ≤ 1}.

Tomamos una colección de operadores lineales { T _z  : z ∈ S } en el espacio de funciones simples en L ¹ ( μ ₁ ) en el espacio de todas las funciones μ ₂ -medibles en Ω ₂ . Suponemos las siguientes propiedades adicionales en esta colección de operadores lineales:

• La aplicación es continua en S y holomorfa en S para todas las funciones simples f y g . $${\displaystyle z\mapsto \int (T_{z}f)g\,d\mu _{2}}$$  
• Para alguna constante k < π , los operadores satisfacen el límite uniforme: $${\displaystyle \sup _{z\in S}e^{-k|{\text{Im}}(z)|}\log \left|\int (T_{z}f)g\,d\mu _{2}\right|<\infty }$$
• T _z mapea L ^{p ₀} ( μ ₁ ) de manera acotada a L ^{q ₀} ( μ ₂ ) siempre que Re( z ) = 0 .
• T _z mapea L ^{p ₁} ( μ ₁ ) de manera acotada a L ^{q ₁} ( μ ₂ ) siempre que Re( z ) = 1 .
• Las normas del operador satisfacen el límite uniforme para una constante k < π . $${\displaystyle \sup _{{\text{Re}}(z)=0,1}e^{-k|{\text{Im}}(z)|}\log \left\|T_{z}\right\|<\infty }$$

Luego, para cada 0 < θ < 1 , el operador T _θ mapea L ^{p _θ} ( μ ₁ ) de manera acotada en L ^{q _θ} ( μ ₂ ) .

La teoría de los espacios de Hardy reales y del espacio de oscilaciones medias acotadas nos permite utilizar el argumento del teorema de interpolación de Stein al tratar con operadores en el espacio de Hardy H ¹ ( R ^d ) y el espacio BMO de oscilaciones medias acotadas; esto es un resultado de Charles Fefferman y Elias Stein . ^[6]

Aplicaciones

Desigualdad de Hausdorff-Young

Se ha demostrado en la primera sección que la transformada de Fourier mapea L ¹ ( R ^d ) de forma acotada en L ^∞ ( R ^d ) y L ² ( R ^d ) en sí misma. Un argumento similar muestra que el operador de la serie de Fourier , que transforma funciones periódicas f   : T → C en funciones cuyos valores son los coeficientes de Fourier, mapea L ¹ ( T ) de forma acotada en ℓ ^∞ ( Z ) y L ² ( T ) en ℓ ² ( Z ) . El teorema de interpolación de Riesz-Thorin ahora implica lo siguiente: donde 1 ≤ p ≤ 2 y ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  ${\displaystyle {\hat {f}}:\mathbf {Z} \to \mathbf {C} }$ $${\displaystyle {\hat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,dx,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|{\mathcal {F}}f\right\|_{L^{q}(\mathbf {R} ^{d})}&\leq \|f\|_{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}\\\left\|{\hat {f}}\right\|_{\ell ^{q}(\mathbf {Z} )}&\leq \|f\|_{L^{p}(\mathbf {T} )}\end{aligned}}}$$1/pag⁠ + ⁠1/q⁠ = 1 . Esta es la desigualdad de Hausdorff-Young .

La desigualdad de Hausdorff-Young también se puede establecer para la transformada de Fourier en grupos abelianos localmente compactos . La estimación de la norma de 1 no es óptima. Consulte el artículo principal para obtener referencias.

Operadores de convolución

Sea f una función integrable fija y sea T el operador de convolución con f , es decir, para cada función g tenemos Tg =   f   ∗ g .    

Es bien sabido que T está acotado de L ¹ a L ¹ y es trivial que esté acotado de L ^∞ a L ^∞ (ambos límites son por ||  f  || ₁ ). Por lo tanto, el teorema de Riesz-Thorin da $${\displaystyle \|f*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}.}$$

Tomamos esta desigualdad e intercambiamos el papel del operador y el operando, o en otras palabras, pensamos en S como el operador de convolución con g , y obtenemos que S está acotado de L ¹ a L ^p . Además, dado que g está en L ^p obtenemos, en vista de la desigualdad de Hölder, que S está acotado de L ^q a L ^∞ , donde nuevamente ⁠1/pag⁠ + ⁠1/q⁠ = 1 . Entonces, interpolando, obtenemos donde la conexión entre p , r y s es $${\displaystyle \|f*g\|_{s}\leq \|f\|_{r}\|g\|_{p}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{r}}+{\frac {1}{p}}=1+{\frac {1}{s}}.}$$

La transformada de Hilbert

La transformada de Hilbert de f   : R → C está dada por donde pv indica el valor principal de Cauchy de la integral. La transformada de Hilbert es un operador multiplicador de Fourier con un multiplicador particularmente simple:  $${\displaystyle {\mathcal {H}}f(x)={\frac {1}{\pi }}\,\mathrm {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x-t)}{t}}\,dt=\left({\frac {1}{\pi }}\,\mathrm {p.v.} {\frac {1}{t}}\ast f\right)(x),}$$ $${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {H}}f}}(\xi )=-i\,\operatorname {sgn}(\xi ){\hat {f}}(\xi ).}$$

Del teorema de Plancherel se deduce que la transformada de Hilbert aplica L ² ( R ) acotadamente en sí misma.

Sin embargo, la transformada de Hilbert no está acotada en L ¹ ( R ) o L ^∞ ( R ) , y por lo tanto no podemos usar el teorema de interpolación de Riesz-Thorin directamente. Para ver por qué no tenemos estos límites de punto final, basta con calcular la transformada de Hilbert de las funciones simples 1 _(−1,1) ( x ) y 1 _(0,1) ( x ) − 1 _(0,1) (− x ) . Sin embargo, podemos demostrar que para todas las funciones de Schwartz f   : R → C , y esta identidad puede usarse junto con la desigualdad de Cauchy-Schwarz para demostrar que la transformada de Hilbert mapea L ^{2 n} ( R ^d ) acotada en sí misma para todo n ≥ 2 . La interpolación ahora establece el límite para todos los 2 ≤ p < ∞ , y la autoadjunción de la transformada de Hilbert se puede utilizar para trasladar estos límites al caso 1 < p ≤ 2 . $${\displaystyle ({\mathcal {H}}f)^{2}=f^{2}+2{\mathcal {H}}(f{\mathcal {H}}f)}$$   $${\displaystyle \|{\mathcal {H}}f\|_{p}\leq A_{p}\|f\|_{p}}$$

Comparación con el método de interpolación real

Aunque el teorema de interpolación de Riesz-Thorin y sus variantes son herramientas poderosas que producen una estimación limpia de las normas de los operadores interpolados, sufren de numerosos defectos: algunos menores, otros más severos. Nótese primero que la naturaleza analítica compleja de la prueba del teorema de interpolación de Riesz-Thorin obliga al campo escalar a ser C . Para funciones de valores reales extendidas, esta restricción se puede evitar redefiniendo la función para que sea finita en todas partes, lo cual es posible, ya que toda función integrable debe ser finita casi en todas partes. Una desventaja más seria es que, en la práctica, muchos operadores, como el operador maximal de Hardy-Littlewood y los operadores de Calderón-Zygmund , no tienen buenas estimaciones de punto final. ^[7] En el caso de la transformada de Hilbert en la sección anterior, pudimos evitar este problema calculando explícitamente las estimaciones de la norma en varios puntos intermedios. Esto es engorroso y a menudo no es posible en escenarios más generales. Dado que muchos de estos operadores satisfacen las estimaciones de tipo débil, los teoremas de interpolación real, como el teorema de interpolación de Marcinkiewicz , son más adecuados para ellos. Además, un buen número de operadores importantes, como el operador maximal de Hardy-Littlewood , son solo sublineales . Esto no es un impedimento para aplicar métodos de interpolación real, pero los métodos de interpolación complejos están mal equipados para manejar operadores no lineales. Por otro lado, los métodos de interpolación real, en comparación con los métodos de interpolación complejos, tienden a producir peores estimaciones en las normas de operadores intermedios y no se comportan tan bien fuera de la diagonal en el diagrama de Riesz. Las versiones fuera de la diagonal del teorema de interpolación de Marcinkiewicz requieren el formalismo de los espacios de Lorentz y no necesariamente producen estimaciones de normas en los L ^p -espacios. $${\displaystyle \mu \left(\{x:Tf(x)>\alpha \}\right)\leq \left({\frac {C_{p,q}\|f\|_{p}}{\alpha }}\right)^{q},}$$

Teorema de Mityagin

B. Mityagin extendió el teorema de Riesz-Thorin; esta extensión se formula aquí en el caso especial de espacios de sucesiones con bases incondicionales (cf. más abajo).

Asumir: $${\displaystyle \|A\|_{\ell _{1}\to \ell _{1}},\|A\|_{\ell _{\infty }\to \ell _{\infty }}\leq M.}$$

Entonces $${\displaystyle \|A\|_{X\to X}\leq M}$$

para cualquier espacio de Banach incondicional de sucesiones X , es decir, para cualquier y cualquier , . ${\displaystyle (x_{i})\in X}$ ${\displaystyle (\varepsilon _{i})\in \{-1,1\}^{\infty }}$ ${\displaystyle \|(\varepsilon _{i}x_{i})\|_{X}=\|(x_{i})\|_{X}}$

La prueba se basa en el teorema de Kerin-Milman .

Véase también

• Teorema de interpolación de Marcinkiewicz
• Espacio de interpolación

Notas

1. Stein y Weiss (1971) y Grafakos (2010) utilizan operadores sobre funciones simples, y Muscalu y Schlag (2013) utilizan operadores sobre subconjuntos densos genéricos de la intersección L ^{p ₀} ∩ L ^{p ₁} . Por el contrario, Duoanddikoetxea (2001), Tao (2010) y Stein y Shakarchi (2011) utilizan la formulación de suma de conjuntos, que adoptamos en esta sección.
2. Riesz (1927). La prueba hace uso de los resultados de convexidad en la teoría de formas bilineales. Por esta razón, muchas referencias clásicas como Stein y Weiss (1971) se refieren al teorema de interpolación de Riesz-Thorin como el teorema de convexidad de Riesz .
3. Thorin (1948)
4. Bernard, Calista. "Teoremas de interpolación y aplicaciones" (PDF) .
5. Stein (1956). Como señala Charles Fefferman en su ensayo en Fefferman, Fefferman, Wainger (1995), la prueba del teorema de interpolación de Stein es esencialmente la del teorema de Riesz-Thorin con la letra z añadida al operador. Para compensar esto, se utiliza una versión más fuerte del teorema de las tres líneas de Hadamard , debida a Isidore Isaac Hirschman, Jr. , para establecer los límites deseados. Véase Stein y Weiss (1971) para una prueba detallada, y una publicación del blog de Tao para una exposición de alto nivel del teorema.
6. Fefferman y Stein (1972)
7. Se cita a Elias Stein por decir que los operadores interesantes en el análisis armónico rara vez están acotados en L ¹ y L ^∞ .

Referencias

• Dunford, N.; Schwartz, JT (1958), Operadores lineales, partes I y II , Wiley-Interscience.
• Fefferman, Charles; Stein, Elias M. (1972), " Espacios de varias variables", Acta Mathematica , 129 : 137–193, doi : 10.1007/bf02392215 ${\displaystyle H^{p}}$
• Glazman, IM; Lyubich, Yu.I. (1974), Análisis lineal de dimensión finita: una presentación sistemática en forma de problema , Cambridge, Mass.: The MIT PressTraducido del ruso y editado por GP Barker y G. Kuerti.
• Hörmander, L. (1983), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundl. Matemáticas. Wissenschaft., vol. 256, Springer, doi :10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, Sr.  0717035.
• Mitjagin [Mityagin], BS (1965), "Un teorema de interpolación para espacios modulares (ruso)", Mat. Sb. , Nueva Serie, 66 (108): 473–482.
• Thorin, GO (1948), "Teoremas de convexidad que generalizan los de M. Riesz y Hadamard con algunas aplicaciones", Comm. Sem. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] , 9 : 1–58, MR  0025529
• Riesz, Marcel (1927), "Sur les maxima des formes bilinéaires et sur les fonctionnelles linéaires", Acta Mathematica , 49 (3–4): 465–497, doi : 10.1007/bf02564121
• Stein, Elias M. (1956), "Interpolación de operadores lineales", Trans. Amer. Math. Soc. , 83 (2): 482–492, doi : 10.1090/s0002-9947-1956-0082586-0
• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2011), Análisis funcional: Introducción a otros temas de análisis , Princeton University Press
• Stein, Elias M.; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton University Press

Enlaces externos

• "Teorema de convexidad de Riesz", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]