Desigualdad de Hausdorff-Young

Límite de la norma de los coeficientes de Fourier

La desigualdad de Hausdorff−Young es un resultado fundamental en el campo matemático del análisis de Fourier . Como enunciado sobre las series de Fourier, fue descubierto por William Henry Young  (1913) y ampliado por Hausdorff  (1923). En la actualidad, se entiende típicamente como un corolario bastante directo del teorema de Plancherel , descubierto en 1910, en combinación con el teorema de Riesz-Thorin , descubierto originalmente por Marcel Riesz en 1927. Con esta maquinaria, admite fácilmente varias generalizaciones, incluidas las series de Fourier multidimensionales y la transformada de Fourier en la línea real, los espacios euclidianos, así como los espacios más generales. Con estas extensiones, es uno de los resultados más conocidos del análisis de Fourier, que aparece en casi todos los libros de texto introductorios de nivel de posgrado sobre el tema.

La naturaleza de la desigualdad de Hausdorff-Young se puede entender con solo la integración de Riemann y las series infinitas como requisito previo. Dada una función continua , defina sus "coeficientes de Fourier" mediante ${\displaystyle f:(0,1)\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle c_{n}=\int _{0}^{1}e^{-2\pi inx}f(x)\,dx}$

para cada entero . La desigualdad de Hausdorff-Young se puede utilizar para demostrar que ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{3}\right)^{1/3}\leq \left(\int _{0}^{1}|f(t)|^{3/2}\,dt\right)^{2/3}.}$

En términos generales, esto puede interpretarse como que el "tamaño" de la función , tal como se representa en el lado derecho de la desigualdad anterior, controla el "tamaño" de su secuencia de coeficientes de Fourier, tal como se representa en el lado izquierdo. ${\displaystyle f}$

Sin embargo, este es sólo un caso muy específico del teorema general. Las formulaciones habituales del teorema se dan a continuación, con el uso de la maquinaria de los espacios L p y la integración de Lebesgue .

El exponente conjugado

Dado un número real distinto de cero , defina el número real (el "exponente conjugado" de ) mediante la ecuación ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p'}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1.}$

Si es igual a uno, esta ecuación no tiene solución, pero se interpreta que es infinita, como un elemento de la recta de números reales extendida . Asimismo, si es infinito, como un elemento de la recta de números reales extendida , entonces esto se interpreta que es igual a uno. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p'}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p'}$

Las características comúnmente entendidas del exponente conjugado son simples:

• El exponente conjugado de un número en el rango está en el rango ${\displaystyle [1,2]}$ ${\displaystyle [2,\infty ]}$
• El exponente conjugado de un número en el rango está en el rango ${\displaystyle [2,\infty ]}$ ${\displaystyle [1,2]}$
• El exponente conjugado de es ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2}$

Enunciados del teorema

Serie de Fourier

Dada una función se definen sus "coeficientes de Fourier" como una función por ${\displaystyle f:(0,1)\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle c:\mathbb {Z} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle c(n)=\int _{0}^{1}f(t)e^{-2\pi int}\,dt,}$

Aunque para una función arbitraria , estas integrales pueden no existir. La desigualdad de Hölder muestra que si está en para algún número , entonces cada coeficiente de Fourier está bien definido. ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}{\bigl (}(0,1){\bigr )}}$ ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$

La desigualdad de Hausdorff-Young dice que, para cualquier número en el intervalo , se tiene ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (1,2]}$

${\displaystyle {\Big (}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\big |}c(n){\big |}^{p'}{\Big )}^{1/p'}\leq {\Big (}\int _{0}^{1}|f(t)|^{p}\,dt{\Big )}^{1/p}}$

para todos en . Por el contrario, suponiendo todavía , si es una aplicación para la cual ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}{\bigl (}(0,1){\bigr )}}$ ${\displaystyle p\in (1,2]}$ ${\displaystyle c:\mathbb {Z} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\big |}c(n){\big |}^{p}<\infty ,}$

entonces existen cuyos coeficientes de Fourier obedecen ^[1] ${\displaystyle f\in L^{p'}(0,1)}$

${\displaystyle {\Big (}\int _{0}^{1}|f(t)|^{p'}\,dt{\Big )}^{1/p'}\leq {\Big (}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\big |}c(n){\big |}^{p}{\Big )}^{1/p}.}$

Serie de Fourier multidimensional

El caso de las series de Fourier se generaliza al caso multidimensional. Dada una función, definamos sus coeficientes de Fourier mediante ${\displaystyle f:(0,1)^{k}\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle c:\mathbb {Z} ^{k}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle c(n_{1},\ldots ,n_{k})=\int _{(0,1)^{k}}f(x)e^{-2\pi i(n_{1}x_{1}+\cdots +n_{k}x_{k})}\,dx.}$

Como en el caso de las series de Fourier, la suposición de que está en para algún valor de en asegura, a través de la desigualdad de Hölder, la existencia de los coeficientes de Fourier. Ahora bien, la desigualdad de Hausdorff-Young dice que si está en el rango , entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [1,\infty ]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [1,2]}$

${\displaystyle {\Big (}\sum _{n\in \mathbb {Z} ^{k}}{\big |}c(n){\big |}^{p'}{\Big )}^{1/p'}\leq {\Big (}\int _{(0,1)^{k}}|f(x)|^{p}\,dx{\Big )}^{1/p}}$

para cualquier en . ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}{\bigl (}(0,1)^{k}{\bigr )}}$

La transformada de Fourier

La transformada de Fourier multidimensional se define como

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi i\langle x,\xi \rangle }f(x)\,dx.}$

La desigualdad de Hausdorff-Young, en este contexto, dice que si es un número en el intervalo , entonces se tiene ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [1,2]}$

${\displaystyle {\Big (}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}{\widehat {f}}(\xi ){\big |}^{p'}\,d\xi {\Big )}^{1/p'}\leq {\Big (}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}f(x){\big |}^{p}\,dx{\Big )}^{1/p}}$

para cualquier . ^[3] ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{m})}$

El lenguaje de los espacios vectoriales normados

Los resultados anteriores pueden resumirse sucintamente de la siguiente manera:

• La función que envía una función a sus coeficientes de Fourier define una función lineal compleja acotada para cualquier número en el rango . Aquí denota medida de Lebesgue y denota medida de conteo. Además, la norma del operador de esta función lineal es menor o igual a uno. ${\displaystyle (0,1)^{k}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle L^{p}{\bigl (}(0,1)^{k},dx{\bigr )}\to L^{p/(p-1)}(\mathbb {Z} ^{k},dn)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [1,2]}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dn}$
• La función que envía una función a su transformada de Fourier define una función lineal compleja acotada para cualquier número en el rango . Además, la norma del operador de esta función lineal es menor o igual a uno. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n}\to L^{p/(p-1)}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [1,2]}$

Prueba

Aquí utilizamos el lenguaje de los espacios vectoriales normados y de las aplicaciones lineales acotadas, como es conveniente para la aplicación del teorema de Riesz-Thorin. Hay dos componentes en la prueba:

• Según el teorema de Plancherel , la serie de Fourier (o transformada de Fourier) define una función lineal acotada . ${\displaystyle L^{2}\to L^{2}}$
• utilizando únicamente la igualdad simple para cualquier número real y , se puede ver directamente que la serie de Fourier (o transformada de Fourier) define una función lineal acotada . ${\displaystyle |e^{-2\pi ina}|=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle L^{1}\to L^{\infty }}$

La norma del operador de cualquiera de las aplicaciones lineales es menor o igual a uno, como se puede verificar directamente. Se puede aplicar entonces el teorema de Riesz-Thorin .

La marcada desigualdad de Hausdorff-Young de Beckner

La igualdad se logra en la desigualdad de Hausdorff-Young para series de Fourier (multidimensionales) tomando

${\displaystyle f(x)=e^{2\pi i(m_{1}x_{1}+\cdots +m_{k}x_{k})}}$

para cualquier elección particular de números enteros En la terminología anterior de "espacios vectoriales normados", esto afirma que la norma del operador del mapa lineal acotado correspondiente es exactamente igual a uno. ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{k}.}$

Dado que la transformada de Fourier es estrechamente análoga a la serie de Fourier, y la desigualdad de Hausdorff-Young anterior para la transformada de Fourier se demuestra exactamente por los mismos medios que la desigualdad de Hausdorff-Young para la serie de Fourier, puede resultar sorprendente que no se logre la igualdad para la desigualdad de Hausdorff-Young anterior para la transformada de Fourier, aparte del caso especial para el cual el teorema de Plancherel afirma que la desigualdad de Hausdorff-Young es una igualdad exacta. ${\displaystyle p=2}$

De hecho, Beckner (1975), siguiendo un caso especial que aparece en Babenko (1961), demostró que si es un número en el intervalo , entonces ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [1,2]}$

${\displaystyle {\Big (}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}{\widehat {f}}(\xi ){\big |}^{p'}\,d\xi {\Big )}^{1/p'}\leq {\Big (}{\frac {p^{1/p}}{(p')^{1/p'}}}{\Big )}^{n/2}{\Big (}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}f(x){\big |}^{p}\,dx{\Big )}^{1/p}}$

para cualquier en . Esta es una mejora de la desigualdad estándar de Hausdorff-Young, ya que el contexto y asegura que el número que aparece en el lado derecho de esta " desigualdad de Babenko-Beckner " sea menor o igual a 1. Además, este número no puede reemplazarse por uno más pequeño, ya que la igualdad se logra en el caso de funciones gaussianas. En este sentido, el artículo de Beckner proporciona una versión óptima ("aguda") de la desigualdad de Hausdorff-Young. En el lenguaje de los espacios vectoriales normados, dice que la norma del operador de la función lineal acotada , como se define por la transformada de Fourier, es exactamente igual a ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle p\leq 2}$ ${\displaystyle p'\geq 2}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{p/(p-1)}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\Big (}{\frac {p^{1/p}}{(p')^{1/p'}}}{\Big )}^{n/2}.}$

La condición en el exponente

La condición es esencial. Si , entonces el hecho de que una función pertenezca a no proporciona ninguna información adicional sobre el orden de crecimiento de su serie de Fourier más allá del hecho de que está en . ${\displaystyle p\in [1,2]}$ ${\displaystyle p>2}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

Referencias

Notas

1. Sección XII.2 en el volumen II del libro de Zygmund
2. Página 248 del libro de Folland
3. página 114 del libro de Grafakos, página 165 del libro de Hörmander, página 11 del libro de Reed y Simon, o sección 5.1 del libro de Stein y Weiss. Los libros de Hörmander y Reed-Simon utilizan convenciones para la definición de la transformada de Fourier que son diferentes a las de este artículo.

Artículos de investigación

• Babenko, K. Ivan (1961), "Una desigualdad en la teoría de las integrales de Fourier", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 25 : 531–542, ISSN  0373-2436, SEÑOR  0138939Traducción al inglés, Amer. Math. Soc. Transl. (2) 44, págs. 115–128
• Beckner, William (1975), "Desigualdades en el análisis de Fourier", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 102 (1): 159–182, doi :10.2307/1970980, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970980, MR  0385456
• Hausdorff, Felix (1923), "Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes über Fourierreihen", Mathematische Zeitschrift , 16 : 163–169, doi :10.1007/BF01175679
• Young, WH (1913), "Sobre la determinación de la sumabilidad de una función por medio de sus constantes de Fourier", Proc. London Math. Soc. , 12 : 71–88, doi :10.1112/plms/s2-12.1.71

Libros de texto

• Bergh, Jöran; Löfström, Jörgen. Espacios de interpolación. Una introducción. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, núm. 223. Springer-Verlag, Berlín-Nueva York, 1976. x+207 págs.
• Folland, Gerald B. Análisis real. Técnicas modernas y sus aplicaciones. Segunda edición. Pure and Applied Mathematics (Nueva York). Una publicación de Wiley-Interscience. John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1999. xvi+386 pp. ISBN 0-471-31716-0 
• Grafakos, Loukás. Análisis clásico de Fourier. Tercera edición. Textos de Posgrado en Matemáticas, 249. Springer, Nueva York, 2014. xviii+638 págs. ISBN 978-1-4939-1193-6 , 978-1-4939-1194-3 
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. Análisis armónico abstracto. vol. II: Estructura y análisis de grupos compactos. Análisis de grupos abelianos localmente compactos. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152 Springer-Verlag, Nueva York-Berlín 1970 ix+771 págs.
• Hörmander, Lars. El análisis de operadores diferenciales parciales lineales. I. Teoría de la distribución y análisis de Fourier. Reimpresión de la segunda edición (1990) [Springer, Berlín; MR1065993]. Clásicos de las matemáticas. Springer-Verlag, Berlín, 2003. x+440 pp. ISBN 3-540-00662-1 
• Reed, Michael; Simon, Barry. Métodos de la física matemática moderna. II. Análisis de Fourier, autoadjunción. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Nueva York-Londres, 1975. xv+361 pp.
• Stein, Elias M.; Weiss, Guido. Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos. Princeton Mathematical Series, n.º 32. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1971. x+297 pp.
• Zygmund, A. Series trigonométricas. Vol. I, II. Tercera edición. Con prólogo de Robert A. Fefferman. Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii; Vol. I: xiv+383 pp.; Vol. II: viii+364 pp. ISBN 0-521-89053-5