Teorema de Plancherel

Teorema en análisis armónico

En matemáticas , el teorema de Plancherel (a veces llamado identidad de Parseval -Plancherel ^[1] ) es un resultado del análisis armónico , probado por Michel Plancherel en 1910. Afirma que la integral del módulo al cuadrado de una función es igual a la integral del módulo al cuadrado módulo de su espectro de frecuencias . Es decir, si es una función sobre la recta real y es su espectro de frecuencias, entonces ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi }$

Una formulación más precisa es que si una función está en ambos espacios L p y , entonces su transformada de Fourier está en , y el mapa de transformada de Fourier es una isometría con respecto a la norma L ² . Esto implica que el mapa de transformada de Fourier restringido a tiene una extensión única a un mapa isométrico lineal , a veces llamado transformada de Plancherel. Esta isometría es en realidad un mapa unitario . En efecto, esto permite hablar de transformadas de Fourier de funciones cuadráticamente integrables . ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )\mapsto L^{2}(\mathbb {R} )}$

El teorema de Plancherel sigue siendo válido como se indica en el espacio euclidiano de n dimensiones . El teorema también se cumple de manera más general en grupos abelianos localmente compactos . También existe una versión del teorema de Plancherel que tiene sentido para grupos localmente compactos no conmutativos que satisfacen ciertos supuestos técnicos. Este es el tema del análisis armónico no conmutativo . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

La unitaridad de la transformada de Fourier a menudo se denomina teorema de Parseval en los campos de la ciencia y la ingeniería, basándose en un resultado anterior (pero menos general) que se utilizó para demostrar la unitaridad de la serie de Fourier .

Debido a la identidad de polarización , también se puede aplicar el teorema de Plancherel al producto interno de dos funciones. Es decir, si y son dos funciones y denota la transformada de Plancherel, entonces ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,}$$

${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$

$${\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}$$

$${\displaystyle ({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}$$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi .}$

Ver también

• Teorema de Plancherel para funciones esféricas

Referencias

1. Cohen-Tannoudji, Claude; Dupont-Roc, Jacques; Grynberg, Gilbert (1997). Fotones y átomos: Introducción a la electrodinámica cuántica . Wiley. pag. 11.ISBN​ 0-471-18433-0.

• Plancherel, Michel (1910), "Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies", Rediconti del Circolo Matematico di Palermo , 30 (1): 289–335, doi :10.1007/BF03014877, S2CID  122509369.
• Dixmier, J. (1969), Les C*-algèbres et leurs Représentations , Gauthier Villars.
• Yosida, K. (1968), Análisis funcional , Springer Verlag.

enlaces externos

• "Teorema de Plancherel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Teorema de Plancherel en Mathworld