Álgebra de Lie restringida

En matemáticas , un álgebra de Lie restringida (o álgebra p -Lie ) es un álgebra de Lie sobre un cuerpo de característica p > 0 junto con una operación adicional de " potencia p ". La mayoría de las álgebras de Lie que ocurren naturalmente en característica p tienen esta estructura, porque el álgebra de Lie de un esquema de grupo sobre un cuerpo de característica p está restringida.

Definición

Sea un álgebra de Lie sobre un cuerpo k de característica p > 0. La representación adjunta de se define por para . Una función p - de es una función de a sí misma, , que satisface: ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle ({\text{ad }}X)(Y)=[X,Y]}$ ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X\mapsto X^{[p]}}$

• ${\displaystyle \mathrm {ad} (X^{[p]})=(\mathrm {ad} \;X)^{p}}$Para todos , ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$
• ${\displaystyle (tX)^{[p]}=t^{p}X^{[p]}}$para todos y , ${\displaystyle t\in k}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$
• ${\displaystyle (X+Y)^{[p]}=X^{[p]}+Y^{[p]}+\sum _{i=1}^{p-1}s_{i}(X,Y)}$para todos , donde es multiplicado por el coeficiente de en la expresión formal . ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle s_{i}(X,Y)}$ ${\displaystyle 1/i}$ ${\displaystyle t^{i-1}}$ ${\displaystyle (\mathrm {ad} \;tX+Y)^{p-1}(X)}$

Nathan Jacobson (1937) definió un álgebra de Lie restringida sobre k como un álgebra de Lie sobre k junto con una aplicación p . Se dice que un álgebra de Lie es restringible si tiene al menos una aplicación p . Por la primera propiedad anterior, en un álgebra de Lie restringida, la derivación de es interna para cada . De hecho, un álgebra de Lie es restringible si y solo si la derivación de es interna para cada . ^[2] ${\displaystyle (\mathrm {ad} \;X)^{p}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle (\mathrm {ad} \;X)^{p}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

Por ejemplo:

• Para p = 2, un álgebra de Lie restringida tiene . ${\displaystyle (X+Y)^{[2]}=X^{[2]}+[Y,X]+Y^{[2]}}$
• Para p = 3, un álgebra de Lie restringida tiene . Como en un cuerpo de característica 3, esto se puede reescribir como . ${\displaystyle (X+Y)^{[3]}=X^{[3]}+{\frac {1}{2}}[X,[Y,X]]+[Y,[Y,X]]+Y^{[3]}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}=-1}$ ${\displaystyle (X+Y)^{[3]}=X^{[3]}-[X,[Y,X]]+[Y,[Y,X]]+Y^{[3]}}$

Ejemplos

Para un álgebra asociativa A sobre un cuerpo k de característica p > 0, el conmutador y la aplicación p hacen que A sea un álgebra de Lie restringida. ^[1] En particular, tomar A como el anillo de matrices n x n muestra que el álgebra de Lie de matrices n x n sobre k es un álgebra de Lie restringida, siendo la aplicación p la p - ésima potencia de una matriz. Esto "explica" la definición de un álgebra de Lie restringida: se necesita la complicada fórmula para para expresar la p -ésima potencia de la suma de dos matrices sobre k , , dado que X e Y normalmente no conmutan. ${\displaystyle [X,Y]:=XY-YX}$ ${\displaystyle X^{[p]}:=X^{p}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ ${\displaystyle (X+Y)^{[p]}}$ ${\displaystyle (X+Y)^{p}}$

Sea A un álgebra sobre un cuerpo k . (Aquí A es un álgebra posiblemente no asociativa .) Entonces las derivaciones de A sobre k forman un álgebra de Lie , con el corchete de Lie siendo el conmutador, . Cuando k tiene característica p > 0, entonces iterar una derivación p veces produce una derivación, y esto se convierte en un álgebra de Lie restringida. ^[1] Si A tiene dimensión finita como un espacio vectorial, entonces es el álgebra de Lie del esquema de grupo de automorfismos de A sobre k ; eso indica por qué los espacios de derivaciones son una forma natural de construir álgebras de Lie. ${\displaystyle {\text{Der}}_{k}(A)}$ ${\displaystyle [D_{1},D_{2}]:=D_{1}D_{2}-D_{2}D_{1}}$ ${\displaystyle {\text{Der}}_{k}(A)}$ ${\displaystyle {\text{Der}}_{k}(A)}$

Sea G un esquema de grupo sobre un cuerpo k de característica p > 0, y sea el espacio tangente de Zariski en el elemento identidad de G . Entonces es un álgebra de Lie restringida sobre k . ^[3] Este es esencialmente un caso especial del ejemplo anterior. De hecho, cada elemento X de determina un cuerpo vectorial invariante por la izquierda en G , y por lo tanto una derivación invariante por la izquierda en el anillo de funciones regulares en G . La potencia p de esta derivación es nuevamente una derivación invariante por la izquierda, por lo tanto la derivación asociada a un elemento de . A la inversa, cada álgebra de Lie restringida de dimensión finita sobre k es el álgebra de Lie de un esquema de grupo. De hecho, es una equivalencia de categorías de esquemas de grupo finitos G de altura como máximo 1 sobre k (lo que significa que para todas las funciones regulares f en G que se anulan en el elemento identidad) a álgebras de Lie restringidas de dimensión finita sobre k . ^[4] ${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}$ ${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}$ ${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}$ ${\displaystyle X^{[p]}}$ ${\displaystyle \mathrm {Lie} (G)}$ ${\displaystyle G\mapsto \mathrm {Lie} (G)}$ ${\displaystyle f^{p}=0}$

En cierto sentido, esto significa que la teoría de Lie es menos poderosa en la característica positiva que en la característica cero. En la característica p > 0, el grupo multiplicativo (de dimensión 1) y su esquema de subgrupo finito tienen el mismo álgebra de Lie restringida, es decir, el espacio vectorial k con la aplicación p . De manera más general, el álgebra de Lie restringida de un esquema de grupo G sobre k solo depende del núcleo del homomorfismo de Frobenius en G , que es un esquema de subgrupo de altura como máximo 1. ^[5] Para otro ejemplo, el álgebra de Lie del grupo aditivo es el espacio vectorial k con la aplicación p igual a cero. El núcleo de Frobenius correspondiente es el esquema de subgrupo ${\displaystyle G_{m}}$ ${\displaystyle \mu _{p}=\{x\in G_{m}:x^{p}=1\}}$ ${\displaystyle a^{[p]}=a^{p}}$ ${\displaystyle G_{a}}$ ${\displaystyle \alpha _{p}=\{x\in G_{a}:x^{p}=0\}.}$

Para un esquema X sobre un cuerpo k de característica p > 0, el espacio de cuerpos vectoriales sobre X es un álgebra de Lie restringida sobre k . (Si X es afín , de modo que para un k -álgebra conmutativa A , ésta es el álgebra de Lie de derivaciones de A sobre k . En general, se puede pensar informalmente en ella como el álgebra de Lie del grupo de automorfismos de X sobre k .) Una acción de un esquema de grupo G sobre X determina un homomorfismo de álgebras de Lie restringidas. ^[6] ${\displaystyle H^{0}(X,TX)}$ ${\displaystyle X={\text{Spec}}(A)}$ ${\displaystyle H^{0}(X,TX)}$ ${\displaystyle {\text{Lie}}(G)\to H^{0}(X,TX)}$

La elección de unapag-cartografía

Dadas dos p -aplicaciones en un álgebra de Lie , su diferencia es una función p -lineal desde hasta el centro . ( p -linealidad significa que y .) Por lo tanto, si el centro de es cero, entonces es un álgebra de Lie restringida en como máximo un sentido. ^[2] En particular, este comentario se aplica a cualquier álgebra de Lie simple de característica p > 0. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle f(X+Y)=f(X)+f(Y)}$ ${\displaystyle f(tX)=t^{p}f(X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El álgebra envolvente restringida

El funtor que toma un álgebra asociativa A sobre k a A como un álgebra de Lie restringida tiene un adjunto izquierdo , llamado álgebra envolvente restringida . Para construir esto, sea el álgebra envolvente universal de sobre k (ignorando la p -aplicación de ). Sea I el ideal bilateral generado por los elementos para ; entonces el álgebra envolvente restringida es el anillo de cocientes . Satisface una forma del teorema de Poincaré–Birkhoff–Witt : si es una base para como un espacio vectorial k , entonces una base para está dada por todos los productos ordenados con para cada j . En particular, la aplicación es inyectiva, y si tiene dimensión n como un espacio vectorial, entonces tiene dimensión como un espacio vectorial. ^[7] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\mapsto u({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X^{p}-X^{[p]}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle u({\mathfrak {g}})=U({\mathfrak {g}})/I}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle u({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle e_{1}^{i_{1}}\cdots e_{n}^{i_{n}}}$ ${\displaystyle 0\leq i_{j}\leq p-1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to u({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle u({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle p^{n}}$

Una representación restringida V de un álgebra de Lie restringida es una representación de como un álgebra de Lie tal que para todos y . Las representaciones restringidas de son equivalentes a módulos sobre el álgebra envolvente restringida. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X^{[p]}(v)=X^{p}(v)}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Clasificación de álgebras de Lie simples

Las álgebras de Lie simples de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero fueron clasificadas por Wilhelm Killing y Élie Cartan en las décadas de 1880 y 1890, utilizando sistemas de raíces . Es decir, cada álgebra de Lie simple es de tipo A _n , B _n , C _n , D _n , E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ o G ₂ . ^[8] (Por ejemplo, el álgebra de Lie simple de tipo A _n es el álgebra de Lie de matrices ( n +1) x ( n +1) de traza cero). ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1)}$

En la característica p > 0, la clasificación de los grupos algebraicos simples es la misma que en la característica cero. Sus álgebras de Lie son simples en la mayoría de los casos, y por eso existen las álgebras de Lie simples A _n , B _n , C _n , D _n , E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ , G ₂ , llamadas (en este contexto) las álgebras de Lie simples clásicas . (Debido a que provienen de grupos algebraicos, las álgebras de Lie simples clásicas están restringidas.) Sorprendentemente, también existen muchas otras álgebras de Lie simples de dimensión finita en la característica p > 0. En particular, existen las álgebras de Lie simples de tipo Cartan , que son análogas de dimensión finita de las álgebras de Lie de dimensión infinita en la característica cero estudiadas por Cartan. Es decir, Cartan estudió el álgebra de Lie de campos vectoriales en una variedad suave de dimensión n , o la subálgebra de campos vectoriales que conservan una forma de volumen , una forma simpléctica o una estructura de contacto . En la característica p >0, las álgebras de Lie simples del tipo Cartan incluyen ejemplos tanto restringibles como no restringibles. ^[9]

Richard Earl Block y Robert Lee Wilson (1988) clasificaron las álgebras de Lie simples restringidas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica p > 7. Es decir, todas son de tipo clásico o de Cartan. Alexander Premet y Helmut Strade (2004) extendieron la clasificación a las álgebras de Lie que no necesitan ser restringidas, y a un rango más amplio de características. (En la característica 5, Hayk Melikyan encontró otra familia de álgebras de Lie simples.) Es decir, toda álgebra de Lie simple sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica p > 3 es de tipo clásico, de Cartan o de Melikyan. ^[10]

Correspondencia Galois de Jacobson

La correspondencia de Galois de Jacobson para extensiones de campo puramente inseparables se expresa en términos de álgebras de Lie restringidas.

Notas

1. Jacobson (1979), sección V.7; Strade y Farnsteiner (1988), sección 2.1.
2. Strade y Farnsteiner (1988), sección 2.2.
3. Jantzen (2003), sección I.7.10.
4. Demazure y Gabriel (1970), Proposición II.7.4.1; Jantzen (2003), Ejemplo I.8.5.
5. Jantzen (2003), sección I.9.6.
6. Demazure y Gabriel (1970), Proposición II.7.3.4.
7. Strade y Farnsteiner (1988), sección 2.5.
8. Jacobson (1979), sección IV.6.
9. Strade (2004), sección 4.2; Premet y Strade (2006), sección 3.
10. Strade (2004), pág. 7; Premet y Strade (2006), Teorema 7.

Referencias

• Block, Richard E. ; Wilson, Robert Lee (1988), "Clasificación de las álgebras de Lie simples restringidas", Journal of Algebra , 114 (1): 115–259, doi : 10.1016/0021-8693(88)90216-5 , ISSN  0021-8693, MR  0931904.
• Demazure, Michel ; Gabriel, Pierre (1970), Groupes algébriques. Tomo I: Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs , París: Masson, ISBN 978-2225616662, Sr.  0302656
• Jacobson, Nathan (1979) [1962], Álgebras de Lie , Dover Publications , ISBN 0-486-63832-4, Sr.  0559927
• Jantzen, Jens Carsten (2003) [1987], Representaciones de grupos algebraicos (2ª ed.), Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-3527-2, Sr.  2015057
• Premet, Alexander; Strade, Helmut (2006), "Clasificación de álgebras de Lie simples de dimensión finita en características de primos", Representaciones de grupos algebraicos, grupos cuánticos y álgebras de Lie , Contemporary Mathematics, vol. 413, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 185–214, arXiv : math/0601380 , MR  2263096
• Strade, Helmut; Farnsteiner, Rolf (1988), Álgebras modulares de Lie y sus representaciones , Marcel Dekker , ISBN 0-8247-7594-5, Sr.  0929682
• Strade, Helmut (2004), Álgebras de Lie simples sobre cuerpos de característica positiva , vol. 1, Walter de Gruyter , ISBN 3-11-014211-2, Sr.  2059133