grupo solucionable

Grupo con series subnormales donde todos los factores son abelianos.

En matemáticas , más específicamente en el campo de la teoría de grupos , un grupo soluble o grupo soluble es un grupo que puede construirse a partir de grupos abelianos usando extensiones . De manera equivalente, un grupo soluble es un grupo cuya serie derivada termina en el subgrupo trivial .

Motivación

Históricamente, la palabra "resoluble" surgió de la teoría de Galois y la prueba de la insolubilidad general de las ecuaciones quinticas . Específicamente, una ecuación polinómica se puede resolver en radicales si y solo si el grupo de Galois correspondiente se puede resolver ^[1] (tenga en cuenta que este teorema se cumple solo en la característica 0). Esto significa que asociado a un polinomio hay una torre de extensiones de campo. ${\displaystyle f\in F[x]}$

${\displaystyle F=F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq \cdots \subseteq F_{m}=K}$

tal que

1. ${\displaystyle F_{i}=F_{i-1}[\alpha _{i}]}$donde , también es una solución a la ecuación donde ${\displaystyle \alpha _{i}^{m_{i}}\in F_{i-1}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle x^{m_{i}}-a}$ ${\displaystyle a\in F_{i-1}}$
2. ${\displaystyle F_{m}}$contiene un campo de división para ${\displaystyle f(x)}$

Ejemplo

Por ejemplo, la extensión de campo de Galois más pequeña que contiene el elemento ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle a={\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}}$

da un grupo solucionable. Tiene extensiones de campo asociadas.

${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)}$

dando un grupo solucionable de extensiones de Galois que contienen los siguientes factores de composición :

• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}})} \right/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2}$con acción grupal y polinomio mínimo . ${\displaystyle f\left(\pm {\sqrt {2}}\right)=\mp {\sqrt {2}},\ f^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-2}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})} \right/\mathbb {Q({\sqrt {2}})} )\cong \mathbb {Z} /2}$con acción grupal y polinomio mínimo . ${\displaystyle g\left(\pm {\sqrt {3}}\right)=\mp {\sqrt {3}},\ g^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-3}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\right)\cong \mathbb {Z} /4}$con acción grupal y polinomio mínimo que contiene las raíces quintas ^de la unidad excluyendo . ${\displaystyle h^{n}\left(e^{2im\pi /5}\right)=e^{2(n+1)mi\pi /5},\ 0\leq n\leq 3,\ h^{4}=1}$ ${\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=(x^{5}-1)/(x-1)}$ ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\right)\cong \mathbb {Z} /5}$con acción grupal y polinomio mínimo . ${\displaystyle j^{l}(a)=e^{2li\pi /5}a,\ j^{5}=1}$ ${\displaystyle x^{5}-\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}$

, donde está la permutación de identidad. Todas las acciones del grupo que definen cambian una sola extensión mientras mantienen todas las demás extensiones fijas. Por ejemplo, un elemento de este grupo es la acción grupal . Un elemento general del grupo se puede escribir como si tuviera un total de 80 elementos. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle fgh^{3}j^{4}}$ ${\displaystyle f^{a}g^{b}h^{n}j^{l},\ 0\leq a,b\leq 1,\ 0\leq n\leq 3,\ 0\leq l\leq 4}$

Vale la pena señalar que este grupo no es abeliano en sí mismo. Por ejemplo:

${\displaystyle hj(a)=h(e^{2i\pi /5}a)=e^{4i\pi /5}a}$

${\displaystyle jh(a)=j(a)=e^{2i\pi /5}a}$

De hecho, en este grupo, . El grupo soluble es isométrico y se define utilizando el producto semidirecto y el producto directo de los grupos cíclicos . En el grupo solucionable, no es un subgrupo normal. ${\displaystyle jh=hj^{3}}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} _{5}\rtimes _{\varphi }\mathbb {C} _{4})\times (\mathbb {C} _{2}\times \mathbb {C} _{2}),\ \mathrm {where} \ \varphi _{h}(j)=hjh^{-1}=j^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{4}}$

Definición

Un grupo G se dice resoluble si tiene una serie subnormal cuyos grupos de factores (grupos cocientes) son todos abelianos , es decir, si hay subgrupos

${\displaystyle 1=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft G_{k}=G}$

lo que significa que G _{j −1} es normal en G _j , tal que G _j  / G _{j −1} es un grupo abeliano, para j = 1, 2, ..., k .

O de manera equivalente, si su serie derivada , la serie normal descendente

${\displaystyle G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots ,}$

donde cada subgrupo es el subgrupo conmutador del anterior, eventualmente llega al subgrupo trivial de G . Estas dos definiciones son equivalentes, ya que para cada grupo H y cada subgrupo normal N de H , el cociente H / N es abeliano si y sólo si N incluye el subgrupo conmutador de H. El mínimo n tal que G ^{( n )} = 1 se llama longitud derivada del grupo soluble G .

Para grupos finitos, una definición equivalente es que un grupo soluble es un grupo con una serie de composición, todos cuyos factores son grupos cíclicos de orden primo . Esto es equivalente porque un grupo finito tiene una longitud de composición finita y todo grupo abeliano simple es cíclico de orden primo. El teorema de Jordan-Hölder garantiza que si una serie de composición tiene esta propiedad, todas las series de composición también la tendrán. Para el grupo de Galois de un polinomio, estos grupos cíclicos corresponden a n- ésimas raíces (radicales) sobre algún campo . La equivalencia no es necesariamente válida para grupos infinitos: por ejemplo, dado que cada subgrupo no trivial del grupo Z de números enteros bajo la suma es isomorfo al propio Z , no tiene ninguna serie de composición, sino la serie normal {0, Z }, con su único grupo de factores isomorfo a Z , demuestra que, de hecho, tiene solución.

Ejemplos

Grupos abelianos

El ejemplo básico de grupos solubles son los grupos abelianos. Son trivialmente solucionables ya que una serie subnormal está formada solo por el grupo mismo y el grupo trivial. Pero los grupos no abelianos pueden tener solución o no.

Grupos nilpotentes

De manera más general, todos los grupos nilpotentes tienen solución. En particular, los grupos p finitos tienen solución, ya que todos los grupos p finitos son nilpotentes.

Grupos de cuaterniones

En particular, el grupo cuaternión es un grupo solucionable dado por la extensión del grupo

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} /2\to Q\to \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2\to 1}$

donde el núcleo es el subgrupo generado por . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle -1}$

Extensiones de grupo

Las extensiones de grupo forman los ejemplos prototípicos de grupos solubles. Es decir, si y son grupos solubles, entonces cualquier extensión ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G'}$

${\displaystyle 1\to G\to G''\to G'\to 1}$

define un grupo solucionable . De hecho, todos los grupos solubles pueden formarse a partir de dichas extensiones de grupo. ${\displaystyle G''}$

Grupo no abeliano que no es nilpotente

Un pequeño ejemplo de un grupo no nilpotente con solución es el grupo simétrico S ₃ . De hecho, como el grupo no abeliano simple más pequeño es A ₅ (el grupo alterno de grado 5), se deduce que todo grupo con orden menor que 60 tiene solución.

Grupos finitos de orden impar

El teorema de Feit-Thompson establece que todo grupo finito de orden impar tiene solución. En particular, esto implica que si un grupo finito es simple, es un cíclico primo o de orden par.

Sin ejemplo

El grupo S ₅ no tiene solución: tiene una serie de composición {E, A ₅ , S ₅ } (y el teorema de Jordan-Hölder establece que todas las demás series de composición son equivalentes a esa), lo que da grupos de factores isomorfos a A ₅ y C2 ;_​ y A ₅ no es abeliano. Al generalizar este argumento, junto con el hecho de que An es un subgrupo simple normal, máximo y no abeliano de S _n para n > 4, vemos que S _n no tiene solución para n > 4. Este es un paso clave en el proceso _. prueba de que por cada n > 4 hay polinomios de grado n que no se pueden resolver mediante radicales ( teorema de Abel-Ruffini ). Esta propiedad también se utiliza en la teoría de la complejidad en la demostración del teorema de Barrington .

Subgrupos de GL 2

Considere los subgrupos

${\displaystyle B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*\\0&*\end{bmatrix}}\right\}{\text{, }}U=\left\{{\begin{bmatrix}1&*\\0&1\end{bmatrix}}\right\}}$de ${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {F} )}$

para algún campo . Luego, el cociente de grupo se puede encontrar tomando elementos arbitrarios en , multiplicándolos y averiguando qué estructura da esto. Entonces ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle B/U}$ ${\displaystyle B,U}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&ad+b\\0&c\end{bmatrix}}}$

Tenga en cuenta que la condición determinante implica , por lo tanto, es un subgrupo (que son las matrices donde ). Para fijo , la ecuación lineal implica , que es un elemento arbitrario en desde . Ya que podemos tomar cualquier matriz y multiplicarla por la matriz ${\displaystyle GL_{2}}$ ${\displaystyle ac\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\subset B}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle ad+b=0}$ ${\displaystyle d=-b/a}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle b\in \mathbb {F} }$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}}$

con , podemos obtener una matriz diagonal en . Esto muestra el grupo cociente . ${\displaystyle d=-b/a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B/U\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }}$

Observación

Tenga en cuenta que esta descripción proporciona la descomposición de as donde actúa por . Esto implica . Además, una matriz de la forma ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {F} \rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })}$ ${\displaystyle (a,c)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,c)(b)=ab}$ ${\displaystyle (a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}}$

Corresponde al elemento del grupo. ${\displaystyle (b)\times (a,c)}$

Subgrupos de Borel

Para un grupo algebraico lineal , un subgrupo de Borel se define como un subgrupo que está cerrado, conectado y solucionable en , y es un subgrupo máximo posible con estas propiedades (tenga en cuenta que las dos primeras son propiedades topológicas). Por ejemplo, en y los grupos de matrices triangulares superiores o triangulares inferiores son dos de los subgrupos de Borel. El ejemplo dado anteriormente, el subgrupo en , es un subgrupo de Borel. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle GL_{n}}$ ${\displaystyle SL_{n}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle GL_{2}}$

Subgrupo Borel en GL ₃

Allí están los subgrupos. ${\displaystyle GL_{3}}$

${\displaystyle B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}U_{1}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*\\0&1&*\\0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

Aviso , por lo tanto el grupo Borel tiene la forma ${\displaystyle B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }}$

${\displaystyle U\rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })}$

Subgrupo de Borel en producto de grupos algebraicos lineales simples

En el grupo de productos, el subgrupo Borel se puede representar mediante matrices de la forma ${\displaystyle GL_{n}\times GL_{m}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T&0\\0&S\end{bmatrix}}}$

donde es una matriz triangular superior y es una matriz triangular superior. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m\times m}$

grupos Z

Cualquier grupo finito cuyos subgrupos p -Sylow sean cíclicos es un producto semidirecto de dos grupos cíclicos, en particular soluble. Estos grupos se denominan grupos Z.

valores OEIS

Los números de grupos solubles con orden n son (comience con n = 0)

0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, 2, 2, 1, 15, 2, 2, 5, 4, 1, 4, 1, 51, 1, 2, 1, 14, 1, 2, 2, 14, 1, 6, 1, 4, 2, 2, 1, 52, 2, 5, 1, 5, 1, 15, 2, 13, 2, 2, 1, 12, 1, 2, 4, 267, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 50, ... ( secuencia A201733 en el OEIS )

Los pedidos de grupos no solubles son

60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, 504, 540, 600, 660, 672, 720, 780, 840, 900, 960, 1008, 1020, 1080, 1092, 1140, 1176, 1200, 1260, 1320, 1344, 1380, 1440, 1500, ... (secuencia A056866 en el OEIS )

Propiedades

La solvencia está cerrada bajo una serie de operaciones.

• Si G tiene solución y H es un subgrupo de G , entonces H tiene solución. ^[2]
• Si G tiene solución y hay un homomorfismo de G en H , entonces H tiene solución; de manera equivalente (según el primer teorema del isomorfismo ), si G tiene solución y N es un subgrupo normal de G , entonces G / N tiene solución. ^[3]
• Las propiedades anteriores se pueden ampliar a la siguiente propiedad "tres por el precio de dos": G tiene solución si y sólo si tanto N como G / N tienen solución.
• En particular, si G y H tienen solución, el producto directo G × H tiene solución.

La solvencia está cerrada bajo extensión de grupo :

• Si H y G / H son solucionables, entonces también lo es G ; en particular, si N y H son solubles, su producto semidirecto también lo es.

También se cierra bajo corona el producto:

• Si G y H tienen solución, y X es un conjunto G , entonces el producto corona de G y H con respecto a X también tiene solución.

Para cualquier entero positivo N , los grupos solubles de longitud derivada como máximo N forman una subvariedad de la variedad de grupos, ya que están cerrados bajo la toma de imágenes homomórficas , subálgebras y productos (directos) . El producto directo de una secuencia de grupos solubles con longitud derivada ilimitada no tiene solución, por lo que la clase de todos los grupos solubles no es una variedad.

teorema de burnside

El teorema de Burnside establece que si G es un grupo finito de orden p ^a q ^b donde p y q son números primos , y a y b son enteros no negativos , entonces G tiene solución.

Conceptos relacionados

Grupos supersolubles

Como refuerzo de la solubilidad, un grupo G se denomina supersoluble (o supersoluble ) si tiene una serie normal invariante cuyos factores son todos cíclicos. Dado que una serie normal tiene una longitud finita por definición, los grupos incontables no son supersolubles. De hecho, todos los grupos supersolubles se generan de forma finita , y un grupo abeliano es supersoluble si y sólo si se genera de forma finita. El grupo alterno A ₄ es un ejemplo de un grupo finito soluble que no es supersoluble.

Si nos limitamos a grupos generados finitamente, podemos considerar la siguiente disposición de clases de grupos:

cíclico < abeliano < nilpotente < supersoluble < policíclico < soluble < grupo finitamente generado .

Grupos prácticamente solucionables

Un grupo G se dice que tiene solución virtual si tiene un subgrupo con solución de índice finito. Esto es similar a prácticamente abeliano . Claramente, todos los grupos que tienen solución lo son virtualmente, ya que uno puede simplemente elegir el grupo en sí, que tiene el índice 1.

hipoabeliano

Un grupo resoluble es aquel cuya serie derivada llega al subgrupo trivial en una etapa finita . Para un grupo infinito, la serie derivada finita puede no estabilizarse, pero la serie derivada transfinita siempre se estabiliza. Un grupo cuya serie derivada transfinita llega al grupo trivial se llama grupo hipoabeliano , y todo grupo soluble es un grupo hipoabeliano. El primer ordinal α tal que G ^{( α )} = G ^{( α +1)} se llama longitud derivada (transfinita) del grupo G , y se ha demostrado que cada ordinal es la longitud derivada de algún grupo (Malcev 1949).

p-soluble

Un grupo finito tiene solución p para algún primo p si cada factor en la serie de composición es un grupo p o tiene orden primo con respecto a p. Un grupo finito tiene solución si y solo tiene solución p para cada p. ^[4]

Ver también

• grupo solucionable

Notas

1. Milne. Teoría de campo (PDF) . pag. 45.
2. Rotman (1995), Teorema 5.15 , pág. 102, en libros de Google
3. Rotman (1995), Teorema 5.16 , pág. 102, en libros de Google
4. "p-grupos-solubles". Wiki de accesorios de grupo .

Referencias

• Malcev, AI (1949), "Álgebras nilpotentes generalizadas y sus grupos asociados", Mat. Sbornik , nueva serie, 25 (67): 347–366, SEÑOR  0032644
• Rotman, Joseph J. (1995), Introducción a la teoría de grupos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 148 (4 ed.), Springer, ISBN 978-0-387-94285-8

enlaces externos

• Secuencia OEIS A056866 (Órdenes de grupos no solubles)
• Grupos solubles como extensiones iteradas