En matemáticas , una representación en serie discreta es una representación unitaria irreducible de un grupo topológico localmente compacto G que es una subrepresentación de la representación regular izquierda de G en L²( G ). En la medida de Plancherel , tales representaciones tienen medida positiva. El nombre proviene del hecho de que son exactamente las representaciones que ocurren discretamente en la descomposición de la representación regular.
Si G es unimodular , una representación unitaria irreducible ρ de G está en la serie discreta si y sólo si un (y por tanto todos) coeficiente matricial
con v , w vectores distintos de cero es integrable al cuadrado en G , con respecto a la medida de Haar .
Cuando G es unimodular, la representación de la serie discreta tiene una dimensión formal d , con la propiedad de que
para v , w , x , y en la representación. Cuando G es compacto, esto coincide con la dimensión cuando la medida de Haar en G se normaliza para que G tenga medida 1.
Harish-Chandra (1965, 1966) clasificó las representaciones en series discretas de grupos semisimples conectados G. En particular, dicho grupo tiene representaciones en series discretas si y sólo si tiene el mismo rango que un subgrupo compacto máximo K. En otras palabras, un toro máximo T en K debe ser un subgrupo de Cartan en G. (Este resultado requería que el centro de G fuera finito, descartando grupos como la cubierta simplemente conexa de SL(2, R ).) Se aplica en particular a grupos lineales especiales ; de estos sólo SL(2, R ) tiene una serie discreta (para esto, ver la teoría de representación de SL(2, R ) ).
La clasificación de Harish-Chandra de las representaciones en series discretas de un grupo de Lie conectado semisimple se proporciona a continuación. Si L es la red de pesos del toro máximo T , una subred del mismo donde t es el álgebra de Lie de T , entonces hay una representación en serie discreta para cada vector v de
donde ρ es el vector de Weyl de G , que no es ortogonal a ninguna raíz de G. Toda representación en serie discreta ocurre de esta manera. Dos de estos vectores v corresponden a la misma representación de serie discreta si y solo si son conjugados bajo el grupo de Weyl W K del subgrupo compacto máximo K. Si fijamos una cámara fundamental para el grupo Weyl de K , entonces la representación de la serie discreta está en correspondencia 1:1 con los vectores de L + ρ en esta cámara de Weyl que no son ortogonales a ninguna raíz de G. El carácter infinitesimal de la representación de mayor peso viene dado por v (mod el grupo Weyl W G de G ) bajo la correspondencia Harish-Chandra que identifica caracteres infinitesimales de G con puntos de
Entonces, para cada representación de serie discreta, hay exactamente
representaciones de series discretas con el mismo carácter infinitesimal.
Harish-Chandra pasó a demostrar un análogo de estas representaciones de la fórmula del carácter de Weyl . En el caso en que G no es compacto, las representaciones tienen dimensión infinita y, por tanto, la noción de carácter es más sutil de definir ya que se trata de una distribución de Schwartz (representada por una función localmente integrable), con singularidades.
El carácter viene dado en el toro máximo T por
Cuando G es compacto, esto se reduce a la fórmula del carácter de Weyl, con v = λ + ρ para λ el peso más alto de la representación irreducible (donde el producto está sobre las raíces α que tienen un producto interno positivo con el vector v ).
El teorema de regularidad de Harish-Chandra implica que el carácter de una representación en serie discreta es una función localmente integrable en el grupo.
Los puntos v en la clase lateral L + ρ ortogonales a raíces de G no corresponden a representaciones de series discretas, pero los no ortogonales a raíces de K están relacionados con ciertas representaciones irreducibles llamadas límite de representaciones de series discretas . Existe tal representación para cada par ( v , C ) donde v es un vector de L + ρ ortogonal a alguna raíz de G pero no ortogonal a cualquier raíz de K correspondiente a una pared de C , y C es una cámara de Weyl de G que contiene v . (En el caso de representaciones de series discretas, solo hay una cámara de Weyl que contiene v, por lo que no es necesario incluirla explícitamente). Dos pares ( v , C ) dan el mismo límite de representación de series discretas si y solo si son conjugados bajo el grupo Weyl de K . Al igual que para las representaciones de series discretas, v da el carácter infinitesimal. Hay como máximo | W G |/| WK | límite de representaciones de series discretas con cualquier carácter infinitesimal dado.
El límite de las representaciones de series discretas son representaciones templadas , lo que significa aproximadamente que simplemente no logran ser representaciones de series discretas.
La construcción original de Harish-Chandra de la serie discreta no fue muy explícita. Posteriormente, varios autores encontraron realizaciones más explícitas de la serie discreta.
