En matemáticas , el rango real de un álgebra C* es un análogo no conmutativo de la dimensión de cobertura de Lebesgue . La noción fue introducida por primera vez por Lawrence G. Brown y Gert K. Pedersen. [1]
El rango real de un álgebra C* unital A es el entero no negativo más pequeño n , denotado RR( A ), tal que para cada ( n + 1)-tupla ( x 0 , x 1 , ... , x n ) de elementos autoadjuntos de A y cada ε > 0, existe una ( n + 1)-tupla ( y 0 , y 1 , ... , y n ) de elementos autoadjuntos de A tal que es invertible y . Si no existe tal número entero, entonces el rango real de A es infinito. El rango real de un álgebra C* no unital se define como el rango real de su unitalización.
Si X es un espacio de Hausdorff localmente compacto , entonces RR( C 0 ( X )) = dim( X ), donde dim es la dimensión de cobertura de Lebesgue de X . Como resultado, el rango real se considera una generalización no conmutativa de dimensión, pero el rango real puede ser bastante diferente en comparación con la dimensión. Por ejemplo, la mayoría de los toros no conmutativos tienen rango real cero, a pesar de ser una versión no conmutativa del toro bidimensional . Para espacios de Hausdorff localmente compactos, ser de dimensión cero equivale a estar totalmente desconectado . La relación análoga falla para las álgebras C*; mientras que las álgebras AF tienen rango real cero, lo contrario es falso. Es posible que las fórmulas que son válidas para la dimensión no se generalicen para el rango real. Por ejemplo, Brown y Pedersen conjeturaron que RR( A ⊗ B ) ≤ RR( A ) + RR( B ), ya que es cierto que dim( X × Y ) ≤ dim( X ) + dim( Y ). Demostraron un caso especial de que si A es AF y B tiene rango real cero, entonces A ⊗ B tiene rango real cero. Pero en general su conjetura es falsa, existen C*-álgebras A y B con rango real cero tales que A ⊗ B tiene rango real mayor que cero. [2]
Las álgebras C* con rango real cero son de particular interés. Por definición, un álgebra C* unital tiene rango real cero si y sólo si los elementos autoadjuntos invertibles de A son densos en los elementos autoadjuntos de A. Esta condición es equivalente a las condiciones previamente estudiadas:
Esta equivalencia se puede utilizar para dar muchos ejemplos de álgebras C* con rango real cero, incluidas las álgebras AW* , las álgebras de Bunce-Deddens , [3] y las álgebras de von Neumann . En términos más generales, las álgebras C* unitales puramente infinitas simples tienen rango cero real, incluidas las álgebras de Cuntz y las álgebras de Cuntz-Krieger. Dado que las álgebras C* de gráficos simples son AF o puramente infinitas, cada álgebra C* de gráficos simples tiene rango real cero.
Tener rango cero real es una propiedad cerrada bajo límites directos , subálgebras C* hereditarias y una fuerte equivalencia de Morita . En particular, si A tiene rango real cero, entonces M n ( A ), el álgebra de matrices n × n sobre A , tiene rango real cero para cualquier número entero n ≥ 1.
