Formalismo RNS

Enfoque de cuantificación de supercuerdas

En teoría de cuerdas , el formalismo de Ramond–Neveu–Schwarz (RNS) es un enfoque para formular supercuerdas en el que la hoja del mundo tiene invariancia superconforme explícita pero la supersimetría del espacio-tiempo está oculta, en contraste con el formalismo de Green–Schwarz donde este último es explícito. Fue desarrollado originalmente por Pierre Ramond , André Neveu y John Schwarz en el modelo RNS en 1971, ^{[1] [2]} que da lugar a teorías de cuerdas de tipo II y también puede dar lugar a la teoría de cuerdas de tipo I. Las teorías de cuerdas heteróticas también se pueden adquirir a través de este formalismo utilizando una acción de hoja del mundo diferente. Hay varias formas de cuantificar la cuerda dentro de este marco, incluida la cuantificación de cono de luz , la cuantificación canónica antigua y la cuantificación BRST . Una teoría de cuerdas consistente solo se adquiere si el espectro de estados se restringe a través de un procedimiento conocido como proyección GSO , ^[3] con esta proyección estando automáticamente presente en el formalismo de Green–Schwarz.

Historia

El descubrimiento de la amplitud de Veneziano que describe la dispersión de cuatro mesones en 1968 inició el estudio de modelos de resonancia dual que generalizaron estas amplitudes de dispersión a la dispersión con cualquier número de mesones. ^{[4] [5]} Si bien estas son teorías de matriz S en lugar de teorías cuánticas de campos , Yoichiro Nambu , Holger Bech Nielsen y Leonard Susskind les dieron una interpretación de cuerdas, mediante la cual los mesones se comportan como cuerdas de longitud finita.

En 1970, Pierre Ramond trabajaba en Yale intentando extender los modelos de resonancia dual para incluir grados de libertad fermiónicos a través de una generalización de la ecuación de Dirac . ^[2] Esto lo llevó a construir la primera superálgebra , la superálgebra de Ramond. Al mismo tiempo, Andre Neveu y John Schwarz trabajaban en Princeton para extender los modelos de resonancia dual existentes añadiéndoles operadores de creación y aniquilación anticonmutantes . Esto dio lugar originalmente a un modelo que contenía solo bosones . Poco después de su segundo artículo sobre este tema, se dieron cuenta de que su modelo se puede combinar con el modelo fermiónico de Ramond, lo que hicieron con éxito para dar lugar al modelo Ramond–Neveu–Schwarz (RNS), conocido en ese momento como el modelo de piones duales. ^{[1] [6]}

Este trabajo se realizó teniendo en mente únicamente la física hadrónica , sin referencia a cuerdas, hasta 1974, cuando Stanley Mandelstam reinterpretó el modelo RNS como un modelo para cuerdas giratorias. Joël Scherk y John Schwartz fueron los primeros en sugerir que podría describir partículas elementales en lugar de solo hadrones cuando demostraron que la partícula de espín -2 del modelo se comporta como un gravitón . ^[7]

En ese momento, el principal problema con el modelo RNS era que contenía un taquión como el estado de energía más bajo . Fue recién en 1976, con la introducción de la proyección GSO por parte de Ferdinando Gliozzi , Joël Scherk y David Olive , que se construyeron las primeras teorías de cuerdas consistentes sin taquiones. ^[3]

Descripción general

El formalismo RNS es un enfoque para cuantificar una cuerda trabajando con la hoja del mundo de cuerdas incrustada en el espacio-tiempo con campos bosónicos y fermiónicos en la hoja del mundo. Hay varios enfoques diferentes para cuantificar la cuerda en este formalismo. Los principales son la cuantificación covariante antigua, la cuantificación de cono de luz ^[8] y la cuantificación BRST a través de la integral de trayectoria [ ^{9] [10]} El último enfoque comienza con la función de partición euclidiana

${\displaystyle Z=\int {\frac {1}{V_{G}}}[{\mathcal {D}}\ {\text{fields}}]e^{-S},}$

donde es la acción de la hoja del mundo con algún grupo de simetría de calibre que representa un recuento excesivo de las configuraciones físicamente distintas de los campos de los que depende la acción . Este recuento excesivo se elimina dividiendo por el volumen del grupo de calibre . La cuantificación BRST procede fijando el calibre de la integral de trayectoria a través del procedimiento de Fadeev–Popov , lo que da lugar a una acción fantasma además de la acción ahora fijada por el calibre. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V_{G}}$

El modelo RNS se origina a partir del uso de la acción de supergravedad que, al fijar el calibre, da lugar a la acción RNS junto con una acción fantasma que describe fantasmas holomorfos y antiholomorfos que son necesarios para eliminar las excitaciones temporales no físicas de los campos. Los estados físicos de esta teoría se dividen en varios sectores dependiendo de la condición de periodicidad de los campos fermiónicos . La teoría completa es inconsistente y contiene un taquión no físico, sin embargo, la proyección de varios de estos sectores puede dar lugar a teorías consistentes libres de taquiones. En particular, el modelo RNS da lugar a la teoría de cuerdas de tipo IIA y tipo IIB para cuerdas cerradas, mientras que la combinación de la cuerda abierta con una versión modificada de la cuerda IIB da lugar a la teoría de cuerdas de tipo I. En cambio, al comenzar a partir de una acción de supergravedad se dan lugar a teorías de cuerdas heteróticas. ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (1,0)}$

Álgebras de restricción

Una forma de clasificar todas las posibles teorías de cuerdas que pueden construirse utilizando este formalismo es observar las posibles álgebras de simetría residual que pueden surgir. Es decir, la fijación de calibre no siempre fija por completo toda la simetría de calibre, sino que puede dejar atrás alguna simetría residual no fija cuya acción mantiene inalterada la acción fija de calibre. El álgebra correspondiente a esta simetría residual se conoce como álgebra de restricciones . Para dar lugar a una teoría física, esta álgebra debe imponerse en el espacio de Hilbert proyectando estados no deseados. Los estados físicos son los que son aniquilados por la acción de esta álgebra sobre esos estados.

Por ejemplo, en la teoría de cuerdas bosónicas, la simetría de Weyl difeomorfista original se descompone en una simetría conforme residual , dando lugar al álgebra conforme cuyo generador es el tensor de tensión-energía . Los estados físicos , son entonces aquellos para los que . ^[11] De manera similar, la fijación de calibre de la acción de la supergravedad hasta la acción RNS deja atrás un álgebra superconforme residual . ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle T^{ab}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi '\rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |T^{ab}|\psi '\rangle =0}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (1,1)}$

Las condiciones físicas como la unitaridad y un número positivo de dimensiones espaciales limitan el número de álgebras de restricción admisibles. ^[12] Además del álgebra conforme y el álgebra superconforme, las otras álgebras permitidas son las álgebras , y superconformes. La primera de ellas da lugar a teorías de cuerdas heteróticas, mientras que las otras dos dan lugar a teorías consistentes pero menos interesantes físicamente en dimensiones bajas. La teoría de cuerdas topológica no se encuentra en esta clasificación porque para ella el teorema de estadística de espín no se cumple en el calibre conforme que se requería en el argumento completo. ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle (1,2)}$ ${\displaystyle (0,2)}$

Acción RNS

Una hoja del mundo de cuerdas es una superficie bidimensional que se puede parametrizar mediante dos coordenadas donde describe el tiempo euclidiano mientras que parametriza la cuerda en una instancia en el tiempo. Para cuerdas cerradas mientras que para cuerdas abiertas . A menudo se emplean otros dos sistemas de coordenadas, que son las coordenadas complejas definidas por o las coordenadas definidas por . Para este último, una cuerda en un punto dado en el tiempo es un círculo alrededor del origen en el plano complejo , con radios más pequeños que corresponden a tiempos anteriores. ${\displaystyle (\sigma _{1},\sigma _{2})}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}\sim \sigma _{1}+2\pi }$ ${\displaystyle \sigma _{1}\in [0,\pi ]}$ ${\displaystyle (w,{\bar {w}})}$ ${\displaystyle w=\sigma _{1}+i\sigma _{2}}$ ${\displaystyle (z,{\bar {z}})}$ ${\displaystyle z=e^{-iw}}$

El modelo RNS se forma utilizando una teoría de campo superconforme en la hoja del mundo de cuerdas con una acción de la forma ${\displaystyle (1,1)}$

${\displaystyle S_{\text{RNS}}={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}z{\bigg (}{\frac {2}{\alpha '}}\partial X^{\mu }{\bar {\partial }}X_{\mu }+\psi ^{\mu }{\bar {\partial }}\psi _{\mu }+{\tilde {\psi }}^{\mu }\partial {\tilde {\psi }}_{\mu }{\bigg )},}$

donde y son campos fermiónicos anticonmutadores holomorfos y antiholomorfos y son campos bosónicos. ^[12] Estos campos bosónicos tienen una interpretación física como las coordenadas de la hoja del mundo de cuerdas incrustada en el espacio-tiempo, con recorrido por el número de dimensiones del espacio-tiempo. Para la teoría de supercuerdas en el espacio-tiempo plano, la consistencia de la teoría requiere exactamente diez dimensiones. Las derivadas parciales son derivadas en coordenadas complejas y . ${\displaystyle \psi ^{\mu }(z)}$ ${\displaystyle {\tilde {\psi }}^{\mu }({\bar {z}})}$ ${\displaystyle X^{\mu }(z,{\bar {z}})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \partial =\partial _{z}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}=\partial _{\bar {z}}}$

Los operadores se pueden clasificar según su comportamiento bajo un reescalamiento rígido . Si se transforman como se dice que tienen peso . Los pesos de los dos campos fermiónicos son y mientras que el de los campos bosónicos es . El tensor de energía-tensión holomorfo tiene peso y está dado por ${\displaystyle z'=\zeta z}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'(z',{\bar {z}}')=\zeta ^{-h}{\bar {\zeta }}^{-{\tilde {h}}}{\mathcal {O}}(z,{\bar {z}})}$ ${\displaystyle (h,{\tilde {h}})}$ ${\displaystyle (1/2,0)}$ ${\displaystyle (0,1/2)}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (2,0)}$

${\displaystyle T_{B}(z)=-{\frac {1}{\alpha '}}\partial X^{\mu }\partial X_{\mu }-{\frac {1}{2}}\psi ^{\mu }\partial \psi _{\mu }.}$

La presencia de supersimetría de la capa del mundo da lugar a supercorrientes de la capa del mundo, donde la supercorriente holomorfa tiene peso y está dada por ${\displaystyle (3/2,0)}$

${\displaystyle T_{F}(z)=i{\sqrt {2/\alpha '}}\psi ^{\mu }(z)\partial X_{\mu }(z).}$

Cualquier operador holomorfo con peso puede expandirse como una serie de Laurent ${\displaystyle {\mathcal {O}}(z)}$ ${\displaystyle (h,0)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} +\nu }{\frac {{\mathcal {O}}_{n}}{z^{n+h}}},}$

donde se conocen como los modos y o dependiendo de si el operador es periódico o antiperiódico, respectivamente. El tensor de tensión-energía holomorfo y la supercorriente holomorfo forman juntos un álgebra cerrada conocida como el superálgebra de Virasoro . Usando una expansión de modo donde los modos del tensor de tensión están dados por y los modos de la supercorriente por , el álgebra toma la forma ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$ ${\displaystyle \nu =0}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle G_{r}}$

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {c}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m,-n},}$

${\displaystyle \{G_{r},G_{s}\}=2L_{r+s}+{\frac {c}{12}}(4r^{2}-1)\delta _{r,-s},}$

${\displaystyle [L_{m},G_{r}]={\frac {m-2r}{2}}G_{m+r},}$

donde es la carga central . El álgebra a veces se denomina álgebra de Ramond cuando , son números enteros y álgebra de Neveu-Schwarz cuando son semienteros. Para las cadenas cerradas hay dos copias de esta álgebra, una para el lado holomorfo y otra para el antiholomorfo, mientras que para las cadenas abiertas solo hay una copia. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$

Sectores Ramond y Neveu-Schwarz

Las cuerdas cerradas son periódicas en su dirección espacial, una periodicidad que debe ser respetada por los campos que viven en la hoja del universo. Una teoría invariante de Poincaré debe tener periodicidad . Para los campos fermiónicos, la invariancia de Lorentz permite dos posibles condiciones de contorno : periódicas o antiperiódicas , con una condición análoga para los campos antiholomórficos. Esto se puede resumir de forma concisa como ${\displaystyle X^{\mu }(\sigma _{1},\sigma _{2})}$ ${\displaystyle \psi ^{\mu }(\sigma _{1}+2\pi ,\sigma _{2})=\pm \psi ^{\mu }(\sigma _{1},\sigma _{2})}$

${\displaystyle \psi ^{\mu }(w+2\pi )=e^{2\pi i\nu }\psi ^{\mu }(w),\ \ \ \ \ \ \ \ {\tilde {\psi }}^{\mu }({\bar {w}}+2\pi )=e^{-2\pi i{\tilde {\nu }}}{\tilde {\psi }}^{\mu }({\bar {w}}),}$

donde y son independientes entre sí y son o bien . El caso periódico ( ) se conoce como condición de contorno de Ramond (R) y el caso antiperiódico ( ) se conoce como condición de contorno de Neveu–Schwarz (NS) . Esto da cuatro formas posibles de poner fermiones en la cuerda cerrada, dando lugar a cuatro sectores en el espacio de Hilbert, los sectores NS–NS, NS–R, R–NS y R–R. La periodicidad de las supercorrientes se hereda de la periodicidad de los fermiones. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\tilde {\nu }}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle \nu =0}$ ${\displaystyle \nu =1/2}$

Para cuerdas abiertas, la condición de contorno requiere que el término de superficie en las ecuaciones de movimiento se desvanezca, lo que impone las restricciones

${\displaystyle \psi ^{\mu }(0,\sigma ^{2})=e^{2\pi i\nu }{\tilde {\psi }}^{\mu }(0,\sigma ^{2}),\ \ \ \ \ \ \ \psi ^{\mu }(\pi ,\sigma ^{2})={\tilde {\psi }}^{\mu }(\pi ,\sigma ^{2}).}$

Por lo tanto, solo hay dos sectores para las cadenas abiertas, el sector R y el sector NS. A menudo es conveniente combinar los dos campos en un solo campo con un rango extendido definido de acuerdo con ${\displaystyle 0\leq \sigma ^{1}\leq 2\pi }$

${\displaystyle \psi ^{\mu }(\sigma ^{1},\sigma ^{2})={\tilde {\psi }}^{\mu }(2\pi -\sigma ^{1},\sigma ^{2}),}$

donde ahora los sectores R y NS corresponden a una condición de periodicidad o antiperiodicidad en este campo extendido.

Espectros

El espacio de Hilbert del sector R y del sector NS se determina considerando los modos y de los campos fermiónicos. ^[12] Dado que en el sector R las potencias son números enteros, este sector tiene un corte de rama mientras que el sector NS tiene semientero y por lo tanto no tiene corte de rama. La expansión del producto del operador (OPE) de la teoría fermiónica se traduce en relaciones de anticonmutación para los modos dadas por ${\displaystyle \psi _{r}^{\mu }}$ ${\displaystyle {\tilde {\psi }}_{r}^{\mu }}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \{\psi _{r}^{\mu },\psi _{s}^{\nu }\}=\{{\tilde {\psi }}_{r}^{\mu },{\tilde {\psi }}_{s}^{\nu }\}=\eta ^{\mu \nu }\delta _{r,-s}.}$

Los estados en el espacio de Hilbert pueden entonces construirse actuando con estos modos sobre el estado de vacío . Dado que todos los modos de aniquilación para el sector NS tienen , se deduce que su espectro tiene un estado de vacío único que es aniquilado por todos los modos ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle |0\rangle _{\text{NS}}}$

${\displaystyle \psi _{r}^{\mu }|0\rangle _{\text{NS}}=0,\ \ \ \ \ \ \ r>0.}$

Los modos actúan como operadores elevadores y, dado que son anticonmutativos, se puede actuar sobre cada uno de ellos como máximo una vez, lo que proporciona espectro al sector NS. ${\displaystyle r<0}$

El sector R tiene cero modos que mapean un estado de vacío en otro estado de vacío. Bajo el reescalamiento , la relación anticonmutativa para estos se convierte en el álgebra de Dirac , lo que implica que el estado fundamental del espectro R forma una representación de esta álgebra. En diez dimensiones, esto es un espinor de Dirac , una representación de 32 dimensiones que se puede reducir a dos representaciones de Weyl que se distinguen por su quiralidad . El espectro del sector R se forma al actuar con modos como máximo una vez sobre estos estados fundamentales. ${\displaystyle \psi _{0}^{\mu }}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }=2^{-1/2}\psi _{0}^{\mu }}$ ${\displaystyle {\text{32}}={\text{16}}+{\text{16}}'}$ ${\displaystyle r>0}$

Fijación del calibre

La acción invariante del difeomorfismo y covariante de Lorentz para la supercuerda fermiónica se encuentra acoplando los campos bosónico y fermiónico a la supergravedad bidimensional, dando la acción

${\displaystyle S=\int d^{2}ze{\bigg [}{\frac {1}{2}}\nabla _{a}X^{\mu }\cdot \nabla _{a}X^{\mu }-{\frac {1}{2}}i{\bar {\psi }}^{\mu }\gamma ^{a}\nabla _{a}\psi ^{\mu }+{\frac {1}{2}}i({\bar {\chi }}_{a}\gamma ^{b}\gamma ^{a}\psi ^{\mu }){\bigg (}\partial _{b}X^{\mu }-{\frac {1}{4}}i{\bar {\chi }}_{b}\psi ^{\mu }{\bigg )}{\bigg ]},}$

donde es el vielbein bidimensional y es el gravitino correspondiente . ^[13] Esto tiene las siguientes simetrías: ${\displaystyle e_{a}^{m}}$ ${\displaystyle \chi _{a}}$

• Invariancia de reparametrización bidimensional,
• Invariancia de Lorentz bidimensional,
• Supersimetría local bidimensional,
• Simetría de Weyl,
• Simetría S local; , donde es un espinor de Majorana , ${\displaystyle \delta \psi _{\alpha }=\gamma _{\alpha }\zeta }$ ${\displaystyle \zeta _{A}}$
• Simetría de Poincaré.

Las simetrías de calibración de esta acción son la simetría de difeomorfismo, la simetría de Weyl y la supersimetría local. Para cuantificar la acción, estas simetrías deben ser fijas de calibración, lo que generalmente se hace a través de la calibración superconforme en la que y , donde y se desacoplan de la acción. Al realizar esta fijación de calibración a través del procedimiento de Faddeev–Popov, se deja atrás la acción RNS y una acción fantasma BRST . ${\displaystyle e_{a}^{m}=e^{\phi }\delta _{a}^{m}}$ ${\displaystyle \chi _{a}=\gamma _{a}\xi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle S\rightarrow S_{\text{RNS}}+S_{g}}$

Fantasmas

Hay fantasmas holomorfos y antiholomorfos en la acción de supercuerdas fijas de calibre. En el lado holomorfo hay un par de campos anticonmutadores y con peso y , junto con un par de campos conmutativos y con peso y . ^[14] Estos tienen una acción de la forma ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h_{b}=2}$ ${\displaystyle h_{c}=-1}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle h_{\beta }=3/2}$ ${\displaystyle h_{\gamma }=1/2}$

${\displaystyle S_{g}={\frac {1}{2\pi }}\int d^{2}z(b{\bar {\partial }}c+\beta {\bar {\partial }}\gamma ),}$

con una acción similar para los fantasmas antiholomórficos. Esta acción da lugar a contribuciones fantasmas adicionales al tensor de energía de tensión general y a las supercorrientes de la teoría . ${\displaystyle T_{B}^{g}}$ ${\displaystyle T_{F}^{g}}$

La expansión del modo fantasma está determinada por sus pesos, siendo los campos fantasma anticonmutadores periódicos, mientras que los campos fantasma conmutadores son periódicos en el sector R y antiperiódicos en el sector NS. Los modos satisfacen las relaciones de (anti)conmutación y . Los estados fundamentales de Ramond y Neveu–Schwarz se definen de acuerdo con ${\displaystyle \{b_{m},c_{n}\}=\delta _{n,-m}}$ ${\displaystyle [\gamma _{r},\beta _{s}]=\delta _{r,-s}}$

${\displaystyle b_{m}|0\rangle _{\text{NS,R}}=0,\ \ \ m\geq 0,\ \ \ \ c_{m}|0\rangle _{\text{NS,R}}=0,\ \ \ m\geq 1,}$

${\displaystyle \beta _{r}|0\rangle _{\text{NS}}=0,\ \ \ r\geq {\tfrac {1}{2}},\ \ \ \ \gamma _{r}|0\rangle _{\text{NS}}=0,\ \ \ r\geq {\tfrac {1}{2}},}$

${\displaystyle \beta _{r}|0\rangle _{\text{R}}=0,\ \ \ r\geq 0,\ \ \ \ \ \ \gamma _{r}|0\rangle _{\text{R}}=0,\ \ \ r\geq 1.}$

Estados físicos

La cuantificación BRST de la teoría requiere la construcción de la corriente BRST

${\displaystyle j_{B}=cT_{B}^{m}+\gamma T_{F}^{m}+{\frac {1}{2}}(cT_{B}^{g}+\gamma T_{F}^{g}),}$

donde y son los fantasmas y son los tensores de tensión de materia y fantasma y las supercorrientes. La carga BRST es la carga correspondiente asociada con esta corriente ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle T_{B,F}^{m,g}}$ ${\displaystyle Q_{B}}$

${\displaystyle Q_{B}={\frac {1}{2\pi i}}\oint (dzj_{B}-d{\bar {z}}{\bar {j}}_{B}).}$

El espectro físico es el conjunto de clases de cohomología BRST . Este es el conjunto de estados que son aniquilados por la carga , con todos los estados que difieren en un estado exacto BRST , también llamado estado nulo , que es equivalente . Existe la condición adicional de que , y para los estados del sector R . Esta condición trunca el espectro fantasma por razones cinemáticas . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle Q_{B}|\psi \rangle =0}$ ${\displaystyle Q_{B}|\eta \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle \sim |\psi \rangle +Q_{B}|\eta \rangle }$ ${\displaystyle b_{0}|\psi \rangle =L_{0}|\psi \rangle =0}$ ${\displaystyle \beta _{0}|\psi \rangle =G_{0}|\psi \rangle =0}$

Es conveniente observar los estados de energía más bajos de esta teoría. ^[12] La introducción del operador de número fermión permite subdividir los sectores NS y R en sectores NS−, NS+, R− y R+, donde el signo denota el signo de los estados. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle e^{i\pi F}=\pm 1}$

• NS−: Contiene el estado fundamental NS , que es un taquión de masa y cuatro momentos . ${\displaystyle |0;k\rangle _{\text{NS}}}$ ${\displaystyle -1/2\alpha '}$ ${\displaystyle k^{\mu }}$
• NS+: Contiene el primer estado excitado de NS que corresponde a un bosón vectorial sin masa con polarización que satisface y . ${\displaystyle |e;k\rangle _{\text{NS}}=e\cdot \psi _{-1/2}|0;k\rangle _{\text{NS}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle k^{2}=e\cdot k=0}$ ${\displaystyle e^{\mu }\sim e^{\mu }+\lambda k^{\mu }}$
• R−/R+: El estado fundamental del sector R es un fermión de Majorana–Weyl sin masa con polarización , la mitad del cual pertenece al sector R+ y la otra mitad al sector R−. ${\displaystyle |u;k\rangle _{\text{R}}}$ ${\displaystyle u_{\boldsymbol {s}}}$

Estos estados se clasifican según la representación de espín del grupo al que pertenecen, que es el subgrupo de rotación del grupo de Lorentz de diez dimensiones . En particular, el estado taquiónico NS− es un singlete mientras que el estado NS+ es un vector denotado por . Los espinores de Majorana–Weyl del sector R+ pertenecen a la representación mientras que los R− pertenecen a la representación. ${\displaystyle {\text{SO}}(8)}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(1,9)\supset {\text{SO}}(1,1){\text{SO}}(8)}$ ${\displaystyle 8_{v}}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle 8'}$

Para cuerdas abiertas, NS+, NS−, R+ y R− forman los posibles estados sin masa y taquiónicos de la cuerda RNS. Para las cuerdas cerradas, los estados físicos son las diversas combinaciones de estos cuatro sectores como sectores que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha. La cuerda resultante tiene una condición de capa de masa de

${\displaystyle {\frac {\alpha '}{4}}m^{2}=N-\nu ={\tilde {N}}-{\tilde {\nu }},}$

donde es el nivel, contando los operadores de creación utilizados para crear el estado. Los estados resultantes pueden clasificarse nuevamente según la representación, siendo esta el producto directo de las representaciones que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha, que se descompone en una suma sobre representaciones irreducibles . ^[15] No hay estados donde NS− se corresponda con NS+, R− o R+ ya que entonces no se cumple la condición de correspondencia de nivel, por lo que la teoría de cuerdas cerradas tiene un solo taquión proveniente del sector NS−NS−. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(8)}$

Proyección GSO

El espacio de Hilbert de cuerdas RNS ingenuo no da lugar a una teoría de cuerdas consistente. Hay tres condiciones que deben cumplirse para que la teoría sea consistente. ^[12] En primer lugar, los operadores de vértice de la teoría tienen que ser mutuamente locales, lo que significa que sus OPE no tienen cortes de rama. En segundo lugar, los OPE también deben ser cerrados . Por último, las amplitudes de un bucle deben ser invariantes modulares . La proyección GSO es la proyección del espacio de Hilbert sobre el subconjunto de sectores que son consistentes bajo estas tres condiciones. ^[3] Un conjunto de teorías consistentes que resulta de la proyección son las teorías de cuerdas de tipo 0 , aunque estas no están libres de taquiones. El otro conjunto de teorías consistentes son las teorías de cuerdas de tipo II que están libres de taquiones, y consisten en los sectores

• IIA: (NS+,NS+), (R+,NS+), (NS+,R−), (R+,R−),
• IIB: (NS+,NS+), (R+,NS+), (NS+,R+), (R+,R+).

Una forma concisa de resumir estos sectores es que la teoría de tipo IIA solo mantiene los sectores con y , mientras que la teoría IIB solo mantiene los sectores con . ${\displaystyle e^{i\pi F}=+1}$ ${\displaystyle e^{i\pi {\tilde {F}}}=(-1)^{\tilde {\alpha }}}$ ${\displaystyle e^{i\pi F}=e^{i\pi {\tilde {F}}}=+1}$

La teoría de cuerdas de tipo I se puede construir a partir de la teoría de tipo IIB que ha calibrado su simetría de paridad de la lámina del mundo y se ha combinado con la cuerda RNS abierta proyectada por la GSO. Las cuerdas abiertas también deben tener factores de Chan-Paton que pertenezcan al grupo de calibración. Esta última condición surge de un requisito para hacer que la teoría no sea anómala . Las teorías de cuerdas heteróticas se pueden construir utilizando este mismo formalismo, excepto que comienzan con una acción diferente de la acción RNS. ${\displaystyle {\text{SO}}(32)}$

Véase también

• Formalismo GS
• Proyección GSO
• Campo Kalb-Ramond

Referencias

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3. Gliozzi, F. ; Scherk, J. ; Olive, DI (1977). "Supersimetría, teorías de supergravedad y el modelo de espinor dual". Nucl. Phys. B . 122 : 253–290. doi :10.1016/0550-3213(77)90206-1.
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