Mapeo igual a su cuadrado bajo composición de mapeo
En matemáticas , una proyección es una aplicación idempotente de un conjunto (u otra estructura matemática ) en un subconjunto (o subestructura). En este caso, idempotente significa que proyectar dos veces es lo mismo que proyectar una vez. La restricción a un subespacio de una proyección también se llama proyección , incluso si se pierde la propiedad de idempotencia. Un ejemplo cotidiano de una proyección es la proyección de sombras sobre un plano (hoja de papel): la proyección de un punto es su sombra sobre la hoja de papel, y la proyección (sombra) de un punto sobre la hoja de papel es ese punto en sí (idempotencia). La sombra de una esfera tridimensional es un disco cerrado. Originalmente, la noción de proyección se introdujo en la geometría euclidiana para denotar la proyección del espacio euclidiano tridimensional sobre un plano en él, como el ejemplo de la sombra. Las dos proyecciones principales de este tipo son:
La proyección de un punto sobre un plano o proyección central : Si C es un punto, llamado centro de proyección , entonces la proyección de un punto P distinto de C sobre un plano que no contiene a C es la intersección de la recta CP con el plano. Los puntos P tales que la recta CP es paralela al plano no tienen ninguna imagen por la proyección, pero a menudo se dice que se proyectan sobre un punto en el infinito del plano (véase Geometría proyectiva para una formalización de esta terminología). La proyección del punto C en sí no está definida.
La proyección paralela a una dirección D sobre un plano o proyección paralela : La imagen de un punto P es la intersección del plano con la línea paralela a D que pasa por P. Véase Espacio afín § Proyección para una definición precisa, generalizada a cualquier dimensión. [ cita requerida ]
El concepto de proyección en matemáticas es muy antiguo y probablemente tenga sus raíces en el fenómeno de las sombras que proyectan los objetos del mundo real sobre el suelo. Esta idea rudimentaria se fue refinando y abstrayendo, primero en un contexto geométrico y después en otras ramas de las matemáticas. Con el tiempo se desarrollaron diferentes versiones del concepto, pero hoy, en un entorno suficientemente abstracto, podemos unificar estas variaciones. [ cita requerida ]
En cartografía , una proyección cartográfica es un mapa de una parte de la superficie de la Tierra sobre un plano, lo que, en algunos casos, pero no siempre, es la restricción de una proyección en el sentido antes mencionado. Las proyecciones 3D también son la base de la teoría de la perspectiva . [ cita requerida ]
La necesidad de unificar los dos tipos de proyecciones y de definir la imagen mediante una proyección central de cualquier punto distinto del centro de proyección están en el origen de la geometría proyectiva . Sin embargo, una transformación proyectiva es una biyección de un espacio proyectivo , propiedad que no comparten las proyecciones de este artículo. [ cita requerida ]
Definición
La conmutatividad de este diagrama es la universalidad de la proyección π , para cualquier mapa f y conjunto X .
En general, una aplicación donde el dominio y el codominio son el mismo conjunto (o estructura matemática ) es una proyección si la aplicación es idempotente , lo que significa que una proyección es igual a su composición consigo misma. Una proyección también puede referirse a una aplicación que tiene una inversa derecha . Ambas nociones están fuertemente relacionadas, como sigue. Sea p una aplicación idempotente de un conjunto A en sí mismo (por lo tanto p ∘ p = p ) y B = p ( A ) sea la imagen de p . Si denotamos por π la aplicación p vista como una aplicación de A en B y por i la inyección de B en A (de modo que p = i ∘ π ), entonces tenemos π ∘ i = Id B (de modo que π tiene una inversa derecha). Por el contrario, si π tiene una inversa derecha i , entonces π ∘ i = Id B implica que i ∘ π ∘ i ∘ π = i ∘ Id B ∘ π = i ∘ π ; es decir, p = i ∘ π es idempotente. [ cita requerida ]
Aplicaciones
La noción original de proyección se ha extendido o generalizado a diversas situaciones matemáticas, frecuentemente, pero no siempre, relacionadas con la geometría, por ejemplo:
Una operación tipificada por la j -ésima función de proyección , escrita proj j , que toma un elemento x = ( x 1 , ..., x j , ..., x n ) del producto cartesiano X 1 × ⋯ × X j × ⋯ × X n al valor proj j ( x ) = x j . [1] Esta función es siempre sobreyectiva y, cuando cada espacio X k tiene una topología , esta función también es continua y abierta . [2]
El mapa de evaluación envía una función f al valor f ( x ) para un x fijo . El espacio de funciones Y X se puede identificar con el producto cartesiano , y el mapa de evaluación es un mapa de proyección a partir del producto cartesiano. [ cita requerida ]
En geometría esférica , la proyección de una esfera sobre un plano fue utilizada por Ptolomeo (~150) en su Planisphaerium . [7] El método se llama proyección estereográfica y utiliza un plano tangente a una esfera y un polo C diametralmente opuesto al punto de tangencia. Cualquier punto P en la esfera además de C determina una línea CP que interseca el plano en el punto proyectado para P. [8] La correspondencia hace que la esfera sea una compactificación de un punto para el plano cuando se incluye un punto en el infinito para corresponder a C , que de otra manera no tiene proyección en el plano. Un ejemplo común es el plano complejo donde la compactificación corresponde a la esfera de Riemann . Alternativamente, un hemisferio se proyecta con frecuencia sobre un plano utilizando la proyección gnomónica . [ cita requerida ]
En álgebra lineal , una transformación lineal que permanece invariable si se aplica dos veces: p ( u ) = p ( p ( u )) . En otras palabras, un operador idempotente . Por ejemplo, la aplicación que lleva un punto ( x , y , z ) en tres dimensiones al punto ( x , y , 0) es una proyección. Este tipo de proyección se generaliza naturalmente a cualquier número de dimensiones n para el dominio y k ≤ n para el codominio de la aplicación. Véase Proyección ortogonal , Proyección (álgebra lineal) . En el caso de las proyecciones ortogonales, el espacio admite una descomposición como producto, y el operador de proyección es una proyección también en ese sentido. [9] [10] [ verificación necesaria ]
En topología , una retracción es una función continua r : X → X que se limita a la función identidad en su imagen. [11] Esto satisface una condición de idempotencia similar r 2 = r y puede considerarse una generalización de la función de proyección. La imagen de una retracción se denomina retracción del espacio original. Una retracción que es homotópica a la identidad se conoce como retracción de deformación . Este término también se utiliza en la teoría de categorías para referirse a cualquier epimorfismo dividido. [ cita requerida ]
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^ Lee, John M. (2012). Introducción a las variedades suaves. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 218 (segunda edición). pág. 606. doi :10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN978-1-4419-9982-5Ejercicio A.32. Supóngase que son espacios topológicos. Demuestre que cada proyección es una función abierta.
^ Brown, Arlen; Pearcy, Carl (16 de diciembre de 1994). Introducción al análisis. Springer Science & Business Media. ISBN978-0-387-94369-5.
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