Funcional lineal positivo

En matemáticas , más específicamente en análisis funcional , una función lineal positiva en un espacio vectorial ordenado es una función lineal en tal que para todos los elementos positivos que es se cumple que ${\displaystyle (V,\leq )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in V,}$ ${\displaystyle v\geq 0,}$ $${\displaystyle f(v)\geq 0.}$$

En otras palabras, se garantiza que un funcional lineal positivo tomará valores no negativos para los elementos positivos. La importancia de los funcionales lineales positivos radica en resultados como el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani .

Cuando es un espacio vectorial complejo , se supone que para todo es real. Como en el caso cuando es un C*-álgebra con su subespacio parcialmente ordenado de elementos autoadjuntos, a veces se coloca un orden parcial solo en un subespacio y el orden parcial no se extiende a todos los de en cuyo caso los elementos positivos de son los elementos positivos de por abuso de notación. Esto implica que para un C*-álgebra, un funcional lineal positivo envía cualquier igual a para algún a un número real, que es igual a su conjugado complejo, y por lo tanto todos los funcionales lineales positivos conservan la autoadjunción de tales Esta propiedad se explota en la construcción GNS para relacionar funcionales lineales positivos en un C*-álgebra con productos internos . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\geq 0,}$ ${\displaystyle f(v)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W\subseteq V,}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle s^{\ast }s}$ ${\displaystyle s\in V}$ ${\displaystyle x.}$

Condiciones suficientes para la continuidad de todos los funcionales lineales positivos

Existe una clase comparativamente grande de espacios vectoriales topológicos ordenados en los que cada forma lineal positiva es necesariamente continua. ^[1] Esto incluye todas las redes vectoriales topológicas que son secuencialmente completas . ^[1]

Teorema Sea un espacio vectorial topológico ordenado con cono positivo y sea la familia de todos los subconjuntos acotados de Entonces cada una de las siguientes condiciones es suficiente para garantizar que todo funcional lineal positivo en es continuo: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle C}$tiene interior topológico no vacío (en ). ^[1] ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$es completa y metrizable y ^[1] ${\displaystyle X=C-C.}$
3. ${\displaystyle X}$es bornológico y es un cono estricto semicompleto en ^[1] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle X}$es el límite inductivo de una familia de espacios de Fréchet ordenados con respecto a una familia de mapas lineales positivos donde para todo donde es el cono positivo de ^[1] ${\displaystyle \left(X_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }=C_{\alpha }-C_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in A,}$ ${\displaystyle C_{\alpha }}$ ${\displaystyle X_{\alpha }.}$

Extensiones positivas continuas

El siguiente teorema se debe a H. Bauer e independientemente, a Namioka. ^[1]

Teorema : ^[1] Sea un espacio vectorial topológico ordenado (TVS) con cono positivo , sea un subespacio vectorial de y sea una forma lineal en Entonces tiene una extensión a una forma lineal positiva continua en si y solo si existe algún vecindario convexo de en tal que esté acotado por encima de en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle M\cap (U-C).}$

Corolario : ^[1] Sea un espacio vectorial topológico ordenado con cono positivo, sea un subespacio vectorial de Si contiene un punto interior de entonces toda forma lineal positiva continua en tiene una extensión a una forma lineal positiva continua en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle C\cap M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$

Corolario : ^[1] Sea un espacio vectorial ordenado con cono positivo , sea un subespacio vectorial de y sea una forma lineal en Entonces tiene una extensión a una forma lineal positiva en si y solo si existe algún subconjunto absorbente convexo en que contiene el origen de tal que está acotado por encima de en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle M\cap (W-C).}$

Demostración: Basta con dotar de la mejor topología localmente convexa a un entorno de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 0\in X.}$

Ejemplos

Consideremos, como ejemplo, el álgebra C* de matrices cuadradas complejas con elementos positivos que son las matrices definidas positivas . La función traza definida en esta álgebra C* es una función positiva, ya que los valores propios de cualquier matriz definida positiva son positivos y, por lo tanto, su traza es positiva. ${\displaystyle V,}$

Consideremos el espacio de Riesz de todas las funciones continuas de valor complejo de soporte compacto en un espacio de Hausdorff localmente compacto Consideremos una medida regular de Borel en y un funcional definido por Entonces, este funcional es positivo (la integral de cualquier función positiva es un número positivo). Además, cualquier funcional positivo en este espacio tiene esta forma, como se desprende del teorema de representación de Riesz–Markov–Kakutani . ${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathrm {c} }(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)d\mu (x)\quad {\text{ for all }}f\in \mathrm {C} _{\mathrm {c} }(X).}$$

Funcionales lineales positivos (álgebras C*)

Sea un C*-álgebra (más generalmente, un sistema de operadores en un C*-álgebra ) con identidad Sea el conjunto de elementos positivos en ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle M^{+}}$ ${\displaystyle M.}$

Se dice que una función lineal es positiva si para todos ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho (a)\geq 0,}$ ${\displaystyle a\in M^{+}.}$

Teorema. Una función lineal en es positiva si y sólo si está acotada y ^[2] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \|\rho \|=\rho (1).}$

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Si es una funcional lineal positiva en un C*-álgebra , entonces se puede definir una forma sesquilineal semidefinida en por Por lo tanto, a partir de la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle =\rho (b^{\ast }a).}$ $${\displaystyle \left|\rho (b^{\ast }a)\right|^{2}\leq \rho (a^{\ast }a)\cdot \rho (b^{\ast }b).}$$

Aplicaciones a la economía

Dado un espacio , un sistema de precios puede verse como una función lineal, positiva y continua en . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Véase también

• Elemento positivo  – Grupo con un orden parcial compatiblePages displaying short descriptions of redirect targets
• Operador lineal positivo  – Concepto en el análisis funcional

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999, págs. 225-229.
2. Murphy, Gerard. "3.3.4". C*-Álgebras y teoría de operadores (1.ª ed.). Academic Press, Inc., pág. 89. ISBN 978-0125113601.

Bibliografía

• Kadison, Richard , Fundamentos de la teoría de álgebras de operadores, vol. I: Teoría elemental , American Mathematical Society. ISBN 978-0821808191 . 
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .