Teorema de energía positiva

Resultado clave en la relatividad general

El teorema de la energía positiva (también conocido como teorema de la masa positiva ) se refiere a una colección de resultados fundamentales de la relatividad general y la geometría diferencial . Su forma estándar, en términos generales, afirma que la energía gravitacional de un sistema aislado no es negativa y solo puede ser cero cuando el sistema no tiene objetos gravitacionales. Aunque a menudo se piensa que estas afirmaciones son principalmente de naturaleza física, se pueden formalizar como teoremas matemáticos que se pueden demostrar utilizando técnicas de geometría diferencial , ecuaciones diferenciales parciales y teoría de la medida geométrica .

Richard Schoen y Shing-Tung Yau , en 1979 y 1981, fueron los primeros en proporcionar pruebas del teorema de la masa positiva. Edward Witten , en 1982, presentó los lineamientos de una prueba alternativa, que luego fueron completados rigurosamente por matemáticos. Witten y Yau recibieron la medalla Fields en matemáticas en parte por su trabajo sobre este tema.

Una formulación imprecisa del teorema de energía positiva de Schoen-Yau/Witten establece lo siguiente:

Dado un conjunto de datos inicial asintóticamente plano, se puede definir la energía-momento de cada región infinita como un elemento del espacio de Minkowski . Siempre que el conjunto de datos inicial sea geodésicamente completo y satisfaga la condición de energía dominante , cada uno de esos elementos debe estar en el futuro causal del origen. Si cualquier región infinita tiene energía-momento nulo, entonces el conjunto de datos inicial es trivial en el sentido de que se puede incrustar geométricamente en el espacio de Minkowski.

El significado de estos términos se analiza a continuación. Existen formulaciones alternativas y no equivalentes para diferentes nociones de energía-momento y para diferentes clases de conjuntos de datos iniciales. No todas estas formulaciones han sido probadas rigurosamente y actualmente es un problema abierto si la formulación anterior es válida para conjuntos de datos iniciales de dimensión arbitraria.

Panorama histórico

La prueba original del teorema para la masa ADM fue proporcionada por Richard Schoen y Shing-Tung Yau en 1979 utilizando métodos variacionales y superficies mínimas . Edward Witten dio otra prueba en 1981 basada en el uso de espinores , inspirados en teoremas de energía positiva en el contexto de la supergravedad . Una extensión del teorema para la masa de Bondi fue dada por Ludvigsen y James Vickers, Gary Horowitz y Malcolm Perry , y Schoen y Yau.

Gary Gibbons , Stephen Hawking , Horowitz y Perry demostraron extensiones del teorema a los espacios-tiempos asintóticamente anti-de Sitter y a la teoría de Einstein-Maxwell . La masa de un espacio-tiempo asintóticamente anti-de Sitter no es negativa y solo es igual a cero para el espacio-tiempo anti-de Sitter. En la teoría de Einstein-Maxwell, para un espacio-tiempo con carga eléctrica y carga magnética , la masa del espacio-tiempo satisface (en unidades gaussianas ) ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle M\geq {\sqrt {Q^{2}+P^{2}}},}$

con igualdad para las soluciones de agujeros negros extremos de Majumdar – Papapetrou .

Conjuntos de datos iniciales

Un conjunto de datos inicial consta de una variedad de Riemann ( M , g ) y un campo de 2 tensores simétricos k en M . Se dice que un conjunto de datos inicial ( M , g , k ) :

• es simétrico en el tiempo si k es cero
• es máximo si tr ^g k = 0 ^[1]
• satisface la condición de energía dominante si

${\displaystyle R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} _{g}k)^{2}\geq 2{\big |}\operatorname {div} ^{g}k-d(\operatorname {tr} _{g}k){\big |}_{g},}$

donde R ^g denota la curvatura escalar de g . ^[2]

Obsérvese que un conjunto de datos inicial simétrico en el tiempo ( M , g , 0) satisface la condición de energía dominante si y solo si la curvatura escalar de g no es negativa. Se dice que una variedad lorentziana ( M , g ) es un desarrollo de un conjunto de datos inicial ( M , g , k ) si hay una incrustación de hipersuperficie (necesariamente espacial) de M en M , junto con un campo vectorial normal unitario continuo, de modo que la métrica inducida es g y la segunda forma fundamental con respecto a la normal unitaria dada es k .

Esta definición está motivada por la geometría lorentziana . Dada una variedad lorentziana ( M , g ) de dimensión n +1 y una inmersión espacial f desde una variedad n -dimensional conexa M en M que tiene un fibrado normal trivial, se puede considerar la métrica riemanniana inducida g = f ^* g así como la segunda forma fundamental k de f con respecto a cualquiera de las dos opciones de campo vectorial normal unitario continuo a lo largo de f . La tripleta ( M , g , k ) es un conjunto de datos inicial. Según las ecuaciones de Gauss-Codazzi , se tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {G}}(\nu ,\nu )&={\frac {1}{2}}{\Big (}R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} ^{g}k)^{2}{\Big )}\\{\overline {G}}(\nu ,\cdot )&=d(\operatorname {tr} ^{g}k)-\operatorname {div} ^{g}k.\end{aligned}}}$

donde G denota el tensor de Einstein Ric ^g - ⁠1/2⁠ R ^g g de g y ν denota el campo vectorial normal unitario continuo a lo largo de f utilizado para definir k . Por lo tanto, la condición de energía dominante dada anteriormente es, en este contexto lorentziano, idéntica a la afirmación de que G ( ν , ⋅) , cuando se ve como un campo vectorial a lo largo de f , es temporal o nulo y está orientado en la misma dirección que ν . ^[3]

Los extremos de los conjuntos de datos iniciales asintóticamente planos

En la literatura existen varias nociones distintas de "asintóticamente plano" que no son equivalentes entre sí. Generalmente se define en términos de espacios ponderados de Hölder o espacios ponderados de Sobolev.

Sin embargo, existen algunas características que son comunes a prácticamente todos los enfoques. Se considera un conjunto de datos inicial ( M , g , k ) que puede tener o no un límite; sea n su dimensión. Se requiere que exista un subconjunto compacto K de M tal que cada componente conexo del complemento M − K sea difeomorfo al complemento de una bola cerrada en el espacio euclidiano ℝ ⁿ . Dichos componentes conexos se denominan extremos de M.

Declaraciones formales

Schoen y Yau (1979)

Sea ( M , g , 0) un conjunto de datos iniciales simétricos en el tiempo que satisface la condición de energía dominante. Supóngase que ( M , g ) es una variedad riemanniana suave tridimensional orientada con borde, y que cada componente de borde tiene una curvatura media positiva. Supóngase que tiene un extremo y es asintóticamente Schwarzschild en el siguiente sentido:

Supóngase que K es un subconjunto precompacto abierto de M tal que existe un difeomorfismo Φ : ℝ ³ − B ₁ (0) → M − K , y supóngase que existe un número m tal que el 2-tensor simétrico

${\displaystyle h_{ij}=(\Phi ^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}-{\frac {m}{2|x|}}\delta _{ij}}$

en ℝ ³ − B ₁ (0) es tal que para cualquier i , j , p , q , las funciones y están todas acotadas. ${\displaystyle |x|^{2}h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)}$

El teorema de Schoen y Yau afirma que m debe ser no negativo. Si, además, las funciones y están acotadas para cualquier valor , entonces m debe ser positivo a menos que el límite de M esté vacío y ( M , g ) sea isométrico a ℝ ³ con su métrica riemanniana estándar. ${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}\partial _{s}h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}\partial _{s}\partial _{t}h_{ij}(x)}$ ${\displaystyle i,j,p,q,r,s,t,}$

Nótese que las condiciones de h afirman que h , junto con algunas de sus derivadas, son pequeñas cuando x es grande. Dado que h mide el defecto entre g en las coordenadas Φ y la representación estándar de la porción t = constante de la métrica de Schwarzschild , estas condiciones son una cuantificación del término "asintóticamente Schwarzschild". Esto se puede interpretar en un sentido puramente matemático como una forma fuerte de "asintóticamente plano", donde el coeficiente de la parte | x | ⁻¹ de la expansión de la métrica se declara como un múltiplo constante de la métrica euclidiana, en oposición a un 2-tensor simétrico general.

Obsérvese también que el teorema de Schoen y Yau, como se indicó anteriormente, es en realidad (a pesar de las apariencias) una forma fuerte del caso de "múltiples extremos". Si ( M , g ) es una variedad riemanniana completa con múltiples extremos, entonces el resultado anterior se aplica a cualquier extremo único, siempre que haya una esfera de curvatura media positiva en cada uno de los otros extremos. Esto está garantizado, por ejemplo, si cada extremo es asintóticamente plano en el sentido anterior; se puede elegir una esfera de coordenadas grande como límite y eliminar el resto correspondiente de cada extremo hasta que se tenga una variedad riemanniana con límite con un solo extremo.

Schoen y Yau (1981)

Sea ( M , g , k ) un conjunto de datos inicial que satisface la condición de energía dominante. Supóngase que ( M , g ) es una variedad riemanniana completa, lisa y tridimensional orientada (sin borde); supóngase que tiene un número finito de extremos, cada uno de los cuales es asintóticamente plano en el siguiente sentido.

Supongamos que es un subconjunto precompacto abierto tal que tiene un número finito de componentes conexos y para cada uno hay un difeomorfismo tal que el 2-tensor simétrico satisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle K\subset M}$ ${\displaystyle M\smallsetminus K}$ ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle \Phi _{i}:\mathbb {R} ^{3}\smallsetminus B_{1}(0)\to M_{i}}$ ${\displaystyle h_{ij}=(\Phi ^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}}$

• ${\displaystyle |x|h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{2}\partial _{p}h_{ij}(x),}$y están delimitados para todos ${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)}$ ${\displaystyle i,j,p,q.}$

Supongamos también que

• ${\displaystyle |x|^{4}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$y están delimitados por cualquier ${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$ ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle |x|^{2}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x),}$y para cualquiera ${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x)}$ ${\displaystyle p,q,i,j}$
• ${\displaystyle |x|^{3}((\Phi _{i}^{\ast }k)_{11}(x)+(\Phi ^{\ast }k)_{22}(x)+(\Phi _{i}^{\ast }k)_{33}(x))}$está delimitado.

La conclusión es que la energía ADM de cada uno se define como ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$

${\displaystyle {\text{E}}(M_{i})={\frac {1}{16\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{p=1}^{3}\sum _{q=1}^{3}{\big (}\partial _{q}(\Phi _{i}^{\ast }g)_{pq}-\partial _{p}(\Phi _{i}^{\ast }g)_{qq}{\big )}{\frac {x^{p}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x),}$

es no negativo. Además, suponiendo además que

• ${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}h_{ij}(x)}$y están delimitados por cualquier ${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{r}\partial _{s}\partial _{t}h_{ij}(x)}$ ${\displaystyle i,j,p,q,r,s,}$

la suposición de que para algunos implica que n = 1 , que M es difeomorfo a ℝ ³ , y que el espacio de Minkowski ℝ ^3,1 es un desarrollo del conjunto de datos inicial ( M , g , k ) . ${\displaystyle {\text{E}}(M_{i})=0}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$

Escritura (1981)

Sea una variedad riemanniana completa, lisa y tridimensional orientada (sin borde). Sea un 2-tensor liso y simétrico en tal que ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} _{g}k)^{2}\geq 2{\big |}\operatorname {div} ^{g}k-d(\operatorname {tr} _{g}k){\big |}_{g}.}$

Supongamos que es un subconjunto precompacto abierto tal que tiene un número finito de componentes conexos y para cada uno hay un difeomorfismo tal que el 2-tensor simétrico satisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle K\subset M}$ ${\displaystyle M\smallsetminus K}$ ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$ ${\displaystyle \alpha =1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle \Phi _{\alpha }:\mathbb {R} ^{3}\smallsetminus B_{1}(0)\to M_{i}}$ ${\displaystyle h_{ij}=(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}}$

• ${\displaystyle |x|h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{2}\partial _{p}h_{ij}(x),}$y están delimitados para todos ${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)}$ ${\displaystyle i,j,p,q.}$
• ${\displaystyle |x|^{2}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{ij}(x)}$y están delimitados para todos ${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{ij}(x),}$ ${\displaystyle i,j,p.}$

Para cada uno defina la energía ADM y el momento lineal mediante ${\displaystyle \alpha =1,\ldots ,n,}$

${\displaystyle {\text{E}}(M_{\alpha })={\frac {1}{16\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{p=1}^{3}\sum _{q=1}^{3}{\big (}\partial _{q}(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{pq}-\partial _{p}(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{qq}{\big )}{\frac {x^{p}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x),}$

${\displaystyle {\text{P}}(M_{\alpha })_{p}={\frac {1}{8\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{q=1}^{3}{\big (}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{pq}-{\big (}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{11}+(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{22}+(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{33}{\big )}\delta _{pq}{\big )}{\frac {x^{q}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x).}$

Para cada uno, considere esto como un vector en el espacio de Minkowski. La conclusión de Witten es que para cada uno es necesariamente un vector no espacial que apunta al futuro. Si este vector es cero para cualquier, entonces es difeomórfico a y el desarrollo hiperbólico global máximo del conjunto de datos inicial tiene curvatura cero. ${\displaystyle \alpha =1,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle ({\text{P}}(M_{\alpha })_{1},{\text{P}}(M_{\alpha })_{2},{\text{P}}(M_{\alpha })_{3},{\text{E}}(M_{\alpha }))}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle (M,g,k)}$

Extensiones y observaciones

Según las afirmaciones anteriores, la conclusión de Witten es más fuerte que la de Schoen y Yau. Sin embargo, un tercer artículo de Schoen y Yau ^[4] muestra que su resultado de 1981 implica el de Witten, conservando solo el supuesto adicional de que y están acotados para cualquier También debe notarse que el resultado de Schoen y Yau de 1981 se basa en su resultado de 1979, que se demuestra por contradicción; por lo tanto, su extensión de su resultado de 1981 también es por contradicción. Por el contrario, la prueba de Witten es lógicamente directa, exhibiendo la energía ADM directamente como una cantidad no negativa. Además, la prueba de Witten en el caso puede extenderse sin mucho esfuerzo a variedades de dimensiones superiores, bajo la condición topológica de que la variedad admita una estructura de espín. ^[5] El resultado y la prueba de Schoen y Yau de 1979 pueden extenderse al caso de cualquier dimensión menor que ocho. ^[6] Más recientemente, el resultado de Witten, utilizando los métodos de Schoen y Yau (1981), se ha extendido al mismo contexto. ^[7] En resumen: siguiendo los métodos de Schoen y Yau, el teorema de energía positiva se ha demostrado en dimensión menor que ocho, mientras que siguiendo a Witten, se ha demostrado en cualquier dimensión pero con una restricción al contexto de variedades de espín. ${\displaystyle |x|^{4}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$ ${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}k=0}$

En abril de 2017, Schoen y Yau publicaron una versión preliminar que prueba el caso general de mayor dimensión en el caso especial sin ninguna restricción de dimensión o topología. Sin embargo, todavía no ha aparecido (a mayo de 2020) en una revista académica. ${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}k=0,}$

Aplicaciones

• En 1984, Schoen utilizó el teorema de masa positiva en su trabajo que completó la solución del problema de Yamabe .
• El teorema de masa positiva se utilizó en la prueba de la desigualdad de Penrose de Riemann de Hubert Bray .

Referencias

1. En coordenadas locales, esto dice g ^ij k _ij = 0
2. En coordenadas locales, esto dice R - g ^ik g ^jl k _ij k _kl + ( g ^ij k _ij ) ² ≥ 2( g ^pq ( g ^ij k _{pi ; j} - ( g ^ij k _ij ) _{; p} )( g ^kl k _{qk ; l} - ( g ^kl k _kl ) _{; q} )) ^1/2 o, en la notación habitual de "índice elevado y reducido", esto dice R - k ^ij k _ij + ( k _i ⁱ ) ² ≥ 2(( k _pi ^{; yo} - ( k i _i ⁾ ; _{k pj} ; _{j -} ( k ^j _j ) ^{; p )} ) ^1/2
3. Es típico suponer que M está orientado al tiempo y que ν se define específicamente como el campo vectorial normal unitario que apunta al futuro a lo largo de f ; en este caso, la condición de energía dominante dada anteriormente para un conjunto de datos inicial que surge de una inmersión espacial en M es automáticamente verdadera si se supone la condición de energía dominante en su forma espaciotemporal habitual .
4. Schoen, Richard; Yau, Shing Tung (1981). "La energía y el momento lineal de los espacios-tiempos en la relatividad general" (PDF) . Comm. Math. Phys . 79 (1): 47–51. Bibcode :1981CMaPh..79...47S. doi :10.1007/BF01208285. S2CID  120151656.
5. Bartnik, Robert (1986). "La masa de una variedad asintóticamente plana". Comm. Pure Appl. Math . 39 (5): 661–693. CiteSeerX 10.1.1.625.6978 . doi :10.1002/cpa.3160390505. 
6. Schoen, Richard M. (1989). "Teoría variacional para la curvatura escalar total funcional para métricas de Riemann y temas relacionados". Temas de cálculo de variaciones (Montecatini Terme, 1987) . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1365. Berlín: Springer. págs. 120–154.
7. Eichmair, Michael; Huang, Lan-Hsuan ; Lee, Dan A.; Schoen, Richard (2016). "El teorema de masa positiva del espacio-tiempo en dimensiones menores a ocho". Revista de la Sociedad Matemática Europea . 18 (1): 83–121. arXiv : 1110.2087 . doi : 10.4171/JEMS/584 . S2CID  : 119633794.

• Schoen, Richard; Yau, Shing-Tung (1979). "Sobre la prueba de la conjetura de masa positiva en la relatividad general". Communications in Mathematical Physics . 65 (1): 45–76. Bibcode :1979CMaPh..65...45S. doi :10.1007/bf01940959. ISSN  0010-3616. S2CID  54217085.
• Schoen, Richard; Yau, Shing-Tung (1981). "Demostración del teorema de masa positiva. II". Communications in Mathematical Physics . 79 (2): 231–260. Bibcode :1981CMaPh..79..231S. doi :10.1007/bf01942062. ISSN  0010-3616. S2CID  59473203.
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Libros de texto

• Choquet-Bruhat, Yvonne. Relatividad general y ecuaciones de Einstein. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press, Oxford, 2009. xxvi+785 pp. ISBN 978-0-19-923072-3 
• Wald, Robert M. Relatividad general. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1984. xiii+491 pp. ISBN 0-226-87032-4