Variedad abeliana dual

En matemáticas , una variedad abeliana dual se puede definir a partir de una variedad abeliana A , definida sobre un cuerpo k . Una variedad abeliana unidimensional es una curva elíptica , y cada curva elíptica es isomorfa a su dual, pero esto falla para variedades abelianas de dimensiones superiores, por lo que el concepto de dual se vuelve más interesante en dimensiones superiores.

Definición

Sea A una variedad abeliana sobre un cuerpo k . Definimos como el subgrupo que consiste en fibrados lineales L tales que , donde son las funciones de multiplicación y proyección respectivamente. Un elemento de se denomina fibrado lineal de grado 0 en A . ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Pic} ^{0}(A)\subset \operatorname {Pic} (A)}$ ${\displaystyle m^{*}L\cong p^{*}L\otimes q^{*}L}$ ${\displaystyle m,p,q}$ ${\displaystyle A\times _{k}A\to A}$ ${\displaystyle \operatorname {Pic} ^{0}(A)}$

A A se le asocia entonces una variedad abeliana dual A ^v (sobre el mismo cuerpo), que es la solución del siguiente problema de módulos . Una familia de fibrados lineales de grado 0 parametrizados por una k -variedad T se define como un fibrado lineal L sobre A × T tal que

1. para todo , la restricción de L a A ×{ t } es un fibrado de líneas de grado 0, ${\displaystyle t\in T}$
2. La restricción de L a {0}× T es un fibrado de líneas trivial (aquí 0 es la identidad de A ).

Entonces existe una variedad A ^v y un fibrado lineal , llamado fibrado de Poincaré, que es una familia de fibrados lineales de grado 0 parametrizados por A ^v en el sentido de la definición anterior. ^[2] Además, esta familia es universal, es decir, a cualquier familia L parametrizada por T se le asocia un morfismo único f : T → A ^v de modo que L es isomorfo al pullback de P a lo largo del morfismo 1 _A × f : A × T → A × A ^v . Aplicando esto al caso en que T es un punto, vemos que los puntos de A ^v corresponden a fibrados lineales de grado 0 en A , por lo que existe una operación de grupo natural en A ^v dada por el producto tensorial de fibrados lineales, lo que lo convierte en una variedad abeliana. ${\displaystyle P\to A\times A^{\vee }}$

En el lenguaje de los funtores representables se puede enunciar el resultado anterior de la siguiente manera. El funtor contravariante, que asocia a cada k -variedad T el conjunto de familias de fibrados de líneas de grado 0 parametrizados por T y a cada k -morfismo f : T → T' la aplicación inducida por el pullback con f , es representable. El elemento universal que representa este funtor es el par ( A ^v , P ).

Esta asociación es una dualidad en el sentido de que existe un isomorfismo natural entre el doble dual A ^vv y A (definido mediante el fibrado de Poincaré) y que es functorial contravariante , es decir, se asocia a todos los morfismos f : A → B morfismos duales f ^v : B ^v → A ^v de forma compatible. La n -torsión de una variedad abeliana y la n -torsión de su dual son duales entre sí cuando n es coprimo con la característica de la base. En general -para todos los n- los esquemas de grupo de n -torsiones de variedades abelianas duales son duales de Cartier entre sí. Esto generaliza el apareamiento de Weil para curvas elípticas.

Historia

La teoría fue formulada por primera vez en su forma correcta cuando K era el cuerpo de los números complejos . En ese caso, hay una forma general de dualidad entre la variedad albanesa de una variedad completa V y su variedad de Picard ; esto se entendió, para definiciones en términos de toros complejos , tan pronto como André Weil dio una definición general de la variedad albanesa. Para una variedad abeliana A , la variedad albanesa es A en sí misma, por lo que el dual debería ser Pic ⁰ ( A ), el componente conexo del elemento identidad de lo que en la terminología contemporánea es el esquema de Picard .

Para el caso de la variedad jacobiana J de una superficie compacta de Riemann C , la elección de una polarización principal de J da lugar a una identificación de J con su propia variedad de Picard. Esto, en cierto sentido, es simplemente una consecuencia del teorema de Abel . Para variedades abelianas generales, aún sobre los números complejos, A está en la misma clase de isogenia que su dual. Se puede construir una isogenia explícita mediante el uso de un haz invertible L sobre A (es decir, en este caso un fibrado de líneas holomorfo ), cuando el subgrupo

K ( L )

de traducciones en L que llevan a L a una copia isomorfa es en sí misma finita. En ese caso, el cociente

A / K ( L )

es isomorfa a la variedad abeliana dual .

Esta construcción de  se extiende a cualquier campo K de característica cero . ^[3] En términos de esta definición, el fibrado de Poincaré , un fibrado lineal universal, se puede definir en

A × Â .

La construcción cuando K tiene característica p utiliza la teoría de esquemas . La definición de K ( L ) tiene que ser en términos de un esquema de grupo que es un estabilizador teórico de esquemas , y el cociente tomado es ahora un cociente por un esquema de subgrupos. ^[4]

La doble isogenia

Sea una isogenia de variedades abelianas. (Es decir, es finito-a-uno y sobreyectiva.) Construiremos una isogenia usando la descripción funcional de , que dice que los datos de un mapa son los mismos que dar una familia de fibrados de líneas de grado cero en , parametrizados por . ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {B}}\to {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {B}}\to {\hat {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Para ello, considere la isogenia y donde es el fibrado de líneas de Poincaré para . Esta es entonces la familia requerida de fibrados de líneas de grado cero en . ${\displaystyle f\times 1_{\hat {B}}:A\times {\hat {B}}\to B\times {\hat {B}}}$ ${\displaystyle (f\times 1_{\hat {B}})^{*}P_{B}}$ ${\displaystyle P_{B}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Por la descripción funcional antes mencionada, existe entonces un morfismo tal que . Se puede demostrar usando esta descripción que esta función es una isogenia del mismo grado que , y que . ^[5] ${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {B}}\to {\hat {A}}}$ ${\displaystyle ({\hat {f}}\times 1_{A})^{*}P_{A}\cong (f\times 1_{\hat {B}})^{*}P_{B}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {\hat {f}}}=f}$

Por lo tanto, obtenemos un endofuntor contravariante en la categoría de variedades abelianas que eleva al cuadrado la identidad. Este tipo de funtor se suele denominar funtor dualizante . ^[6]

Teorema de Mukai

Un célebre teorema de Mukai ^[7] establece que existe un isomorfismo de categorías derivadas , donde denota la categoría derivada acotada de haces coherentes en X . Históricamente, este fue el primer uso de la transformada de Fourier-Mukai y muestra que la categoría derivada acotada no puede necesariamente distinguir variedades no isomorfas. ${\displaystyle D^{b}(A)\cong D^{b}({\hat {A}})}$ ${\displaystyle D^{b}(X)}$

Recordemos que si X e Y son variedades, y es un complejo de haces coherentes, definimos la transformada de Fourier-Mukai como la composición , donde p y q son las proyecciones sobre X e Y respectivamente. ${\displaystyle {\mathcal {K}}\in D^{b}(X\times Y)}$ ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {K}}^{X\to Y}:D^{b}(X)\to D^{b}(Y)}$ ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {K}}^{X\to Y}(\cdot )=Rq_{*}({\mathcal {K}}\otimes _{L}Lp^{*}(\cdot ))}$

Nótese que es plano y, por lo tanto, exacto en el nivel de haces coherentes, y en las aplicaciones es a menudo un fibrado de líneas, por lo que normalmente se pueden dejar los funtores derivados de la izquierda sin derivar en la expresión anterior. Nótese también que se puede definir de manera análoga una transformada de Fourier-Mukai utilizando el mismo núcleo, simplemente intercambiando los mapas de proyección en la fórmula. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {K}}^{Y\to X}}$

El enunciado del teorema de Mukai es el siguiente:

Teorema: Sea A una variedad abeliana de dimensión g y el fibrado lineal de Poincaré en . Entonces, , donde es la función de inversión y es el funtor de desplazamiento. En particular, es un isomorfismo. ^[8] ${\displaystyle P_{A}}$ ${\displaystyle A\times {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \Phi _{P_{A}}^{{\hat {A}}\to A}\circ \Phi _{P_{A}}^{A\to {\hat {A}}}\cong \iota ^{*}[-g]}$ ${\displaystyle \iota :A\to A}$ ${\displaystyle [-g]}$ ${\displaystyle \Phi _{P_{A}}^{A\to {\hat {A}}}}$

Notas

1. Milne, James S. Variedades abelianas (PDF) . págs. 35–36.
2. Milne, James S. Variedades abelianas (PDF) . pág. 36.
3. Mumford, Variedades abelianas , págs. 74-80
4. Mumford, Variedades abelianas , pág. 123 en adelante
5. Bhatt, Bhargav (2017). Variedades abelianas (PDF) . pág. 38.
6. Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica . Springer-Verlag. pág. 521. ISBN 978-3-540-78122-6.
7. Mukai, Shigeru (1981). "Dualidad entre D(X) y D(\hat{X}) con su aplicación a haces de Picard". Nagoya Math . 81 : 153–175. doi :10.1017/S002776300001922X.
8. Bhatt, Bhargav (2017). Variedades abelianas (PDF) . pág. 43.

Referencias

• Milne, James S. (2008). Variedades abelianas (v2.00) (PDF) .

• Mumford, David (1985). Variedades abelianas (2.ª ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-560528-0.

• Bhatt, Bhargav (2017). Variedades Abelianas (PDF) .

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