Partículas indistinguibles

Concepto en mecánica cuántica de partículas perfectamente sustituibles.

En mecánica cuántica , las partículas indistinguibles (también llamadas partículas idénticas o indiscernibles ) son partículas que no pueden distinguirse entre sí, ni siquiera en principio. Las especies de partículas idénticas incluyen, entre otras, partículas elementales (como los electrones ), partículas subatómicas compuestas (como los núcleos atómicos ), así como átomos y moléculas . Las cuasipartículas también se comportan de esta manera. Aunque todas las partículas indistinguibles conocidas sólo existen en la escala cuántica , no existe una lista exhaustiva de todos los tipos posibles de partículas ni un límite claro de aplicabilidad, como se explora en la estadística cuántica . Fueron discutidos por primera vez por Werner Heisenberg y Paul Dirac en 1926. ^[1]

Hay dos categorías principales de partículas idénticas: bosones , que pueden compartir estados cuánticos , y fermiones , que no pueden (como lo describe el principio de exclusión de Pauli ). Ejemplos de bosones son fotones , gluones , fonones , núcleos de helio-4 y todos los mesones . Ejemplos de fermiones son electrones , neutrinos , quarks , protones , neutrones y núcleos de helio-3 .

El hecho de que las partículas puedan ser idénticas tiene importantes consecuencias en la mecánica estadística , donde los cálculos se basan en argumentos probabilísticos , que son sensibles a si los objetos estudiados son idénticos o no. Como resultado, las partículas idénticas exhiben un comportamiento estadístico marcadamente diferente al de las partículas distinguibles. Por ejemplo, la indistinguibilidad de las partículas se ha propuesto como solución a la paradoja de la mezcla de Gibbs .

Distinguir entre partículas

Hay dos métodos para distinguir entre partículas. El primer método se basa en diferencias en las propiedades físicas intrínsecas de las partículas, como la masa , la carga eléctrica y el espín . Si existen diferencias, es posible distinguir entre las partículas midiendo las propiedades relevantes. Sin embargo, es un hecho empírico que las partículas microscópicas de la misma especie tienen propiedades físicas completamente equivalentes. Por ejemplo, cada electrón del universo tiene exactamente la misma carga eléctrica; por eso es posible hablar de algo como " la carga del electrón ".

Incluso si las partículas tienen propiedades físicas equivalentes, queda un segundo método para distinguir entre partículas, que consiste en rastrear la trayectoria de cada partícula. Mientras la posición de cada partícula pueda medirse con precisión infinita (incluso cuando las partículas chocan), no habrá ambigüedad sobre qué partícula es cuál.

El problema con el segundo enfoque es que contradice los principios de la mecánica cuántica . Según la teoría cuántica, las partículas no poseen posiciones definidas durante los períodos entre mediciones. En cambio, se rigen por funciones de onda que dan la probabilidad de encontrar una partícula en cada posición. A medida que pasa el tiempo, las funciones de onda tienden a extenderse y superponerse. Una vez que esto sucede, resulta imposible determinar, en una medición posterior, cuál de las posiciones de las partículas corresponde a las medidas anteriormente. Se dice entonces que las partículas son indistinguibles.

Descripción de la mecánica cuántica

Estados simétricos y antisimétricos.

Función de onda antisimétrica para un estado (fermiónico) de 2 partículas en un potencial de pozo cuadrado infinito.

Función de onda simétrica para un estado (bosónico) de 2 partículas en un potencial de pozo cuadrado infinito.

Lo que sigue es un ejemplo para concretar la discusión anterior, utilizando el formalismo desarrollado en el artículo sobre la formulación matemática de la mecánica cuántica .

Sea n un conjunto completo de números cuánticos (discretos) para especificar estados de una sola partícula (por ejemplo, para el problema de la partícula en una caja , tome n como el vector de onda cuantificado de la función de onda). Para simplificar, considere un sistema compuesto de dos partículas que no interactúan entre sí. Supongamos que una partícula está en el estado n ₁ y la otra está en el estado n ₂ . El estado cuántico del sistema se denota por la expresión

${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle }$

donde el orden del producto tensorial importa (si , entonces la partícula 1 ocupa el estado n ₂ mientras que la partícula 2 ocupa el estado n ₁ ). Ésta es la forma canónica de construir una base para un espacio producto tensorial del sistema combinado a partir de los espacios individuales. Esta expresión es válida para partículas distinguibles, sin embargo, no es apropiada para partículas indistinguibles ya que y como resultado del intercambio de partículas, generalmente se encuentran estados diferentes. ${\displaystyle |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$ ${\displaystyle H\otimes H}$ ${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle }$ ${\displaystyle |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$

• "la partícula 1 ocupa el estado n ₁ y la partícula 2 ocupa el estado n ₂ " ≠ "la partícula 1 ocupa el estado n ₂ y la partícula 2 ocupa el estado n ₁ ".

Dos estados son físicamente equivalentes sólo si difieren como máximo en un factor de fase complejo. Para dos partículas indistinguibles, un estado antes del intercambio de partículas debe ser físicamente equivalente al estado después del intercambio, por lo que estos dos estados difieren como máximo por un factor de fase complejo. Este hecho sugiere que un estado para dos partículas indistinguibles (y que no interactúan) viene dado por las siguientes dos posibilidades: ^{[2] [3] [4]}

${\displaystyle |n_{1}\rangle |n_{2}\rangle \pm |n_{2}\rangle |n_{1}\rangle }$

Los estados donde es una suma se conocen como simétricos , mientras que los estados que involucran la diferencia se llaman antisimétricos . Más completamente, los estados simétricos tienen la forma

${\displaystyle |n_{1},n_{2};S\rangle \equiv {\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

mientras que los estados antisimétricos tienen la forma

${\displaystyle |n_{1},n_{2};A\rangle \equiv {\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle -|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

Tenga en cuenta que si n ₁ y n ₂ son iguales, la expresión antisimétrica da cero, que no puede ser un vector de estado ya que no puede normalizarse. En otras palabras, más de una partícula idéntica no puede ocupar un estado antisimétrico (un estado antisimétrico sólo puede estar ocupado por una partícula). Esto se conoce como principio de exclusión de Pauli y es la razón fundamental detrás de las propiedades químicas de los átomos y la estabilidad de la materia .

simetría de intercambio

La importancia de los estados simétricos y antisimétricos se basa en última instancia en evidencia empírica. Parece ser un hecho de la naturaleza que partículas idénticas no ocupan estados de simetría mixta, como

${\displaystyle |n_{1},n_{2};?\rangle ={\mbox{constant}}\times {\bigg (}|n_{1}\rangle |n_{2}\rangle +i|n_{2}\rangle |n_{1}\rangle {\bigg )}}$

En realidad, existe una excepción a esta regla, que se analizará más adelante. Por otro lado, se puede demostrar que los estados simétricos y antisimétricos son en cierto sentido especiales, examinando una simetría particular de los estados de múltiples partículas conocida como simetría de intercambio .

Defina un operador lineal P , llamado operador de intercambio. Cuando actúa sobre un producto tensorial de dos vectores de estado, intercambia los valores de los vectores de estado:

${\displaystyle P{\bigg (}|\psi \rangle |\phi \rangle {\bigg )}\equiv |\phi \rangle |\psi \rangle }$

P es a la vez hermitiano y unitario . Debido a que es unitario, puede considerarse un operador de simetría . Esta simetría puede describirse como la simetría bajo el intercambio de etiquetas adheridas a las partículas (es decir, a los espacios de Hilbert de una sola partícula).

Claramente, (el operador de identidad), entonces los valores propios de P son +1 y −1. Los vectores propios correspondientes son los estados simétricos y antisimétricos: ${\displaystyle P^{2}=1}$

${\displaystyle P|n_{1},n_{2};S\rangle =+|n_{1},n_{2};S\rangle }$

${\displaystyle P|n_{1},n_{2};A\rangle =-|n_{1},n_{2};A\rangle }$

En otras palabras, los estados simétricos y antisimétricos esencialmente no cambian bajo el intercambio de etiquetas de partículas: sólo se multiplican por un factor de +1 o −1, en lugar de "girarse" en otro lugar del espacio de Hilbert. Esto indica que las etiquetas de las partículas no tienen significado físico, de acuerdo con la discusión anterior sobre la indistinguibilidad.

Se recordará que P es hermitiano. Como resultado, puede considerarse como un observable del sistema, lo que significa que, en principio, se puede realizar una medición para saber si un estado es simétrico o antisimétrico. Además, la equivalencia de las partículas indica que el hamiltoniano se puede escribir en forma simétrica, como

${\displaystyle H={\frac {p_{1}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{2}^{2}}{2m}}+U(|x_{1}-x_{2}|)+V(x_{1})+V(x_{2})}$

Es posible demostrar que tales hamiltonianos satisfacen la relación de conmutación

${\displaystyle \left[P,H\right]=0}$

Según la ecuación de Heisenberg , esto significa que el valor de P es una constante de movimiento. Si el estado cuántico es inicialmente simétrico (antisimétrico), seguirá siendo simétrico (antisimétrico) a medida que el sistema evolucione. Matemáticamente, esto dice que el vector de estado está confinado a uno de los dos espacios propios de P y no se le permite abarcar todo el espacio de Hilbert. Por tanto, ese espacio propio también podría tratarse como el espacio de Hilbert real del sistema. Ésta es la idea detrás de la definición del espacio de Fock .

Fermiones y bosones

La elección de simetría o antisimetría está determinada por la especie de partícula. Por ejemplo, siempre se deben utilizar estados simétricos al describir fotones o átomos de helio-4 , y estados antisimétricos al describir electrones o protones .

Las partículas que presentan estados simétricos se denominan bosones . La naturaleza de los estados simétricos tiene importantes consecuencias para las propiedades estadísticas de los sistemas compuestos por muchos bosones idénticos. Estas propiedades estadísticas se describen como estadísticas de Bose-Einstein .

Las partículas que presentan estados antisimétricos se denominan fermiones . La antisimetría da lugar al principio de exclusión de Pauli , que prohíbe que fermiones idénticos compartan el mismo estado cuántico. Las estadísticas de Fermi-Dirac describen sistemas de muchos fermiones idénticos .

También son posibles las paraestadísticas .

En ciertos sistemas bidimensionales, puede ocurrir simetría mixta. Estas partículas exóticas se conocen como anyons y obedecen a estadísticas fraccionarias . Existe evidencia experimental de la existencia de anyones en el efecto Hall cuántico fraccionario , un fenómeno observado en los gases de electrones bidimensionales que forman la capa de inversión de los MOSFET . Existe otro tipo de estadística, conocida como estadística de trenzas , que están asociadas a partículas conocidas como plectones .

El teorema de la estadística de espín relaciona la simetría de intercambio de partículas idénticas con su espín . Afirma que los bosones tienen espín entero y los fermiones tienen espín semientero. Cualquiera posee espín fraccionario.

N partículas

La discusión anterior se generaliza fácilmente al caso de N partículas. Supongamos que hay N partículas con números cuánticos n ₁ , n ₂ , ..., n _N . Si las partículas son bosones, ocupan un estado totalmente simétrico , que es simétrico bajo el intercambio de dos etiquetas de partículas cualesquiera :

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle ={\sqrt {\frac {\prod _{n}m_{n}!}{N!}}}\sum _{p}\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle }$

Aquí, la suma se toma en todos los estados diferentes bajo permutaciones p que actúan sobre N elementos. La raíz cuadrada que queda de la suma es una constante de normalización . La cantidad m _n representa el número de veces que cada uno de los estados de una sola partícula n aparece en el estado de N partícula. Tenga en cuenta que Σ _n m _n = N .

Del mismo modo, los fermiones ocupan estados totalmente antisimétricos :

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\operatorname {sgn} (p)\left|n_{p(1)}\right\rangle \left|n_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|n_{p(N)}\right\rangle \ }$

Aquí, sgn( p ) es el signo de cada permutación (es decir , si está compuesta por un número par de transposiciones y si es impar). Tenga en cuenta que no existe un término, porque cada estado de una sola partícula puede aparecer sólo una vez en un estado fermiónico. De lo contrario, la suma volvería a ser cero debido a la antisimetría, representando así un estado físicamente imposible. Este es el principio de exclusión de Pauli para muchas partículas. ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \Pi _{n}m_{n}}$

Estos estados se han normalizado para que

${\displaystyle \langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle =1,\qquad \langle n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle =1.}$

Medición

Supongamos que hay un sistema de N bosones (fermiones) en estado simétrico (antisimétrico).

${\displaystyle |n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S/A\rangle }$

y se realiza una medición en algún otro conjunto de observables discretos, m . En general, esto produce algún resultado m ₁ para una partícula, m ₂ para otra partícula, y así sucesivamente. Si las partículas son bosones (fermiones), el estado después de la medición debe permanecer simétrico (antisimétrico), es decir

${\displaystyle |m_{1}m_{2}\cdots m_{N};S/A\rangle }$

La probabilidad de obtener un resultado particular para la medición m es

${\displaystyle P_{S/A}\left(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N}\right)\equiv {\big |}\left\langle m_{1}\cdots m_{N};S/A\,|\,n_{1}\cdots n_{N};S/A\right\rangle {\big |}^{2}}$

Se puede demostrar que

${\displaystyle \sum _{m_{1}\leq m_{2}\leq \dots \leq m_{N}}P_{S/A}(n_{1},\ldots ,n_{N}\rightarrow m_{1},\ldots ,m_{N})=1}$

lo que verifica que la probabilidad total es 1. La suma debe restringirse a valores ordenados de m ₁ , ..., m _N para garantizar que cada estado de múltiples partículas no se cuente más de una vez.

Representación de función de onda

Hasta ahora, la discusión ha incluido sólo observables discretos. Se puede extender a observables continuos, como la posición  x .

Recuerde que un estado propio de un observable continuo representa un rango infinitesimal de valores del observable, no un valor único como ocurre con los observables discretos. Por ejemplo, si una partícula está en un estado | ψ ⟩, la probabilidad de encontrarlo en una región del volumen d ³ x que rodea alguna posición x es

${\displaystyle |\langle x|\psi \rangle |^{2}\;d^{3}x}$

Como resultado, los estados propios continuos | x ⟩ están normalizados a la función delta en lugar de a la unidad:

${\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta ^{3}(x-x')}$

Los estados de múltiples partículas simétricos y antisimétricos se pueden construir a partir de estados propios continuos de la misma manera que antes. Sin embargo, se acostumbra utilizar una constante de normalización diferente:

${\displaystyle {\begin{aligned}|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S\rangle &={\sqrt {\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}}\sum _{p}\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle \\|x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A\rangle &={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle \end{aligned}}}$

Se puede escribir una función de onda de muchos cuerpos ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};S\rangle \\[4pt]&={\sqrt {\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}}\sum _{p}\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\\[10pt]\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})&\equiv \langle x_{1}x_{2}\cdots x_{N};A|n_{1}n_{2}\cdots n_{N};A\rangle \\[4pt]&={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\mathrm {sgn} (p)\psi _{p(1)}(x_{1})\psi _{p(2)}(x_{2})\cdots \psi _{p(N)}(x_{N})\end{aligned}}}$

donde las funciones de onda de una sola partícula se definen, como de costumbre, por

${\displaystyle \psi _{n}(x)\equiv \langle x|n\rangle }$

La propiedad más importante de estas funciones de onda es que el intercambio de dos variables de coordenadas cambia la función de onda sólo en un signo más o menos. Esta es la manifestación de simetría y antisimetría en la representación de la función de onda:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(S)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\\[3pt]\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(\cdots x_{i}\cdots x_{j}\cdots )=-\Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(\cdots x_{j}\cdots x_{i}\cdots )\end{aligned}}}$

La función de onda de muchos cuerpos tiene el siguiente significado: si el sistema se encuentra inicialmente en un estado con números cuánticos n ₁ , ..., n _N , y se realiza una medición de posición, la probabilidad de encontrar partículas en volúmenes infinitesimales cerca de x ₁ , x ₂ , ..., x _N es

${\displaystyle N!\;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}\;d^{3N}\!x}$

El factor de N ! proviene de nuestra constante de normalización, que ha sido elegida de modo que, por analogía con las funciones de onda de una sola partícula,

${\displaystyle \int \!\int \!\cdots \!\int \;\left|\Psi _{n_{1}n_{2}\cdots n_{N}}^{(S/A)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\right|^{2}d^{3}\!x_{1}d^{3}\!x_{2}\cdots d^{3}\!x_{N}=1}$

Debido a que cada integral recorre todos los valores posibles de x , cada estado de múltiples partículas aparece N ! tiempos en la integral. En otras palabras, la probabilidad asociada con cada evento se distribuye uniformemente en N ! puntos equivalentes en el espacio integral. Debido a que normalmente es más conveniente trabajar con integrales no restringidas que con integrales restringidas, se ha elegido la constante de normalización para reflejar esto.

Finalmente, la función de onda antisimétrica se puede escribir como el determinante de una matriz , conocido como determinante de Slater :

${\displaystyle \Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},\ldots ,x_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{n_{1}}(x_{1})&\psi _{n_{1}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{1}}(x_{N})\\\psi _{n_{2}}(x_{1})&\psi _{n_{2}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{2}}(x_{N})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{n_{N}}(x_{1})&\psi _{n_{N}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{N}}(x_{N})\\\end{matrix}}\right|}$

El enfoque del operador y las paraestadísticas.

El espacio de Hilbert para partículas viene dado por el producto tensorial . El grupo de permutación de actúa en este espacio permutando las entradas. Por definición, los valores esperados para un observable de partículas indistinguibles deberían ser invariantes bajo esta permutación. Esto significa que para todos y ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \bigotimes _{n}H}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi \in H}$ ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

${\displaystyle (\sigma \Psi )^{t}a(\sigma \Psi )=\Psi ^{t}a\Psi ,}$

o equivalente para cada ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

${\displaystyle \sigma ^{t}a\sigma =a}$.

Dos estados son equivalentes siempre que sus valores esperados coincidan para todos los observables. Si nos restringimos a observables de partículas idénticas y, por lo tanto, a observables que satisfacen la ecuación anterior, encontramos que los siguientes estados (después de la normalización) son equivalentes ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Psi \sim \sum _{\sigma \in S_{n}}\lambda _{\sigma }\sigma \Psi }$.

Las clases de equivalencia están en relación biyectiva con subespacios irreducibles de under . ${\textstyle \bigotimes _{n}H}$ ${\displaystyle S_{n}}$

Dos subespacios irreductibles obvios son el subespacio unidimensional simétrico/bosónico y el subespacio antisimétrico/fermiónico. Sin embargo, existen más tipos de subespacios irreducibles. Los estados asociados con estos otros subespacios irreducibles se denominan estados paraestadísticos . ^[5] Los cuadros jóvenes proporcionan una forma de clasificar todos estos subespacios irreducibles.

Propiedades estadísticas

Efectos estadísticos de la indistinguibilidad.

La indistinguibilidad de las partículas tiene un profundo efecto en sus propiedades estadísticas. Para ilustrar esto, considere un sistema de N partículas distinguibles que no interactúan. Una vez más, sea n _j el estado (es decir, los números cuánticos) de la partícula j . Si las partículas tienen las mismas propiedades físicas, los n _j abarcan el mismo rango de valores. Sea ε ( n ) la energía de una partícula en el estado n . Como las partículas no interactúan, la energía total del sistema es la suma de las energías de las partículas individuales. La función de partición del sistema es

${\displaystyle Z=\sum _{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{N}}\exp \left\{-{\frac {1}{kT}}\left[\varepsilon (n_{1})+\varepsilon (n_{2})+\cdots +\varepsilon (n_{N})\right]\right\}}$

donde k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura . Esta expresión se puede factorizar para obtener

${\displaystyle Z=\xi ^{N}}$

dónde

${\displaystyle \xi =\sum _{n}\exp \left[-{\frac {\varepsilon (n)}{kT}}\right].}$

Si las partículas son idénticas, esta ecuación es incorrecta. Considere un estado del sistema, descrito por los estados de una sola partícula [ n ₁ , ..., n _N ]. En la ecuación de Z , cada permutación posible de las n ocurre una vez en la suma, aunque cada una de estas permutaciones describe el mismo estado de múltiples partículas. Por tanto, se ha sobrecontado el número de estados.

Si se desprecia la posibilidad de superposición de estados, lo cual es válido si la temperatura es alta, entonces el número de veces que se cuenta cada estado es aproximadamente N !. La función de partición correcta es

${\displaystyle Z={\frac {\xi ^{N}}{N!}}.}$

Tenga en cuenta que esta aproximación de "alta temperatura" no distingue entre fermiones y bosones.

La discrepancia en las funciones de partición de partículas distinguibles e indistinguibles se conocía ya en el siglo XIX, antes de la llegada de la mecánica cuántica. Conduce a una dificultad conocida como la paradoja de Gibbs . Gibbs demostró que en la ecuación Z = ξ ^N , la entropía de un gas ideal clásico es

${\displaystyle S=Nk\ln \left(V\right)+Nf(T)}$

donde V es el volumen del gas y f es alguna función de T únicamente. El problema con este resultado es que S no es extensivo : si N y V se duplican, S no se duplica en consecuencia. Un sistema así no obedece a los postulados de la termodinámica .

Gibbs también demostró que usar Z = ξ ^N / N ! altera el resultado a

${\displaystyle S=Nk\ln \left({\frac {V}{N}}\right)+Nf(T)}$

que es perfectamente extenso. Sin embargo, el motivo de esta corrección de la función de partición permaneció oscuro hasta el descubrimiento de la mecánica cuántica.

Propiedades estadísticas de bosones y fermiones.

Existen diferencias importantes entre el comportamiento estadístico de bosones y fermiones, que se describen mediante las estadísticas de Bose-Einstein y las estadísticas de Fermi-Dirac, respectivamente. En términos generales, los bosones tienden a agruparse en el mismo estado cuántico, lo que subyace a fenómenos como el láser , la condensación de Bose-Einstein y la superfluidez . Los fermiones, por otro lado, tienen prohibido compartir estados cuánticos, dando lugar a sistemas como el gas Fermi . Esto se conoce como principio de exclusión de Pauli y es responsable de gran parte de la química, ya que los electrones de un átomo (fermiones) llenan sucesivamente los numerosos estados dentro de las capas en lugar de estar todos en el mismo estado de menor energía.

Las diferencias entre el comportamiento estadístico de fermiones, bosones y partículas distinguibles se pueden ilustrar utilizando un sistema de dos partículas. Las partículas se denominan A y B. Cada partícula puede existir en dos estados posibles, etiquetados y , que tienen la misma energía. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

El sistema compuesto puede evolucionar con el tiempo, interactuando con un entorno ruidoso. Debido a que los estados y son energéticamente equivalentes, ninguno de los estados se ve favorecido, por lo que este proceso tiene el efecto de aleatorizar los estados. (Esto se analiza en el artículo sobre entrelazamiento cuántico ). Después de algún tiempo, el sistema compuesto tendrá la misma probabilidad de ocupar cada uno de los estados disponibles. Luego se miden los estados de las partículas. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Si A y B son partículas distinguibles, entonces el sistema compuesto tiene cuatro estados distintos: , , y . La probabilidad de obtener dos partículas en el estado es 0,25; la probabilidad de obtener dos partículas en el estado es 0,25; y la probabilidad de obtener una partícula en el estado y la otra en el estado es 0,5. ${\displaystyle |0\rangle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle |1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle |0\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Si A y B son bosones idénticos, entonces el sistema compuesto tiene sólo tres estados distintos: , y . Cuando se realiza el experimento, la probabilidad de obtener dos partículas en el estado es ahora de 0,33; la probabilidad de obtener dos partículas en el estado es 0,33; y la probabilidad de obtener una partícula en el estado y la otra en el estado es 0,33. Tenga en cuenta que la probabilidad de encontrar partículas en el mismo estado es relativamente mayor que en el caso distinguible. Esto demuestra la tendencia de los bosones a "agruparse". ${\displaystyle |0\rangle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle |1\rangle }$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle +|1\rangle |0\rangle )}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Si A y B son fermiones idénticos, sólo hay un estado disponible para el sistema compuesto: el estado totalmente antisimétrico . Cuando se realiza el experimento, una partícula siempre está en el estado y la otra está en el estado. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle |1\rangle -|1\rangle |0\rangle )}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

Los resultados se resumen en la Tabla 1:

Como puede verse, incluso un sistema de dos partículas exhibe diferentes comportamientos estadísticos entre partículas, bosones y fermiones distinguibles. En los artículos sobre estadística de Fermi-Dirac y estadística de Bose-Einstein , estos principios se extienden a un gran número de partículas, con resultados cualitativamente similares.

La clase de homotopía.

Para comprender por qué las estadísticas de partículas funcionan de la forma en que lo hacen, observemos primero que las partículas son excitaciones puntuales y que las partículas que están separadas como en el espacio no interactúan. En un espacio plano d -dimensional M , en cualquier momento dado, la configuración de dos partículas idénticas se puede especificar como un elemento de M × M. Si no hay superposición entre las partículas, de modo que no interactúen directamente, entonces sus ubicaciones deben pertenecer al espacio [ M × M ] \ {puntos coincidentes}, el subespacio con los puntos coincidentes eliminados. El elemento ( x , y ) describe la configuración con la partícula I en x y la partícula II en y , mientras que ( y , x ) describe la configuración intercambiada. Con partículas idénticas, el estado descrito por ( x , y ) debería ser indistinguible del estado descrito por ( y , x ) . Ahora considere la clase de homotopía de caminos continuos desde ( x , y ) hasta ( y , x ) , dentro del espacio [ M × M ] \ {puntos coincidentes} . Si M es donde d ≥ 3 , entonces esta clase de homotopía solo tiene un elemento. Si M es , entonces esta clase de homotopía tiene muchos elementos contables (es decir, un intercambio en sentido antihorario de media vuelta, un intercambio en sentido antihorario de una vuelta y media, dos vueltas y media, etc., un intercambio en el sentido de las agujas del reloj de media vuelta, etc. .). En particular, un intercambio de media vuelta en el sentido contrario a las agujas del reloj no es homotópico a un intercambio de media vuelta en el sentido de las agujas del reloj. Por último, si M es , entonces esta clase de homotopía está vacía. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Supongamos primero que d ≥ 3 . El espacio de cobertura universal de [ M × M ] \ {puntos coincidentes}, que no es otro que el propio [ M × M ] \ {puntos coincidentes} , sólo tiene dos puntos que son físicamente indistinguibles de ( x , y ) , a saber ( x , y ) en sí mismo y ( y , x ) . Entonces, el único intercambio permitido es intercambiar ambas partículas. Este intercambio es una involución , por lo que su único efecto es multiplicar la fase por una raíz cuadrada de 1. Si la raíz es +1, entonces los puntos tienen estadística de Bose, y si la raíz es –1, los puntos tienen estadística de Fermi.

En el caso del espacio de cobertura universal de [ M × M ] \ {puntos coincidentes} tiene infinitos puntos que son físicamente indistinguibles de ( x , y ) . Esto se describe mediante el grupo cíclico infinito generado al realizar un intercambio de media vuelta en sentido antihorario. A diferencia del caso anterior, realizar este intercambio dos veces seguidas no recupera el estado original; por lo que tal intercambio puede resultar genéricamente en una multiplicación por exp( iθ ) para cualquier θ real (por unitaridad , el valor absoluto de la multiplicación debe ser 1). Esto se llama estadística anyónica . De hecho, incluso con dos partículas distinguibles , aunque ( x , y ) ahora es físicamente distinguible de ( y , x ) , el espacio de cobertura universal todavía contiene infinitos puntos que son físicamente indistinguibles del punto original, ahora generado por un movimiento en sentido antihorario. rotación una vuelta completa. Este generador, entonces, da como resultado una multiplicación por exp( iφ ) . Este factor de fase aquí se llama estadística mutua. ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2},}$

Finalmente, en el caso de que el espacio [ M × M ] \ {puntos coincidentes} no esté conexo, incluso si la partícula I y la partícula II son idénticas, aún se pueden distinguir mediante etiquetas como "la partícula de la izquierda" y " la partícula de la derecha". Aquí no hay simetría de intercambio. ${\displaystyle M=\mathbb {R} ,}$

Ver también

• Teoría de cuasi conjuntos
• Hipótesis de DeBroglie

Notas a pie de página

1. Gottfried, Kurt (2011). "PAM Dirac y el descubrimiento de la mecánica cuántica". Revista Estadounidense de Física . 79 (3): 2, 10. arXiv : 1006.4610 . doi : 10.1119/1.3536639. S2CID  18229595.
2. Haynes, P. Métodos de escala lineal en cálculos mecánico-cuánticos ab initio. Disentimiento. Universidad de Cambridge, 1998. Sección 2.3 Partículas idénticas
3. Tuckerman (2010, pág.385)
4. Liboff, Richard (2003). Introducción a la mecánica cuántica . Addison-Wesley. pag. 597.ISBN _ 978-0805387148.
5. Bach, Alejandro (1993). "Clasificación de partículas indistinguibles". Cartas de Eurofísica . 21 (5): 515–520. Código Bib : 1993EL......21..515B. doi :10.1209/0295-5075/21/5/002. S2CID  250835341.

Referencias

• Tuckerman, Mark (2010), Mecánica estadística , ISBN 978-0198525264

enlaces externos

• Las conferencias Feynman sobre física vol. III Cap. 4: Partículas idénticas
• Intercambio de partículas idénticas y posiblemente indistinguibles por John S. Denker
• Identidad e individualidad en la teoría cuántica ( Enciclopedia de Filosofía de Stanford )
• Estados de muchos electrones en E. Pavarini, E. Koch y U. Schollwöck: fenómenos emergentes en materia correlacionada, Jülich 2013, ISBN 978-3-89336-884-6