Paraestadística

Noción en mecánica estadística.

En mecánica cuántica y mecánica estadística , la paraestadística es una alternativa hipotética ^[1] a los modelos de estadística de partículas establecidos ( estadística de Bose-Einstein , estadística de Fermi-Dirac y estadística de Maxwell-Boltzmann ). Otras alternativas incluyen estadísticas anyónicas y estadísticas trenzadas , ambas involucran dimensiones espacio-temporales inferiores. A Herbert S. Green ^[2] se le atribuye la creación de la paraestadística en 1953. ^{[3] [4]} Las partículas predichas por la paraestadística no han sido observadas experimentalmente.

Formalismo

Considere el álgebra de operadores de un sistema de N partículas idénticas. Esta es una *-álgebra . Hay un grupo S _N ( grupo simétrico de orden N ) que actúa sobre el álgebra de operadores con la interpretación prevista de permutar las N partículas. La mecánica cuántica requiere centrarse en los observables que tienen un significado físico, y los observables tendrían que ser invariantes en todas las posibles permutaciones de las N partículas. Por ejemplo, en el caso N  = 2, R ₂  −  R ₁ no puede ser observable porque cambia de signo si cambiamos las dos partículas, pero la distancia entre las dos partículas: | R ₂  −  R ₁ | es un observable legítimo.

En otras palabras, el álgebra observable tendría que ser un invariante de subálgebra *- bajo la acción de S _N (obsérvese que esto no significa que cada elemento del invariante del álgebra de operadores bajo S _N sea observable). Esto permite diferentes sectores de superselección , cada uno parametrizado por un diagrama de Young de S _N.

En particular:

• Para N parabosones idénticos de orden p (donde p es un número entero positivo), los diagramas de Young permitidos son todos aquellos con p o menos filas.
• Para N parafermiones idénticos de orden p , los diagramas de Young permisibles son todos aquellos con p o menos columnas.
• Si p es 1, esto se reduce a las estadísticas de Bose-Einstein y Fermi-Dirac respectivamente ^{[ aclaración necesaria ]} .
• Si p es arbitrariamente grande (infinito), esto se reduce a la estadística de Maxwell-Boltzmann.

Relaciones trilineales

Hay operadores de creación y aniquilación que satisfacen las relaciones de conmutación trilineales ^[3]

${\displaystyle \left[a_{k},\left[a_{l}^{\dagger },a_{m}\right]_{\pm }\right]_{-}=[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }a_{m}\pm a_{l}^{\dagger }\left[a_{k},a_{m}\right]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m}}$

${\displaystyle \left[a_{k},\left[a_{l}^{\dagger },a_{m}^{\dagger }\right]_{\pm }\right]_{-}=\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }a_{m}^{\dagger }\pm a_{l}^{\dagger }\left[a_{k},a_{m}^{\dagger }\right]_{\mp }\pm \left[a_{k},a_{m}^{\dagger }\right]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}^{\dagger }\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m}^{\dagger }\pm 2\delta _{km}a_{l}^{\dagger }}$

${\displaystyle \left[a_{k},\left[a_{l},a_{m}\right]_{\pm }\right]_{-}=[a_{k},a_{l}]_{\mp }a_{m}\pm a_{l}\left[a_{k},a_{m}\right]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}]_{\mp }a_{l}+a_{m}\left[a_{k},a_{l}\right]_{\mp }=0}$

Teoría cuántica de campos

Un campo de parabosón de orden p , donde si x e y son puntos separados en forma de espacio , y si donde [,] es el conmutador y {,} es el anticonmutador . Tenga en cuenta que esto no está de acuerdo con el teorema de la estadística de espín , que es para bosones y no parabosones. Podría haber un grupo como el _grupo simétrico Sp actuando sobre los φ ^{( i )} s. Los observables tendrían que ser operadores que sean invariantes en el grupo en cuestión. Sin embargo, la existencia de tal simetría no es esencial. ${\textstyle \phi (x)=\sum _{i=1}^{p}\phi ^{(i)}(x)}$ ${\displaystyle [\phi ^{(i)}(x),\phi ^{(i)}(y)]=0}$ ${\displaystyle \{\phi ^{(i)}(x),\phi ^{(j)}(y)\}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$

Un campo de parafermión de orden p , donde si x e y son puntos separados en forma de espacio , y si . El mismo comentario sobre los observables se aplicaría junto con el requisito de que tengan una calificación par bajo la calificación donde los ψ s tienen una calificación impar. ${\textstyle \psi (x)=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(i)}(x)}$ ${\displaystyle \{\psi ^{(i)}(x),\psi ^{(i)}(y)\}=0}$ ${\displaystyle [\psi ^{(i)}(x),\psi ^{(j)}(y)]=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$

Las álgebras parafermiónica y parabosónica están generadas por elementos que obedecen a relaciones de conmutación y anticonmutación. Generalizan el álgebra fermiónica habitual y el álgebra bosónica de la mecánica cuántica. ^[5] El álgebra de Dirac y el álgebra de Duffin-Kemmer-Petiau aparecen como casos especiales del álgebra parafermiónica para el orden p  = 1 y p  = 2, respectivamente. ^[6]

Explicación

Tenga en cuenta que si x e y son puntos separados en forma de espacio, φ ( x ) y φ ( y ) no conmutan ni anticonmutan a menos que p = 1. El mismo comentario se aplica a ψ ( x ) y ψ ( y ). Entonces, si tenemos n puntos separados en forma de espacio x ₁ , ..., x _n ,

${\displaystyle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})|\Omega \rangle }$

corresponde a crear n parabosones idénticos en x ₁ ,..., x _n . Similarmente,

${\displaystyle \psi (x_{1})\cdots \psi (x_{n})|\Omega \rangle }$

corresponde a crear n parafermiones idénticos. Porque estos campos ni conmutan ni anticonmutan

${\displaystyle \phi (x_{\pi (1)})\cdots \phi (x_{\pi (n)})|\Omega \rangle }$

y

${\displaystyle \psi (x_{\pi (1)})\cdots \psi (x_{\pi (n)})|\Omega \rangle }$

da distintos estados para cada permutación π en S n .

Podemos definir un operador de permutación por ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\pi )}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\pi )\left[\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})|\Omega \rangle \right]=\phi (x_{\pi ^{-1}(1)})\cdots \phi (x_{\pi ^{-1}(n)})|\Omega \rangle }$

y

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\pi )\left[\psi (x_{1})\cdots \psi (x_{n})|\Omega \rangle \right]=\psi (x_{\pi ^{-1}(1)})\cdots \psi (x_{\pi ^{-1}(n)})|\Omega \rangle }$

respectivamente. Se puede demostrar que esto está bien definido siempre que solo se restrinja a los estados abarcados por los vectores indicados anteriormente (esencialmente los estados con n partículas idénticas). También es unitario . Además, es una representación valorada por el operador del grupo simétrico S _n y, como tal, podemos interpretarla como la acción de S _n sobre el propio espacio de Hilbert de n partículas, convirtiéndolo en una representación unitaria . ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\pi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Ver también

• Transformación de Klein sobre cómo convertir entre paraestadísticas y estadísticas más convencionales. ^[1]

Referencias

1. Baker, David John; Halvorson, Hans; Swanson, Noel (1 de diciembre de 2015). "La convencionalidad de la paraestadística". La Revista Británica de Filosofía de la Ciencia . Universidad de Pittsburgh. págs. 929–976. doi : 10.1093/bjps/axu018 . Consultado el 17 de marzo de 2024 .
2. "Herbert Sydney (Bert) Verde". Archivado desde el original el 18 de abril de 2012 . Consultado el 30 de octubre de 2011 .
3. HS Green, un método generalizado de cuantificación de campos. Física. Rev. 90, 270–273 (1953). (c)
4. Cattani, M.; Bassalo, JMF (2009). "Estadística Intermedia, Paraestadística, Estadística Fraccionaria y Estadística Gentiliónica". arXiv : 0903.4773 [cond-mat.stat-mech].
5. K. Kanakoglou, C. Daskaloyannis: Capítulo 18 Bosonización y paraestadística, p. 207 y siguientes, en: Sergei D. Silvestrov, Eugen Paal, Viktor Abramov, Alexander Stolin (eds.): Teoría de la mentira generalizada en matemáticas, física y más , 2008, ISBN 978-3-540-85331-2 
6. Ver citas en Plyushchay, Mikhail S; Michel Rausch de Traubenberg (2000). "Raíz cúbica de la ecuación de Klein-Gordon". Letras de Física B. 477 (2000): 276–284. arXiv : hep-th/0001067 . Código Bib : 2000PhLB..477..276P. doi :10.1016/S0370-2693(00)00190-8. S2CID  16600516.