Álgebra de Duffin-Kemmer-Petiau

Álgebra generada por las matrices de Duffin-Kemmer-Petiau

En física matemática , el álgebra de Duffin–Kemmer–Petiau (álgebra DKP) , introducida por RJ Duffin , Nicholas Kemmer y G. Petiau, es el álgebra que se genera a partir de las matrices de Duffin–Kemmer–Petiau. Estas matrices forman parte de la ecuación de Duffin–Kemmer–Petiau que proporciona una descripción relativista de las partículas de espín 0 y espín 1.

El álgebra DKP también se conoce como álgebra de mesones . ^[1]

Definir relaciones

Las matrices de Duffin-Kemmer-Petiau tienen la relación definitoria ^[2]

${\displaystyle \beta ^{a}\beta ^{b}\beta ^{c}+\beta ^{c}\beta ^{b}\beta ^{a}=\beta ^{a}\eta ^{bc}+\beta ^{c}\eta ^{ba}}$

donde representan una matriz diagonal constante . Las matrices de Duffin-Kemmer-Petiau que consisten en elementos diagonales (+1,-1,...,-1) forman parte de la ecuación de Duffin-Kemmer-Petiau. Las matrices DKP de cinco dimensiones se pueden representar como: ^{[3] [4]} ${\displaystyle \eta ^{ab}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \eta ^{ab}}$

${\displaystyle \beta ^{0}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}}$, , , ${\displaystyle \quad \beta ^{1}={\begin{pmatrix}0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \quad \beta ^{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \quad \beta ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&-1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

Estas matrices DKP de cinco dimensiones representan partículas de espín 0. Las matrices DKP para partículas de espín 1 son de 10 dimensiones. ^[3] El álgebra DKP se puede reducir a una suma directa de subálgebras irreducibles para bosones de espín 0 y espín 1, definiéndose las subálgebras mediante reglas de multiplicación para los elementos de base linealmente independientes. ^[5]

Ecuación de Duffin-Kemmer-Petiau

La ecuación de Duffin–Kemmer–Petiau ( ecuación DKP , también: ecuación de Kemmer ) es una ecuación de onda relativista que describe partículas de espín 0 y espín 1 en la descripción del modelo estándar . Para partículas con masa distinta de cero, la ecuación DKP es ^[2]

${\displaystyle (i\hbar \beta ^{a}\partial _{a}-mc)\psi =0}$

donde son matrices de Duffin–Kemmer–Petiau, es la masa de la partícula , su función de onda , la constante de Planck reducida , la velocidad de la luz . Para partículas sin masa, el término se reemplaza por una matriz singular que obedece las relaciones y . ${\displaystyle \beta ^{a}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle mc}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \beta ^{a}\gamma +\gamma \beta ^{a}=\beta ^{a}}$ ${\displaystyle \gamma ^{2}=\gamma }$

La ecuación DKP para espín 0 está estrechamente vinculada a la ecuación de Klein–Gordon ^{[4] [6]} y la ecuación para espín 1 a las ecuaciones de Proca ^[7] . Sufre el mismo inconveniente que la ecuación de Klein–Gordon en el sentido de que requiere probabilidades negativas ^[4] . Además, las ecuaciones de campo hamiltonianas covariantes de De Donder–Weyl se pueden formular en términos de matrices DKP ^{[8] .}

Historia

El álgebra de Duffin-Kemmer-Petiau fue introducida en la década de 1930 por RJ Duffin, ^[9] N. Kemmer ^[10] y G. Petiau. ^[11]

Lectura adicional

• Fernandes, MCB; Vianna, JDM (1999). "Sobre el enfoque generalizado del espacio de fases para las partículas de Duffin–Kemmer–Petiau". Fundamentos de la Física . 29 (2). Springer Science and Business Media LLC: 201–219. doi :10.1023/a:1018869505031. ISSN  0015-9018. S2CID  118277218.
• Fernandes, Marco Cezar B.; Vianna, J. David M. (1998). "Sobre el álgebra de Duffin-Kemmer-Petiau y el espacio de fases generalizado". Revista Brasileña de Física . 28 (4). FapUNIFESP (SciELO): 00. doi : 10.1590/s0103-97331998000400024 . ISSN  0103-9733.
• Sharp, Robert T.; Winternitz, Pavel (2004). "Ecuaciones de Bhabha y Duffin–Kemmer–Petiau: espín cero y espín uno". Simetría en física: en memoria de Robert T. Sharp . Providence, RI: American Mathematical Society. pág. 50 y siguientes. ISBN 0-8218-3409-6.OCLC 53953715  .
• Fainberg, V.Ya.; Pimentel, BM (2000). "Ecuaciones de Duffin–Kemmer–Petiau y Klein–Gordon–Fock para interacciones electromagnéticas, de Yang–Mills y de campos gravitatorios externos: prueba de equivalencia". Physics Letters A . 271 (1–2). Elsevier BV: 16–25. arXiv : hep-th/0003283 . doi :10.1016/s0375-9601(00)00330-3. ISSN  0375-9601. S2CID  9595290.

Referencias

1. Helmstetter, Jacques; Micali, Artibano (12 de marzo de 2010). "Acerca de la estructura de las álgebras de mesones". Avances en álgebras de Clifford aplicadas . 20 (3–4). Springer Science and Business Media LLC: 617–629. doi :10.1007/s00006-010-0213-0. ISSN  0188-7009. S2CID  122175054.
2. Véase la sección introductoria de: Pavlov, Yu V. (2006). "Ecuación de Duffin–Kemmer–Petiau con acoplamiento no mínimo a la curvatura". Gravitation & Cosmology . 12 (2–3): 205–208. arXiv : gr-qc/0610115v1 .
3. Véase, por ejemplo, Boztosun, I.; Karakoc, M.; Yasuk, F.; Durmus, A. (2006). "Soluciones del método de iteración asintótica para la ecuación relativista de Duffin-Kemmer-Petiau". Journal of Mathematical Physics . 47 (6): 062301. arXiv : math-ph/0604040v1 . doi :10.1063/1.2203429. ISSN  0022-2488. S2CID  119152844.
4. Capri, Anton Z. (2002). Mecánica cuántica relativista e introducción a la teoría cuántica de campos. River Edge, NJ: World Scientific. p. 25. ISBN 981-238-136-8.OCLC 51850719  .
5. Fischbach, Ephraim; Nieto, Michael Martin; Scott, CK (1973). "Subálgebras de Duffin-Kemmer-Petiau: Representaciones y aplicaciones". Journal of Mathematical Physics . 14 (12). AIP Publishing: 1760–1774. doi :10.1063/1.1666249. ISSN  0022-2488.
6. Casana, R; Fainberg, V Ya; Lunardi, JT; Pimentel, BM; Teixeira, RG (16 de mayo de 2003). "Campos DKP sin masa en espaciotiempos de Riemann-Cartan". Gravedad clásica y cuántica . 20 (11): 2457–2465. arXiv : gr-qc/0209083v2 . doi :10.1088/0264-9381/20/11/333. ISSN  0264-9381. S2CID  250832154.
7. Kruglov, Sergey (2001). Simetría e interacción electromagnética de campos con multiespín. Huntington, NY: Nova Science Publishers. p. 26. ISBN 1-56072-880-9.OCLC 45202093  .
8. Kanatchikov, Igor V. (2000). "Sobre la formulación de Duffin-Kemmer-Petiau de la dinámica hamiltoniana covariante en la teoría de campos". Informes sobre física matemática . 46 (1–2): 107–112. arXiv : hep-th/9911175v1 . doi :10.1016/s0034-4877(01)80013-6. ISSN  0034-4877. S2CID  13185162.
9. Duffin, RJ (15 de diciembre de 1938). "Sobre las matrices características de los sistemas covariantes". Physical Review . 54 (12). American Physical Society (APS): 1114. doi :10.1103/physrev.54.1114. ISSN  0031-899X.
10. N. Kemmer (10 de noviembre de 1939). "El aspecto de partículas de la teoría de mesones". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias matemáticas y físicas . 173 (952). La Royal Society: 91–116. doi :10.1098/rspa.1939.0131. ISSN  0080-4630. S2CID  121843934.
11. G. Petiau, tesis de la Universidad de París (1936), publicada en Acad. Roy. de Belg., A. Sci. Mem. Collect.vol. 16, N 2, 1 (1936)