En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , un álgebra de operadores es un álgebra de operadores lineales continuos en un espacio vectorial topológico , donde la multiplicación está dada por la composición de aplicaciones .
Los resultados obtenidos en el estudio de las álgebras de operadores a menudo se expresan en términos algebraicos , mientras que las técnicas utilizadas suelen ser altamente analíticas . [1] Aunque el estudio de las álgebras de operadores suele clasificarse como una rama del análisis funcional, tiene aplicaciones directas a la teoría de la representación , la geometría diferencial , la mecánica estadística cuántica , la información cuántica y la teoría cuántica de campos .
Las álgebras de operadores se pueden utilizar para estudiar conjuntos arbitrarios de operadores con poca relación algebraica simultáneamente . Desde este punto de vista, las álgebras de operadores se pueden considerar como una generalización de la teoría espectral de un solo operador. En general, las álgebras de operadores son anillos no conmutativos .
Por lo general, se requiere que un álgebra de operadores esté cerrada en una topología de operadores específica dentro del álgebra completa de operadores lineales continuos. En particular, se trata de un conjunto de operadores con propiedades de clausura tanto algebraicas como topológicas. En algunas disciplinas, dichas propiedades se axiomizan y las álgebras con cierta estructura topológica se convierten en objeto de investigación.
Aunque las álgebras de operadores se estudian en diversos contextos (por ejemplo, álgebras de operadores pseudodiferenciales que actúan sobre espacios de distribuciones ), el término álgebra de operadores se utiliza habitualmente en referencia a álgebras de operadores acotados en un espacio de Banach o, incluso más especialmente, en referencia a álgebras de operadores en un espacio de Hilbert separable , dotado de la topología de norma de operadores .
En el caso de operadores en un espacio de Hilbert, la función adjunta hermítica de los operadores da una involución natural , que proporciona una estructura algebraica adicional que se puede imponer al álgebra. En este contexto, los ejemplos mejor estudiados son las álgebras de operadores autoadjuntas , lo que significa que están cerradas bajo la toma de adjuntos. Estas incluyen las C*-álgebras , las álgebras de von Neumann y las AW*-álgebras . Las C*-álgebras se pueden caracterizar fácilmente de forma abstracta mediante una condición que relaciona la norma, la involución y la multiplicación. Tales C*-álgebras definidas de forma abstracta se pueden identificar con una cierta subálgebra cerrada del álgebra de los operadores lineales continuos en un espacio de Hilbert adecuado. Un resultado similar se aplica a las álgebras de von Neumann.
Las álgebras de operadores autoadjuntos conmutativos pueden considerarse como el álgebra de funciones continuas de valor complejo en un espacio localmente compacto , o la de funciones mensurables en un espacio medible estándar . Por lo tanto, las álgebras de operadores generales a menudo se consideran como generalizaciones no conmutativas de estas álgebras, o la estructura del espacio base en el que se definen las funciones. Este punto de vista se elabora como la filosofía de la geometría no conmutativa , que intenta estudiar varios objetos no clásicos y/o patológicos mediante álgebras de operadores no conmutativas.
Algunos ejemplos de álgebras de operadores que no son autoadjuntas incluyen: