Operador diferencial invariante

En matemáticas y física teórica , un operador diferencial invariante es una especie de mapa matemático de algunos objetos a un objeto de tipo similar. Estos objetos suelen ser funciones en una variedad , funciones con valores vectoriales , campos vectoriales o, más generalmente, secciones de un paquete de vectores . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En un operador diferencial invariante , el término operador diferencial indica que el valor del mapa depende sólo de y de las derivadas de in . La palabra invariante indica que el operador contiene cierta simetría . Esto significa que hay un grupo con una acción grupal sobre las funciones (u otros objetos en cuestión) y el operador conserva esta acción: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Df}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle D(g\cdot f)=g\cdot (Df).}$

Normalmente, la acción del grupo tiene el significado de un cambio de coordenadas (cambio de observador) y la invariancia significa que el operador tiene la misma expresión en todas las coordenadas admisibles.

Invariancia en espacios homogéneos.

Sea M  =  G / H un espacio homogéneo para un grupo de Lie G y un subgrupo de Lie H. Cada representación da lugar a un paquete vectorial ${\displaystyle \rho :H\rightarrow \mathrm {Aut} (\mathbb {V} )}$

${\displaystyle V=G\times _{H}\mathbb {V} \;{\text{where}}\;(gh,v)\sim (g,\rho (h)v)\;\forall \;g\in G,\;h\in H\;{\text{and}}\;v\in \mathbb {V} .}$

Las secciones se pueden identificar con ${\displaystyle \varphi \in \Gamma (V)}$

${\displaystyle \Gamma (V)=\{\varphi :G\rightarrow \mathbb {V} \;:\;\varphi (gh)=\rho (h^{-1})\varphi (g)\;\forall \;g\in G,\;h\in H\}.}$

De esta forma el grupo G actúa sobre secciones vía

${\displaystyle (\ell _{g}\varphi )(g')=\varphi (g^{-1}g').}$

Ahora sean V y W dos paquetes de vectores sobre M . Entonces un operador diferencial

${\displaystyle d:\Gamma (V)\rightarrow \Gamma (W)}$

que asigna secciones de V a secciones de W se llama invariante si

${\displaystyle d(\ell _{g}\varphi )=\ell _{g}(d\varphi ).}$

para todas las secciones en y elementos g en G . Todos los operadores diferenciales invariantes lineales en geometrías parabólicas homogéneas , es decir, cuando G es semisimple y H es un subgrupo parabólico, vienen dados dualmente por homomorfismos de módulos Verma generalizados . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Gamma (V)}$

Invariancia en términos de índices abstractos.

Dadas dos conexiones y una forma , tenemos ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle {\hat {\nabla }}}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \nabla _{a}\omega _{b}={\hat {\nabla }}_{a}\omega _{b}-Q_{ab}{}^{c}\omega _{c}}$

para algún tensor . ^[1] Dada una clase de equivalencia de conexiones , decimos que un operador es invariante si la forma del operador no cambia cuando cambiamos de una conexión en la clase de equivalencia a otra. Por ejemplo, si consideramos la clase de equivalencia de todas las conexiones libres de torsión , entonces el tensor Q es simétrico en sus índices inferiores, es decir . Por lo tanto podemos calcular ${\displaystyle Q_{ab}{}^{c}}$ ${\displaystyle [\nabla ]}$ ${\displaystyle Q_{ab}{}^{c}=Q_{(ab)}{}^{c}}$

${\displaystyle \nabla _{[a}\omega _{b]}={\hat {\nabla }}_{[a}\omega _{b]},}$

donde los corchetes indican simetrización sesgada. Esto muestra la invariancia de la derivada exterior cuando actúa sobre una forma. Las clases de equivalencia de conexiones surgen naturalmente en la geometría diferencial, por ejemplo:

• en geometría conforme, las conexiones de Levi Civita de todas las métricas de la clase conforme dan una clase de equivalencia de conexiones ;
• en geometría proyectiva una clase de equivalencia de conexión viene dada por todas las conexiones que tienen las mismas geodésicas ;
• en geometría CR, las conexiones de Tanaka-Webster dan una clase de equivalencia de conexiones para cada elección de estructura pseudohermitiana

Ejemplos

1. El operador de gradiente habitual que actúa sobre funciones con valores reales en el espacio euclidiano es invariante con respecto a todas las transformaciones euclidianas . ${\displaystyle \nabla }$
2. El diferencial que actúa sobre funciones en una variedad con valores en formas 1 (su expresión está en cualquier coordenada local) es invariante con respecto a todas las transformaciones suaves de la variedad (la acción de la transformación en formas diferenciales es solo el retroceso ).
         ${\displaystyle d=\sum _{j}\partial _{j}\,dx_{j}}$
   
3. De manera más general, la derivada exterior que actúa sobre n -formas de cualquier variedad suave M es invariante con respecto a todas las transformaciones suaves. Se puede demostrar que la derivada exterior es el único operador diferencial lineal invariante entre esos paquetes.
         ${\displaystyle d:\Omega ^{n}(M)\rightarrow \Omega ^{n+1}(M)}$
   
4. El operador de Dirac en física es invariante con respecto al grupo de Poincaré (si elegimos la acción adecuada del grupo de Poincaré sobre funciones con valores de espinor. Sin embargo, esta es una pregunta sutil y si queremos hacer esto matemáticamente riguroso, deberíamos decir que es invariante respecto de un grupo que es doble portada del grupo de Poincaré)
5. La ecuación de Killing conforme es un operador diferencial lineal conformemente invariante entre campos vectoriales y tensores simétricos sin traza.
         ${\displaystyle X^{a}\mapsto \nabla _{(a}X_{b)}-{\frac {1}{n}}\nabla _{c}X^{c}g_{ab}}$
   

Invariancia conforme

• 
  La esfera (aquí mostrada como un círculo rojo) como una variedad homogénea conforme.

Dada una métrica

${\displaystyle g(x,y)=x_{1}y_{n+2}+x_{n+2}y_{1}+\sum _{i=2}^{n+1}x_{i}y_{i}}$

adelante , podemos escribir la esfera como el espacio de generadores del cono nulo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+2}}$ ${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle S^{n}=\{[x]\in \mathbb {RP} _{n+1}\;:\;g(x,x)=0\}.}$

De esta forma, el modelo plano de geometría conforme es la esfera con y P el estabilizador de un punto en . Se conoce una clasificación de todos los operadores diferenciales lineales conformemente invariantes en la esfera (Eastwood y Rice, 1987). ^[2] ${\displaystyle S^{n}=G/P}$ ${\displaystyle G=SO_{0}(n+1,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+2}}$

Ver también

• Operadores diferenciales
• Invariante de Laplace
• Factorización invariante de LPDO

Notas

1. Penrose y Rindler (1987). Spinors y el espacio-tiempo . Monografías de Cambridge sobre física matemática.
2. MG Eastwood y JW Rice (1987). "Operadores diferenciales conformemente invariantes en el espacio de Minkowski y sus análogos curvos". Comunitario. Matemáticas. Física . 109 (2): 207–228. Código Bib : 1987CMaPh.109..207E. doi :10.1007/BF01215221. S2CID  121161256.

^[1]

Referencias

• Eslovaco, enero (1993). Operadores invariantes en variedades conformes. Notas de conferencias de investigación, Universidad de Viena (disertación).
• Kolář, Ivan; Micor, Pedro; Eslovaco, enero (1993). Operadores naturales en geometría diferencial (PDF) . Springer-Verlag, Berlín, Heidelberg, Nueva York. Archivado desde el original (PDF) el 30 de marzo de 2017 . Consultado el 5 de enero de 2011 .
• Eastwood, MG; Arroz, JW (1987). "Operadores diferenciales conformemente invariantes en el espacio de Minkowski y sus análogos curvos". Comunitario. Matemáticas. Física . 109 (2): 207–228. Código Bib : 1987CMaPh.109..207E. doi :10.1007/BF01215221. S2CID  121161256.
• Kroeske, Jens (2008). "Emparejamientos diferenciales bilineales invariantes en geometrías parabólicas". Tesis doctoral de la Universidad de Adelaida . arXiv : 0904.3311 . Código bibliográfico : 2009PhDT.......274K.

1. Dobrev, Vladimir (1988). "Construcción canónica de operadores diferenciales entrelazados asociados a representaciones de grupos de Lie semisimples reales". Rep. Matemáticas. Física . 25 (2): 159–181. Código Bib : 1988RpMP...25..159D. doi :10.1016/0034-4877(88)90050-X.