Invariante de Laplace

En ecuaciones diferenciales , el invariante de Laplace de cualquiera de ciertos operadores diferenciales es una función determinada de los coeficientes y sus derivadas . Consideremos un operador diferencial hiperbólico bivariado de segundo orden.

${\displaystyle \partial _{x}\,\partial _{y}+a\,\partial _{x}+b\,\partial _{y}+c,\,}$

cuyos coeficientes

${\displaystyle a=a(x,y),\ \ b=c(x,y),\ \ c=c(x,y),}$

son funciones suaves de dos variables. Sus invariantes de Laplace tienen la forma

${\displaystyle {\hat {a}}=c-ab-a_{x}\quad {\text{and}}\quad {\hat {b}}=c-ab-b_{y}.}$

Su importancia se debe al teorema clásico:

Teorema : Dos operadores de la forma son equivalentes bajo transformaciones de calibre si y sólo si sus invariantes de Laplace coinciden por pares.

Aquí los operadores

${\displaystyle A\quad {\text{and}}\quad {\tilde {A}}}$

se llaman equivalentes si existe una transformación de calibre que lleva uno al otro:

${\displaystyle {\tilde {A}}g=e^{-\varphi }A(e^{\varphi }g)\equiv A_{\varphi }g.}$

Los invariantes de Laplace pueden considerarse como "restos" de factorización para el operador inicial A :

${\displaystyle \partial _{x}\,\partial _{y}+a\,\partial _{x}+b\,\partial _{y}+c=\left\{{\begin{array}{c}(\partial _{x}+b)(\partial _{y}+a)-ab-a_{x}+c,\\(\partial _{y}+a)(\partial _{x}+b)-ab-b_{y}+c.\end{array}}\right.}$

Si al menos uno de los invariantes de Laplace no es igual a cero, es decir

${\displaystyle c-ab-a_{x}\neq 0\quad {\text{and/or}}\quad c-ab-b_{y}\neq 0,}$

Entonces, esta representación es un primer paso de las transformaciones de Laplace-Darboux utilizadas para resolver ecuaciones diferenciales parciales lineales bivariadas no factorizables (EDPL).

Si ambos invariantes de Laplace son iguales a cero, es decir

${\displaystyle c-ab-a_{x}=0\quad {\text{and}}\quad c-ab-b_{y}=0,}$

entonces el operador diferencial A es factorizable y la ecuación diferencial parcial lineal correspondiente de segundo orden es resoluble.

Se han introducido invariantes de Laplace para un operador diferencial parcial lineal (OPPL) bivariado de orden 2 y de tipo hiperbólico. Son un caso particular de invariantes generalizados que se pueden construir para un OPPL bivariado de orden y tipo arbitrarios; véase Factorización invariante de OPPL .

Véase también

• Derivada parcial
• Invariante (matemáticas)
• Teoría invariante

Referencias

• G. Darboux, "Leçons sur la théorie général des Surfaces", Gauthier-Villars (1912) (Edición: Segunda)
• G. Tzitzeica G., "Sur un teorema de M. Darboux". Comptes Rendu de l'Academie des Sciences 150 (1910), págs. 955–956; 971–974
• L. Bianchi, "Lezioni di geometria diferenziale", Zanichelli, Bolonia, (1924)
• AB Shabat, "Sobre la teoría de las transformaciones de Laplace-Darboux". J. Theor. Math. Phys. Vol. 103, N.1, págs. 170-175 (1995) [1]
• AN Leznov, MP Saveliev. "Métodos teóricos de grupo para la integración en sistemas dinámicos no lineales" (en ruso), Moscú, Nauka (1985). Traducción al inglés: Progress in Physics, 15. Birkhauser Verlag, Basilea (1992)