Operador de Paneitz

En el campo matemático de la geometría diferencial , el operador de Paneitz es un operador diferencial de cuarto orden definido en una variedad de Riemann de dimensión n . Recibe su nombre en honor a Stephen Paneitz, quien lo descubrió en 1983, y cuya preimpresión se publicó posteriormente de manera póstuma en Paneitz 2008. De hecho, el mismo operador fue encontrado anteriormente en el contexto de la supergravedad conforme por E. Fradkin y A. Tseytlin en 1982 (Phys Lett B 110 (1982) 117 y Nucl Phys B 1982 (1982) 157). Viene dado por la fórmula

${\displaystyle P=\Delta ^{2}-\delta \left\{(n-2)J-4V\cdot \right\}d+(n-4)Q}$

donde Δ es el operador de Laplace–Beltrami , d es la derivada exterior , δ es su adjunto formal, V es el tensor de Schouten , J es la traza del tensor de Schouten y el punto denota la contracción del tensor en cualquier índice. Aquí Q es el invariante escalar

${\displaystyle (-4|V|^{2}+nJ^{2}+2\Delta J)/4,}$

donde Δ es el laplaciano positivo. En cuatro dimensiones esto produce la curvatura Q.

El operador es especialmente importante en geometría conforme , porque en un sentido adecuado depende sólo de la estructura conforme . Otro operador de este tipo es el laplaciano conforme . Pero, mientras que el laplaciano conforme es de segundo orden, con símbolo principal un múltiplo del operador de Laplace-Beltrami, el operador de Paneitz es de cuarto orden, con símbolo principal el cuadrado del operador de Laplace-Beltrami. El operador de Paneitz es conformemente invariante en el sentido de que envía densidades conformes de peso 2 − n /2 a densidades conformes de peso −2 − n /2 . Concretamente, utilizando la trivialización canónica de los fibrados de densidad en presencia de una métrica, el operador de Paneitz P puede representarse en términos de un representante de la métrica de Riemann g como un operador ordinario sobre funciones que se transforma según bajo un cambio conforme g ↦ Ω ² g según la regla

${\displaystyle \Omega ^{n/2+2}P(g)\phi =P(\Omega ^{2}g)\Omega ^{n/2-2}\phi .\,}$

El operador se derivó originalmente calculando específicamente los términos de corrección de orden inferior para asegurar la invariancia conforme. Investigaciones posteriores han situado al operador de Paneitz en una jerarquía de operadores análogos invariantes conformes sobre densidades: los operadores GJMS .

El operador de Paneitz ha sido estudiado más a fondo en la dimensión cuatro, donde aparece de forma natural en relación con problemas extremos para el determinante funcional del laplaciano (a través de la fórmula de Polyakov ; véase Branson y Ørsted 1991). Sólo en la dimensión cuatro, el operador de Paneitz es el operador GJMS "crítico", lo que significa que hay una parte escalar residual (la curvatura Q) que sólo se puede recuperar mediante análisis asintótico. El operador de Paneitz aparece también en problemas extremos para la desigualdad de Moser-Trudinger en la dimensión cuatro (Chang 1999).

Operador de CR Paneitz

Existe una estrecha conexión entre la geometría conforme de 4 dimensiones y la geometría CR de 3 dimensiones asociada con el estudio de las variedades CR . Hay un operador de cuarto orden definido naturalmente en las variedades CR introducido por C. Robin Graham y John Lee que tiene muchas propiedades similares al operador Paneitz clásico definido en las variedades Riemannianas de 4 dimensiones. ^[1] Este operador en la geometría CR se llama operador Paneitz CR . El operador definido por Graham y Lee, aunque definido en todas las variedades CR de dimensión impar, no se sabe que sea covariante conforme en la dimensión real 5 y superior. La covarianza conforme de este operador ha sido establecida en la dimensión real 3 por Kengo Hirachi . Siempre es un operador no negativo en la dimensión real 5 y superior. Aquí, a diferencia de cambiar la métrica por un factor conforme como en el caso Riemanniano discutido anteriormente, uno cambia la forma de contacto en la variedad CR 3 por un factor conforme. La no negatividad del operador CR Paneitz en dimensión 3 es una condición invariante CR como se demuestra a continuación. Esto se desprende de las propiedades covariantes conformes del operador CR Paneitz observadas por primera vez por Kengo Hirachi . ^[2] Además, el operador CR Paneitz juega un papel importante en la obtención del límite inferior agudo del valor propio para el Laplaciano de Kohn. Este es un resultado de Sagun Chanillo, Hung-Lin Chiu y Paul C. Yang . ^[3] Este límite inferior agudo del valor propio es el análogo exacto en geometría CR del famoso límite inferior de André Lichnerowicz para el operador de Laplace-Beltrami en variedades riemannianas compactas. Permite incrustar globalmente variedades CR compactas, estrictamente pseudoconvexas y abstractas en . Más precisamente, las condiciones en [3] para incrustar una variedad CR en se expresan de forma invariante CR y no perturbativamente. También existe una recíproca parcial del resultado anterior, donde los autores, JS Case, S. Chanillo, P. Yang, obtienen condiciones que garantizan que, cuando se incrustan, las variedades CR compactas tienen operadores de Paneitz CR no negativos. ^[4] La definición formal del operador de Paneitz CR en variedades CR de dimensión real tres es la siguiente (el subíndice es para recordar al lector que se trata de un operador de cuarto orden) ${\displaystyle C^{n}}$ ${\displaystyle C^{n}}$ ${\displaystyle P_{4}}$ ${\displaystyle 4}$

${\displaystyle P_{4}\phi ={\frac {1}{8}}((\Box _{b}{\overline {\Box _{b}}}+{\overline {\Box _{b}}}\Box _{b})\phi +8Im(A^{11}\phi _{1})_{1})}$

${\displaystyle \Box _{b}}$denota el Laplaciano de Kohn que juega un papel fundamental en la Geometría CR y varias variables complejas y fue introducido por Joseph J. Kohn . Se puede consultar el complejo tangencial de Cauchy-Riemann (Laplaciano de Kohn, complejo de Kohn-Rossi) para la definición del Laplaciano de Kohn. Además, denota el tensor de torsión de Webster-Tanaka y la derivada covariante de la función con respecto a la conexión de Webster-Tanaka. Se pueden encontrar descripciones de la conexión de Webster-Tanaka, el tensor de torsión y de curvatura en los artículos de John M. Lee y Sidney M. Webster. ^{[5] [6]} Hay otra forma de ver el operador de Paneitz CR en dimensión 3. John M. Lee construyó un operador de tercer orden que tiene la propiedad de que el núcleo de consiste exactamente en las funciones pluriarmónicas CR (partes reales de funciones holomorfas CR). ^[5] El operador de Paneitz que se muestra arriba es exactamente la divergencia de este operador de tercer orden . El operador de tercer orden se define de la siguiente manera: ${\displaystyle A^{11}}$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{3}}$

${\displaystyle P_{3}\phi =({{\phi _{\bar {1}}}^{\bar {1}}}_{1}+{\sqrt {-1}}A_{11}\phi ^{1})\theta ^{1}}$

Aquí está el tensor de torsión de Webster-Tanaka. Las derivadas se toman utilizando la conexión de Webster-Tanaka y es la forma dual 1 del vector tangente CR-holomórfico que define la estructura CR en la variedad compacta. Por lo tanto, envía funciones a formas. La divergencia de dicho operador llevará funciones a funciones. El operador de tercer orden construido por J. Lee solo caracteriza funciones pluriarmónicas CR en variedades CR de dimensión real tres. ${\displaystyle A_{11}}$ ${\displaystyle \theta ^{1}}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle (1,0)}$

La fórmula de transformación covariante de Hirachi para en variedades CR tridimensionales es la siguiente. Sea la variedad CR , donde es la forma de contacto y la estructura CR en el núcleo de que está en los planos de contacto. Transformemos la forma de contacto de fondo mediante una transformación conforme a . Nótese que esta nueva forma de contacto obtenida mediante un cambio conforme de la antigua forma de contacto o forma de contacto de fondo, no ha cambiado el núcleo de . Es decir y tienen el mismo núcleo, es decir, los planos de contacto han permanecido inalterados. La estructura CR se ha mantenido inalterada. Ahora se ve que el operador CR de Paneitz para la nueva forma de contacto está relacionado con el operador CR de Paneitz para la forma de contacto mediante la fórmula de Hirachi: ${\displaystyle P_{4}}$ ${\displaystyle (M,\theta ,J)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\tilde {\theta }}=e^{2f}\theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\tilde {\theta }}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle {\tilde {P}}_{4}}$ ${\displaystyle {\tilde {\theta }}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\tilde {P}}_{4}=e^{-4f}P_{4}}$

A continuación, observe que las formas de volumen en la variedad satisfacen ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d{\tilde {V}}={\tilde {\theta }}\wedge d{\tilde {\theta }}=e^{4f}\theta \wedge d\theta =e^{4f}dV}$

Utilizando la fórmula de transformación de Hirachi, se deduce que,

${\displaystyle \int _{M}{\tilde {P}}_{4}\phi \phi d{\tilde {V}}=\int _{M}P_{4}\phi \phi dV}$

Así que fácilmente concluimos que:

${\displaystyle \int _{M}P_{4}\phi \phi dV}$

es un invariante CR. Es decir, la integral que se muestra arriba tiene el mismo valor para diferentes formas de contacto que describen la misma estructura CR . ${\displaystyle J}$

El operador es un operador autoadjunto real. En variedades CR como donde el tensor de torsión de Webster-Tanaka es cero, se ve a partir de la fórmula mostrada anteriormente que solo sobreviven los términos principales que involucran al laplaciano de Kohn. A continuación, a partir de las fórmulas de conmutación del tensor dadas en [5], se puede verificar fácilmente que los operadores conmutan cuando el tensor de torsión de Webster-Tanaka se desvanece. Más precisamente, se tiene ${\displaystyle P_{4}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \Box _{b},{\overline {\Box _{b}}}}$ ${\displaystyle A_{11}}$

${\displaystyle [\Box _{b},{\overline {\Box _{b}}}]=4{\sqrt {-1}}ImQ}$

dónde

${\displaystyle Q\phi =2{\sqrt {-1}}(A_{11}\phi _{1})_{1}}$

Por lo tanto, son diagonalizables simultáneamente bajo el supuesto de torsión cero. Observe a continuación que y tienen la misma secuencia de valores propios que también son forzosamente reales. Por lo tanto, concluimos de la fórmula para que las estructuras CR que tienen torsión cero tienen operadores de Paneitz CR que no son negativos. El artículo [4], entre otras cosas, muestra que los elipsoides reales en tienen una estructura CR heredada de la estructura compleja de cuyo operador de Paneitz CR no es negativo. Esta estructura CR en elipsoides tiene torsión Webster-Tanaka que no se desvanece. Por lo tanto, [4] proporciona los primeros ejemplos de variedades CR donde el operador de Paneitz CR no es negativo y el tensor de torsión tampoco se desvanece. Dado que hemos observado anteriormente que el Paneitz CR es la divergencia de un operador cuyo núcleo son las funciones pluriarmónicas, también se deduce que el núcleo del operador de Paneitz CR contiene todas las funciones pluriarmónicas CR. Por lo tanto, el núcleo del operador CR de Paneitz, en marcado contraste con el caso de Riemann, tiene un núcleo de dimensión infinita. Los resultados sobre cuándo el núcleo es exactamente la función pluriarmónica, la naturaleza y el papel del espacio suplementario en el núcleo, etc., se pueden encontrar en el artículo citado como [4] a continuación. ${\displaystyle \Box _{b},{\overline {\Box _{b}}}}$ ${\displaystyle \Box _{b}}$ ${\displaystyle {\overline {\Box _{b}}}}$ ${\displaystyle P_{4}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle C^{2}}$

Una de las principales aplicaciones del operador CR Paneitz y los resultados en [3] son ​​el análogo CR del teorema de masa positiva debido a Jih-Hsin Cheng, Andrea Malchiodi y Paul C. Yang . ^[7] Esto permite obtener resultados sobre el problema CR Yamabe .

Se pueden obtener más datos relacionados con el papel del operador CR de Paneitz en la geometría CR del artículo Variedad CR .

Véase también

• Conjetura de Calabi
• Ecuaciones de Monge-Ampere
• Conjetura de masa positiva
• Conjetura de Yamabe

Referencias

1. Graham, C. Robin; Lee, John M. (1988). "Soluciones suaves de laplacianos degenerados en dominios estrictamente pseudoconvexos". Duke Mathematical Journal . 57 (3): 697–720. doi :10.1215/S0012-7094-88-05731-6.
2. Hirachi, Kengo (1993). "Invariantes pseudohermíticos escalares y el núcleo de Szegő en variedades CR tridimensionales". Complex Geometry (Osaka 1990) . Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. Vol. 143. Nueva York: Marcel Dekker. págs. 67–76.
3. Chanillo, Sagún; Chiu, Hung-Lin; Yang, Paul C. (2012). "Incorporabilidad para colectores CR tridimensionales e invariantes CR Yamabe". Revista de Matemáticas de Duke . 161 (15): 2909–2921. arXiv : 1007.5020 . doi :10.1215/00127094-1902154. S2CID  304301.
4. Case, Jeffrey S.; Chanillo, Sagun; Yang, Paul C. (2016). "El operador CR de Paneitz y la estabilidad de funciones pluriarmónicas CR". Avances en Matemáticas . 287 : 109–122. arXiv : 1502.01994 . doi : 10.1016/j.aim.2015.10.002 .
5. Lee, John M. (1988). "Estructuras pseudo-Einstein en variedades CR". American Journal of Mathematics . 110 (1): 157–178. doi :10.2307/2374543. JSTOR  2374543.
6. Webster, Sidney M. (1978). "Estructuras pseudohermíticas en una hipersuperficie real". Journal of Differential Geometry . 13 : 25–41. doi : 10.4310/jdg/1214434345 .
7. Cheng, Jih-Hsin; Malchiodi, Andrea; Yang, Paul (21 de febrero de 2017). "Un teorema de masa positiva en la geometría de Cauchy-Riemann tridimensional". Avances en Matemáticas . 308 : 276–347. arXiv : 1312.7764 . Código Bibliográfico :2013arXiv1312.7764C. doi : 10.1016/j.aim.2016.12.012 .

• Branson, Thomas P.; Ørsted, Bent (1991), "Determinantes funcionales explícitos en cuatro dimensiones", Actas de la American Mathematical Society , 113 (3): 669–682, doi : 10.2307/2048601 , ISSN  0002-9939, JSTOR  2048601, MR  1050018.
• Chang, Sun-Yung A. (1999), "Un operador diferencial de cuarto orden en geometría conforme", en M. Christ; C. Kenig; C. Sadorsky (eds.), Análisis armónico y ecuaciones diferenciales parciales; Ensayos en honor a Alberto P. Calderón , Chicago Lectures in Mathematics, págs. 127–150.
• Paneitz, Stephen M. (2008), "Un operador diferencial covariante conforme de cuarto grado para variedades pseudo-riemannianas arbitrarias (resumen)", Simetría, integrabilidad y geometría: métodos y aplicaciones , 4 : Documento 036, 3, arXiv : 0803.4331 , Bibcode :2008SIGMA...4..036P, doi :10.3842/SIGMA.2008.036, ISSN  1815-0659, MR  2393291, S2CID  115155901.