Un sistema numeral es un sistema de escritura para expresar números; es decir, una notación matemática para representar números de un conjunto dado, utilizando dígitos u otros símbolos de manera consistente.
La misma secuencia de símbolos puede representar distintos números en distintos sistemas numéricos. Por ejemplo, "11" representa el número once en el sistema numérico decimal o de base 10 (hoy en día, el sistema más común a nivel mundial), el número tres en el sistema numérico binario o de base 2 (utilizado en las computadoras modernas) y el número dos en el sistema numérico unario (utilizado para contar puntajes).
El número que representa el numeral se denomina valor. No todos los sistemas numéricos pueden representar el mismo conjunto de números; por ejemplo, los números romanos no pueden representar el número cero.
Idealmente, un sistema numérico debería:
Por ejemplo, la representación decimal habitual da a cada número natural distinto de cero una representación única como una secuencia finita de dígitos, comenzando con un dígito distinto de cero.
Los sistemas numerales a veces se denominan sistemas numéricos , pero ese nombre es ambiguo, ya que podría referirse a diferentes sistemas de números, como el sistema de números reales , el sistema de números complejos , varios sistemas de números hipercomplejos , el sistema de números p -ádicos , etc. Sin embargo, dichos sistemas no son el tema de este artículo.
El primer sistema numérico posicional escrito verdadero se considera el sistema numérico hindú-arábigo . Este sistema se estableció en el siglo VII en la India, [1] pero aún no estaba en su forma moderna porque el uso del dígito cero aún no había sido ampliamente aceptado. En lugar de un cero, a veces los dígitos se marcaban con puntos para indicar su significado, o se usaba un espacio como marcador de posición. El primer uso ampliamente reconocido del cero fue en 876. [2] Los numerales originales eran muy similares a los modernos, incluso hasta los glifos utilizados para representar dígitos. [1]
En el siglo XIII, los números arábigos occidentales fueron aceptados en los círculos matemáticos europeos ( Fibonacci los utilizó en su Liber Abaci ). Comenzaron a ser de uso común en el siglo XV. [3] A fines del siglo XX, prácticamente todos los cálculos no computarizados del mundo se realizaban con números arábigos, que han reemplazado a los sistemas numéricos nativos en la mayoría de las culturas.
La edad exacta de los numerales mayas no está clara, pero es posible que sean más antiguos que el sistema hindú-árabe. El sistema era vigesimal (base 20), por lo que tiene veinte dígitos. Los mayas usaban un símbolo de concha para representar el cero. Los números se escribían verticalmente, con las unidades en la parte inferior. Los mayas no tenían un equivalente del separador decimal moderno , por lo que su sistema no podía representar fracciones.
El sistema de numeración tailandés es idéntico al sistema de numeración hindú-arábigo, salvo por los símbolos que se utilizan para representar los dígitos. El uso de estos dígitos es menos común en Tailandia que antes, pero todavía se utilizan junto con los números arábigos.
Los numerales de varillas, las formas escritas de las varillas de conteo que usaban antiguamente los matemáticos chinos y japoneses , son un sistema posicional decimal capaz de representar no solo el cero sino también los números negativos. Las propias varillas de conteo son anteriores al sistema de numeración hindú-arábigo. Los numerales de Suzhou son variantes de los numerales de varillas.
El sistema de numeración más comúnmente utilizado es el decimal . A los matemáticos indios se les atribuye el desarrollo de la versión entera, el sistema de numeración hindú-arábigo . [4] Aryabhata de Kusumapura desarrolló la notación de valor posicional en el siglo V y un siglo después Brahmagupta introdujo el símbolo del cero. El sistema se extendió lentamente a otras regiones circundantes como Arabia debido a sus actividades comerciales y militares con la India. Los matemáticos de Oriente Medio ampliaron el sistema para incluir potencias negativas de 10 (fracciones), como se registra en un tratado del matemático sirio Abu'l-Hasan al-Uqlidisi en 952-953, y la notación de punto decimal fue introducida [ ¿cuándo? ] por Sind ibn Ali , quien también escribió el primer tratado sobre numeración arábiga. El sistema de numeración hindú-arábigo se extendió luego a Europa debido al comercio de los comerciantes, y los dígitos utilizados en Europa se denominan numeración arábiga , ya que los aprendieron de los árabes.
El sistema de numeración más simple es el sistema de numeración unario , en el que cada número natural se representa mediante un número correspondiente de símbolos. Si se elige el símbolo / , por ejemplo, entonces el número siete se representaría mediante /////// . Las marcas de conteo representan uno de esos sistemas que todavía se usa comúnmente. El sistema unario solo es útil para números pequeños, aunque juega un papel importante en la informática teórica . La codificación gamma de Elias , que se usa comúnmente en la compresión de datos , expresa números de tamaño arbitrario utilizando unario para indicar la longitud de un numeral binario.
La notación unaria se puede abreviar introduciendo símbolos diferentes para ciertos valores nuevos. Muy comúnmente, estos valores son potencias de 10; por ejemplo, si / representa uno, − diez y + 100, entonces el número 304 se puede representar de forma compacta como +++ //// y el número 123 como + − − /// sin necesidad de cero. Esto se llama notación de valor de signo . El antiguo sistema de numeración egipcio era de este tipo, y el sistema de numeración romano fue una modificación de esta idea.
Aún más útiles son los sistemas que emplean abreviaturas especiales para las repeticiones de símbolos; por ejemplo, si se utilizan las primeras nueve letras del alfabeto para estas abreviaturas, donde A representa "una ocurrencia", B "dos ocurrencias", y así sucesivamente, se podría escribir C+ D/ para el número 304 (el número de estas abreviaturas a veces se denomina la base del sistema). Este sistema se utiliza para escribir numerales chinos y otros numerales del este de Asia basados en el chino. El sistema numérico del idioma inglés es de este tipo ("trescientos [y] cuatro"), al igual que los de otros idiomas hablados, independientemente de los sistemas escritos que hayan adoptado. Sin embargo, muchos idiomas utilizan mezclas de bases y otras características; por ejemplo, 79 en francés es soixante dix-neuf ( 60 + 10 + 9 ) y en galés es pedwar ar bymtheg a thrigain ( 4 + (5 + 10) + (3 × 20) ) o (algo arcaico) pedwar ugain namyn un ( 4 × 20 − 1 ). En inglés, se podría decir "four score less one", como en el famoso Discurso de Gettysburg que representa "87 years ago" como "four counts and seven years ago".
Más elegante es el sistema posicional , también conocido como notación de valor posicional. Los sistemas posicionales se clasifican por su base o radix , que es el número de símbolos llamados dígitos que utiliza el sistema. En la base 10, se utilizan diez dígitos diferentes 0, ..., 9 y la posición de un dígito se utiliza para indicar la potencia de diez por la que se debe multiplicar el dígito, como en 304 = 3×100 + 0×10 + 4×1 o más precisamente 3×10 2 + 0×10 1 + 4×10 0 . El cero, que no es necesario en los otros sistemas, es de importancia crucial aquí, para poder "saltarse" una potencia. El sistema de numeración hindú-arábigo, que se originó en la India y ahora se utiliza en todo el mundo, es un sistema de base 10 posicional.
La aritmética es mucho más fácil en los sistemas posicionales que en los aditivos anteriores; además, los sistemas aditivos necesitan una gran cantidad de símbolos diferentes para las diferentes potencias de 10; un sistema posicional necesita solo diez símbolos diferentes (suponiendo que utiliza la base 10). [5]
El sistema decimal posicional es el de uso universal en la escritura humana. También se utiliza el sistema decimal de base 1000 (aunque no de forma universal), agrupando los dígitos y considerando una secuencia de tres dígitos decimales como un solo dígito. Este es el significado de la notación común 1.000.234.567 que se utiliza para números muy grandes.
En informática, los principales sistemas de numeración se basan en el sistema posicional en base 2 ( sistema de numeración binario ), con dos dígitos binarios , 0 y 1. Comúnmente se emplean sistemas posicionales obtenidos agrupando los dígitos binarios por tres ( sistema de numeración octal ) o por cuatro ( sistema de numeración hexadecimal ). Para números enteros muy grandes se emplean las bases 2 32 o 2 64 (agrupando los dígitos binarios por 32 o 64, la longitud de la palabra máquina ), como, por ejemplo, en GMP .
En ciertos sistemas biológicos se emplea el sistema de codificación unaria . Los números unarios se utilizan en los circuitos neuronales responsables de la producción del canto de los pájaros . [6] El núcleo del cerebro de los pájaros cantores que desempeña un papel tanto en el aprendizaje como en la producción del canto de los pájaros es el centro vocal superior (CVH ). Las señales de mando para las diferentes notas del canto de los pájaros emanan de diferentes puntos del CVH. Esta codificación funciona como codificación espacial, que es una estrategia eficiente para los circuitos biológicos debido a su inherente simplicidad y robustez.
Los numerales utilizados al escribir números con dígitos o símbolos se pueden dividir en dos tipos que podrían llamarse numerales aritméticos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y numerales geométricos (1, 10, 100, 1000, 10000 ...), respectivamente. Los sistemas de signo-valor utilizan solo los numerales geométricos y los sistemas posicionales usan solo los numerales aritméticos. Un sistema de signo-valor no necesita numerales aritméticos porque se forman por repetición (excepto el sistema jónico ), y un sistema posicional no necesita numerales geométricos porque se forman por posición. Sin embargo, el lenguaje hablado utiliza tanto numerales aritméticos como geométricos.
En algunas áreas de la informática, se utiliza un sistema posicional de base k modificado, llamado numeración biyectiva , en el que los dígitos 1, 2, ..., k ( k ≥ 1 ) y cero se representan mediante una cadena vacía. Esto establece una biyección entre el conjunto de todas esas cadenas de dígitos y el conjunto de números enteros no negativos, evitando la no unicidad causada por los ceros iniciales. La numeración biyectiva en base k también se llama notación k -ádica, que no debe confundirse con los números p -ádicos . La numeración biyectiva en base 1 es lo mismo que unaria.
En un sistema de numeración de base posicional b (siendo b un número natural mayor que 1 conocido como el radix o base del sistema), se utilizan b símbolos básicos (o dígitos) correspondientes a los primeros b números naturales incluido el cero. Para generar el resto de los numerales, se utiliza la posición del símbolo en la figura. El símbolo en la última posición tiene su propio valor, y a medida que se mueve hacia la izquierda su valor se multiplica por b .
Por ejemplo, en el sistema decimal (base 10), el numeral 4327 significa ( 4 ×10 3 ) + ( 3 ×10 2 ) + ( 2 ×10 1 ) + ( 7 ×10 0 ) , teniendo en cuenta que 10 0 = 1 .
En general, si b es la base, se escribe un número en el sistema de numeración de base b expresándolo en la forma a n b n + a n − 1 b n − 1 + a n − 2 b n − 2 + ... + a 0 b 0 y escribiendo los dígitos enumerados a n a n − 1 a n − 2 ... a 0 en orden descendente. Los dígitos son números naturales entre 0 y b − 1 , ambos inclusive.
Si en un texto (como este) se habla de bases múltiples y existe alguna ambigüedad, se añade la base (representada en base 10) en subíndice a la derecha del número, de la siguiente manera: base numérica . A menos que el contexto lo especifique, los números sin subíndice se consideran decimales.
Si se utiliza un punto para dividir los dígitos en dos grupos, también se pueden escribir fracciones en el sistema posicional. Por ejemplo, el numeral de base 2 10,11 denota 1×2 1 + 0×2 0 + 1×2 −1 + 1×2 −2 = 2,75 .
En general, los números en el sistema base b tienen la forma:
Los números b k y b − k son los pesos de los dígitos correspondientes. La posición k es el logaritmo del peso correspondiente w , es decir . La posición más alta utilizada está cerca del orden de magnitud del número.
El número de marcas de conteo requeridas en el sistema de numeración unario para describir el peso habría sido w . En el sistema posicional, el número de dígitos requeridos para describirlo es solo , para k ≥ 0. Por ejemplo, para describir el peso 1000, se necesitan cuatro dígitos porque . El número de dígitos requeridos para describir la posición es (en las posiciones 1, 10, 100,... solo para simplificar en el ejemplo decimal).
Un número tiene una expansión terminal o repetitiva si y solo si es racional ; esto no depende de la base. Un número que termina en una base puede repetirse en otra (por lo tanto, 0,3 10 = 0,0100110011001... 2 ). Un número irracional permanece aperiódico (con un número infinito de dígitos que no se repiten) en todas las bases integrales. Por lo tanto, por ejemplo en base 2, π = 3,1415926... 10 se puede escribir como el aperiódico 11,001001000011111... 2 .
Colocar sobrescrituras , n , o puntos, ṅ , sobre los dígitos comunes es una convención que se utiliza para representar expansiones racionales repetidas. Por lo tanto:
Si b = p es un número primo , se pueden definir numerales de base p cuya expansión hacia la izquierda nunca se detiene; estos se llaman números p -ádicos .
También es posible definir una variación de la base b en la que los dígitos pueden ser positivos o negativos; esto se llama representación de dígitos con signo .
Más general es utilizar una notación de base mixta (aquí escrita little-endian ) como para , etc.
Esto se utiliza en Punycode , un aspecto del cual es la representación de una secuencia de números enteros no negativos de tamaño arbitrario en forma de una secuencia sin delimitadores, de "dígitos" de una colección de 36: a–z y 0–9, que representan 0–25 y 26–35 respectivamente. También existen los llamados valores umbral ( ) que son fijos para cada posición en el número. Un dígito (en una posición dada en el número) que es menor que su valor umbral correspondiente significa que es el dígito más significativo, por lo tanto, en la cadena este es el final del número, y el siguiente símbolo (si está presente) es el dígito menos significativo del siguiente número.
Por ejemplo, si el valor umbral para el primer dígito es b (es decir, 1), entonces a (es decir, 0) marca el final del número (tiene solo un dígito), por lo que en números de más de un dígito, el rango del primer dígito es solo b–9 (es decir, 1–35), por lo tanto, el peso b 1 es 35 en lugar de 36. De manera más general, si t n es el umbral para el n -ésimo dígito, es fácil demostrar que . Supongamos que los valores umbral para el segundo y tercer dígito son c (es decir, 2), entonces el rango del segundo dígito es a–b (es decir, 0–1) con el segundo dígito siendo el más significativo, mientras que el rango es c–9 (es decir, 2–35) en presencia de un tercer dígito. Generalmente, para cualquier n , el peso del ( n + 1)-ésimo dígito es el peso del anterior multiplicado por (36 − umbral del n -ésimo dígito). Por lo tanto, el peso del segundo símbolo es . Y el peso del tercer símbolo es .
Así que tenemos la siguiente secuencia de números con un máximo de 3 dígitos:
a (0), ba (1), ca (2), ..., 9 a (35), bb (36), cb (37), ..., 9 b (70), bca (71), ..., 99 a (1260), bcb (1261), ..., 99 b (2450).
A diferencia de un sistema numérico regular basado en n , hay números como 9 b , donde 9 y b representan 35 cada uno; sin embargo, la representación es única porque ac y aca no están permitidos: la primera a terminaría cada uno de estos números.
La flexibilidad en la elección de valores umbral permite la optimización del número de dígitos dependiendo de la frecuencia de aparición de números de distintos tamaños.
El caso con todos los valores umbral iguales a 1 corresponde a la numeración biyectiva , donde los ceros corresponden a separadores de números con dígitos distintos de cero.
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