Modelo Dixit-Stiglitz

Modelo económico de competencia monopolística

El modelo de Dixit-Stiglitz es un modelo de competencia monopolística desarrollado por Avinash Dixit y Joseph Stiglitz (1977). ^[1] Se ha utilizado en muchos campos de la economía, incluida la macroeconomía , la geografía económica y la teoría del comercio internacional . El modelo formaliza las preferencias de los consumidores por la variedad de productos mediante el uso de una función CES . Los intentos anteriores de proporcionar un modelo que tuviera en cuenta la preferencia por la variedad (como el modelo de ubicación de Harold Hotelling ) fueron indirectos y no lograron proporcionar una forma fácilmente interpretable y utilizable para estudios posteriores. En el modelo de Dixit-Stiglitz, la preferencia por la variedad es inherente al supuesto de preferencias monótonas porque un consumidor con tales preferencias prefiere tener un promedio de dos paquetes de bienes cualesquiera en lugar de extremos.

Derivación matemática

El modelo comienza con una función de utilidad CES estándar :

${\displaystyle u=\left[\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\right]^{\frac {\sigma }{\sigma -1}}}$

donde N es el número de bienes disponibles, x _i es la cantidad del bien i y σ es la elasticidad de sustitución . Al establecer la restricción de que σ > 1 se garantiza que las preferencias serán convexas y, por lo tanto, monótonas para cualquier rango de optimización. Además, todas las funciones CES son homogéneas de grado 1 y, por lo tanto, representan preferencias homotéticas .

Además el consumidor tiene un presupuesto definido por:

${\displaystyle B=\{{\boldsymbol {x}}:\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}\leq M\}}$

Para cualquier consumidor racional, el objetivo es maximizar sus funciones de utilidad sujetas a su restricción presupuestaria (M), que se establece de forma exógena . Este proceso nos permite calcular la demanda marshalliana de un consumidor . Matemáticamente, esto significa que el consumidor está trabajando para lograr:

${\displaystyle \max\{u=[\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}]^{\frac {\sigma }{\sigma -1}}\}\ st.\ {\boldsymbol {x}}\in B}$

Dado que las funciones de utilidad son ordinales en lugar de cardinales, cualquier transformación monótona de una función de utilidad representa las mismas preferencias. Por lo tanto, el problema de optimización restringida anterior es análogo a:

${\displaystyle \max\{u=\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\}\ st.\ {\boldsymbol {x}}\in B}$

ya que es estrictamente creciente. ${\displaystyle f(u)=u^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}}$

Usando un multiplicador de Lagrange podemos convertir el problema primal anterior en el dual siguiente (ver Dualidad )

${\displaystyle \nabla =\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}-\lambda [\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}-M]}$

Tomando condiciones de primer orden de dos bienes x _i y x _j tenemos

${\displaystyle \nabla x_{i}={\frac {\sigma -1}{\sigma }}x_{i}^{-{\frac {1}{\sigma }}}-\lambda p_{i}=0}$

${\displaystyle \nabla x_{j}={\frac {\sigma -1}{\sigma }}x_{j}^{-{\frac {1}{\sigma }}}-\lambda p_{j}=0}$

dividiendo por:

${\displaystyle ({\frac {x_{i}}{x_{j}}})^{-{\frac {1}{\sigma }}}={\frac {p_{i}}{p_{j}}}}$

de este modo,

${\displaystyle p_{j}x_{j}=p_{i}^{\sigma }x_{i}p_{j}^{1-\sigma }}$

sumando los lados izquierdo y derecho sobre 'j' y usando el hecho de que tenemos ${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}p_{j}x_{j}=M}$

${\displaystyle M=p_{i}^{\sigma }x_{i}P^{1-\sigma }}$

donde P es un índice de precios representado como ${\displaystyle P=(\sum _{j=1}^{N}p_{j}^{1-\sigma })^{\frac {1}{1-\sigma }}}$

Por lo tanto, la función de demanda marshalliana es:

${\displaystyle x_{i}={\frac {M}{P}}({\frac {p_{i}}{P}})^{-\sigma }}$

En condiciones de competencia monopolística , en las que los bienes son sustitutos casi perfectos, es probable que los precios sean relativamente cercanos. Por lo tanto, suponiendo que tenemos: ${\displaystyle p_{i}=p}$

${\displaystyle x_{i}^{m}(\mathbf {p} ,M)={\frac {M}{Np}}}$

De esto podemos ver que la función de utilidad indirecta tendrá la forma

${\displaystyle v(\mathbf {p} ,x_{i}^{m})=\left(\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {M}{Np}}\right)^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\right)^{\frac {\sigma }{\sigma -1}}}$

por eso,

${\displaystyle v(\mathbf {p} ,x_{i}^{m})={\frac {M}{p}}N^{\frac {1}{\sigma -1}}}$

como σ > 1 encontramos que la utilidad aumenta estrictamente en N, lo que implica que los consumidores están estrictamente mejor a medida que aumenta la variedad, es decir, la cantidad de productos en oferta.

La derivación también puede realizarse con un continuo de variedades, sin grandes diferencias en el enfoque. ^[2]

Referencias

1. Dixit, Avinash K. ; Stiglitz, Joseph E. (junio de 1977). "Competencia monopolística y diversidad óptima de productos". The American Economic Review . 67 (3). Asociación Económica Estadounidense a través de JSTOR: 297–308. JSTOR  1831401.
2. I. Dingel, Jonathan (9 de junio de 2009). "Los fundamentos de la "Dixit-Stiglitz light"" (PDF) .

Lectura adicional

• Brakman, Steven; Heijdra, Ben J., eds. (2001). La revolución de la competencia monopolística en retrospectiva. Cambridge University Press. ISBN 0-521-81991-1.