En matemáticas , una prueba por descenso infinito , también conocida como método de descenso de Fermat, es un tipo particular de prueba por contradicción [1] utilizada para demostrar que una afirmación no puede ser válida para ningún número, al mostrar que si la afirmación fuera válida para un número, entonces lo mismo sería cierto para un número menor, lo que conduce a un descenso infinito y, en última instancia, a una contradicción. [2] Es un método que se basa en el principio de buen ordenamiento y se utiliza a menudo para demostrar que una ecuación dada, como una ecuación diofántica , no tiene soluciones. [3] [4]
Por lo general, se demuestra que si existiera una solución a un problema que, en algún sentido, estuviera relacionada con uno o más números naturales , ello implicaría necesariamente que existiera una segunda solución relacionada con uno o más números naturales "más pequeños". Esto, a su vez, implicaría una tercera solución relacionada con números naturales más pequeños, lo que implicaría una cuarta solución, por lo tanto, una quinta solución, y así sucesivamente. Sin embargo, no puede haber una infinidad de números naturales cada vez más pequeños y, por lo tanto, por inducción matemática , la premisa original (que existe cualquier solución) es incorrecta: su corrección produce una contradicción .
Una forma alternativa de expresar esto es suponer que existen una o más soluciones o ejemplos, de los cuales se puede inferir una solución o ejemplo mínimo (un contraejemplo mínimo ). Una vez allí, se intentaría demostrar que si existe una solución mínima, entonces debe implicar la existencia de una solución menor (en algún sentido), lo que nuevamente demuestra que la existencia de cualquier solución conduciría a una contradicción.
Los primeros usos del método de descenso infinito aparecen en los Elementos de Euclides . [3] Un ejemplo típico es la Proposición 31 del Libro 7, en la que Euclides demuestra que todo entero compuesto es dividido (en la terminología de Euclides, "medido") por algún número primo. [2]
El método fue desarrollado mucho más tarde por Fermat , quien acuñó el término y lo usó a menudo para ecuaciones diofánticas . [4] [5] Dos ejemplos típicos son mostrar la no resolubilidad de la ecuación diofántica y demostrar el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados , que establece que un primo impar p puede expresarse como una suma de dos cuadrados cuando (ver Aritmética modular y demostración por descenso infinito ). De esta manera, Fermat pudo demostrar la inexistencia de soluciones en muchos casos de ecuaciones diofánticas de interés clásico (por ejemplo, el problema de los cuatro cuadrados perfectos en progresión aritmética ).
En algunos casos, para el ojo moderno, su "método de descenso infinito" es una explotación de la inversión de la función de duplicación para puntos racionales en una curva elíptica E . El contexto es el de un hipotético punto racional no trivial en E . Duplicar un punto en E duplica aproximadamente la longitud de los números necesarios para escribirlo (como número de dígitos), de modo que "dividir a la mitad" un punto da un racional con términos más pequeños. Dado que los términos son positivos, no pueden decrecer eternamente.
En la teoría de números del siglo XX, el método de descenso infinito fue retomado y llevado a un punto en el que se conectó con el impulso principal de la teoría de números algebraicos y el estudio de las funciones L. El resultado estructural de Mordell , de que los puntos racionales en una curva elíptica E forman un grupo abeliano finitamente generado , utilizó un argumento de descenso infinito basado en E /2 E en el estilo de Fermat.
Para extender esto al caso de una variedad abeliana A , André Weil tuvo que hacer más explícita la forma de cuantificar el tamaño de una solución, por medio de una función de altura – un concepto que se volvió fundamental. Para mostrar que A ( Q )/2 A ( Q ) es finito, lo cual es ciertamente una condición necesaria para la generación finita del grupo A ( Q ) de puntos racionales de A , uno debe hacer cálculos en lo que más tarde fue reconocido como cohomología de Galois . De esta manera, los grupos de cohomología definidos de manera abstracta en la teoría se identifican con descendencias en la tradición de Fermat. El teorema de Mordell-Weil estuvo al comienzo de lo que más tarde se convirtió en una teoría muy extensa.
La prueba de que la raíz cuadrada de 2 ( √ 2 ) es irracional (es decir, no puede expresarse como fracción de dos números enteros) fue descubierta por los antiguos griegos , y es quizás el ejemplo más antiguo conocido de una prueba por descendencia infinita. Los pitagóricos descubrieron que la diagonal de un cuadrado es inconmensurable con su lado, o en lenguaje moderno, que la raíz cuadrada de dos es irracional . Poco se sabe con certeza sobre el momento o las circunstancias de este descubrimiento, pero a menudo se menciona el nombre de Hípaso de Metaponto. Durante un tiempo, los pitagóricos trataron como un secreto oficial el descubrimiento de que la raíz cuadrada de dos es irracional y, según la leyenda, Hípaso fue asesinado por divulgarlo. [6] [7] [8] La raíz cuadrada de dos se llama ocasionalmente "número de Pitágoras" o "constante de Pitágoras", por ejemplo Conway & Guy (1996). [9]
Los antiguos griegos , al no tener álgebra , elaboraron una prueba geométrica por descendencia infinita ( John Horton Conway presentó otra prueba geométrica por descendencia infinita que puede ser más accesible [10] ). La siguiente es una prueba algebraica en líneas similares:
Supongamos que √ 2 fuera racional . Entonces podría escribirse como
para dos números naturales, p y q . Entonces, elevando al cuadrado obtendríamos
Por lo tanto, 2 debe dividir a p 2 . Como 2 es un número primo , también debe dividir a p , según el lema de Euclides . Por lo tanto, p = 2 r , para algún entero r .
Pero entonces,
lo que demuestra que 2 también debe dividir a q . Por lo tanto, q = 2 s para algún entero s .
Esto da
Por lo tanto, si √ 2 pudiera escribirse como un número racional, entonces siempre podría escribirse como un número racional con partes más pequeñas, que a su vez podría escribirse con partes aún más pequeñas, hasta el infinito . Pero esto es imposible en el conjunto de los números naturales . Como √ 2 es un número real , que puede ser racional o irracional, la única opción que queda es que √ 2 sea irracional. [11]
(Alternativamente, esto prueba que si √ 2 fuera racional, no podría existir una representación "más pequeña" como fracción, ya que cualquier intento de encontrar una representación "más pequeña" p / q implicaría que existiera una más pequeña, lo cual es una contradicción similar).
Para un entero positivo k , supongamos que √ k no es un entero, sino que es racional y se puede expresar como metro/norte para los números naturales m y n , y sea q el entero más grande menor que √ k (es decir, q es el piso de √ k ). Entonces
El numerador y el denominador se multiplicaron por la expresión ( √ k − q ) —que es positiva pero menor que 1— y luego se simplificaron de forma independiente. Por lo tanto, los productos resultantes, digamos m′ y n′ , son en sí mismos números enteros, y son menores que m y n respectivamente. Por lo tanto, no importa qué números naturales m y n se utilicen para expresar √ k , existen números naturales más pequeños m′ < m y n′ < n que tienen la misma razón. Pero el descenso infinito en los números naturales es imposible, por lo que esto refuta la suposición original de que √ k podría expresarse como una razón de números naturales. [12]
La no solubilidad de en números enteros es suficiente para demostrar la no solubilidad de en números enteros, que es un caso especial del Último Teorema de Fermat , y las demostraciones históricas de este último procedieron a demostrar de manera más amplia el primero utilizando la descendencia infinita. La siguiente demostración más reciente demuestra ambas imposibilidades al demostrar de manera aún más amplia que un triángulo pitagórico no puede tener dos de sus lados cualesquiera que sean un cuadrado o dos veces un cuadrado, ya que no existe un triángulo más pequeño de ese tipo: [13]
Supongamos que existe un triángulo pitagórico de este tipo. Entonces se puede reducir su escala para obtener un triángulo pitagórico primitivo (es decir, sin factores comunes distintos de 1) con la misma propiedad. Los lados de los triángulos pitagóricos primitivos se pueden escribir como , con a y b relativamente primos y con a+b impares y, por lo tanto, y y z son ambos impares. La propiedad de que y y z sean impares significa que ni y ni z pueden ser dos veces un cuadrado. Además, si x es un cuadrado o dos veces un cuadrado, entonces cada uno de a y b es un cuadrado o dos veces un cuadrado. Hay tres casos, dependiendo de qué dos lados se postule que son cada uno un cuadrado o dos veces un cuadrado:
En cualquiera de estos casos, un triángulo pitagórico con dos lados cada uno de los cuales es un cuadrado o el doble de un cuadrado ha conducido a uno más pequeño, que a su vez conduciría a otro más pequeño, etc.; como tal secuencia no puede continuar infinitamente, la premisa original de que tal triángulo existe debe ser errónea.
Esto implica que las ecuaciones
no puede tener soluciones no triviales, ya que las soluciones no triviales darían triángulos pitagóricos con dos lados cuadrados.
Para otras pruebas similares por descenso infinito para el caso n = 4 del teorema de Fermat, véanse los artículos de Grant y Perella [14] y Barbara. [15]
un caso especial de prueba por contradicción llamado método de descenso infinito
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {k}}&={\frac {m}{n}}\\[6pt]&={\frac {m\left({\sqrt {k}}-q\right)}{n\left({\sqrt {k}}-q\right)}}\\[6pt]&={\frac {m{\sqrt {k}}-mq}{n{\sqrt {k}}-nq}}\\[6pt]&={\frac {\left(n{\sqrt {k}}\right){\sqrt {k}}-mq}{n\left({\frac {m}{n}}\right)-nq}}\\[6pt]&={\frac {nk-mq}{m-nq}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54d3c9a8cf5d66a50ce241b98508948a97207d17)
