En matemáticas , una medida cuasi-invariante μ con respecto a una transformación T , de un espacio de medida X a sí mismo, es una medida que, en términos generales, se multiplica por una función numérica de T. Una clase importante de ejemplos ocurre cuando X es una variedad suave M , T es un difeomorfismo de M y μ es cualquier medida que localmente es una medida con base en la medida de Lebesgue en el espacio euclidiano . Entonces, el efecto de T en μ es localmente expresable como multiplicación por el determinante jacobiano de la derivada ( empujar hacia adelante ) de T.
Para expresar esta idea de manera más formal en términos de teoría de la medida , la idea es que la derivada de Radon-Nikodym de la medida transformada μ′ con respecto a μ debería existir en todas partes; o que las dos medidas deberían ser equivalentes (es decir, absolutamente continuas entre sí ):
Esto significa, en otras palabras, que T preserva el concepto de un conjunto de medida cero . Considerando toda la clase de equivalencia de medidas ν , equivalente a μ , también es lo mismo decir que T preserva la clase como un todo, asignando cualquier medida de este tipo a otra de este tipo. Por lo tanto, el concepto de medida cuasi-invariante es el mismo que el de clase de medida invariante .
En general, la "libertad" de moverse dentro de una clase de medida mediante la multiplicación da lugar a cociclos , cuando se componen transformaciones.
A modo de ejemplo, la medida gaussiana en el espacio euclidiano R n no es invariante bajo la traslación (como lo es la medida de Lebesgue), pero es cuasi-invariante bajo todas las traslaciones.
Se puede demostrar que si E es un espacio de Banach separable y μ es una medida de Borel localmente finita en E que es cuasi-invariante bajo todas las traslaciones de elementos de E , entonces dim( E ) < +∞ o μ es la medida trivial μ ≡ 0.
