Empuje hacia adelante (diferencial)

Aproximación lineal de aplicaciones suaves en espacios tangentes

Si una función, φ , lleva cada punto de la variedad M a la variedad N, entonces el avance de φ lleva vectores en el espacio tangente en cada punto de M a un espacio tangente en cada punto de N.

En geometría diferencial , el empuje hacia adelante es una aproximación lineal de aplicaciones suaves (variedad de formulación) en espacios tangentes. Supongamos que es una aplicación suave entre variedades suaves ; entonces la diferencial de en un punto , denotada , es, en cierto sentido, la mejor aproximación lineal de cerca de . Puede verse como una generalización de la derivada total del cálculo ordinario. Explícitamente, la diferencial es una aplicación lineal del espacio tangente de en al espacio tangente de en , . Por lo tanto, puede usarse para empujar vectores tangentes en hacia adelante a vectores tangentes en . La diferencial de una aplicación también es llamada, por varios autores, la derivada o derivada total de . ${\displaystyle \varphi \colon M\to N}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}\colon T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Motivación

Sea una función suave de un subconjunto abierto de a un subconjunto abierto de . Para cualquier punto en , el jacobiano de en (con respecto a las coordenadas estándar) es la representación matricial de la derivada total de en , que es una función lineal ${\displaystyle \varphi :U\to V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle d\varphi _{x}:T_{x}\mathbb {R} ^{m}\to T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}}$

entre sus espacios tangentes. Nótese que los espacios tangentes son isomorfos a y , respectivamente. El empuje hacia adelante generaliza esta construcción al caso de que sea una función suave entre cualquier variedad suave y . ${\displaystyle T_{x}\mathbb {R} ^{m},T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

El diferencial de un mapa suave

Sea una función suave de variedades suaves. Dado el diferencial de at es una función lineal ${\displaystyle \varphi \colon M\to N}$ ${\displaystyle x\in M,}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle d\varphi _{x}\colon \ T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N\,}$

del espacio tangente de at al espacio tangente de at La imagen de un vector tangente bajo a veces se llama empuje hacia adelante de por La definición exacta de este empuje hacia adelante depende de la definición que se use para los vectores tangentes (para las diversas definiciones, consulte espacio tangente ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi (x).}$ ${\displaystyle d\varphi _{x}X}$ ${\displaystyle X\in T_{x}M}$ ${\displaystyle d\varphi _{x}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi .}$

Si los vectores tangentes se definen como clases de equivalencia de las curvas para las cuales entonces la diferencial está dada por ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (0)=x,}$

${\displaystyle d\varphi _{x}(\gamma '(0))=(\varphi \circ \gamma )'(0).}$

Aquí, es una curva en con y es el vector tangente a la curva en En otras palabras, el empuje hacia delante del vector tangente a la curva en es el vector tangente a la curva en ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=x,}$ ${\displaystyle \gamma '(0)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi \circ \gamma }$ ${\displaystyle 0.}$

Alternativamente, si los vectores tangentes se definen como derivaciones que actúan sobre funciones reales suaves, entonces la diferencial está dada por

${\displaystyle d\varphi _{x}(X)(f)=X(f\circ \varphi ),}$

para una función arbitraria y una derivación arbitraria en el punto (una derivación se define como una función lineal que satisface la regla de Leibniz , ver: definición de espacio tangente mediante derivaciones ). Por definición, el avance de está en y por lo tanto en sí mismo es una derivación, . ${\displaystyle f\in C^{\infty }(N)}$ ${\displaystyle X\in T_{x}M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle X\colon C^{\infty }(M)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{\varphi (x)}N}$ ${\displaystyle d\varphi _{x}(X)\colon C^{\infty }(N)\to \mathbb {R} }$

Después de elegir dos gráficos alrededor de y alrededor se determina localmente mediante un mapa suave entre conjuntos abiertos de y , y ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi (x),}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\widehat {\varphi }}\colon U\to V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle d\varphi _{x}\left({\frac {\partial }{\partial u^{a}}}\right)={\frac {\partial {\widehat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}{\frac {\partial }{\partial v^{b}}},}$

en la notación de suma de Einstein , donde las derivadas parciales se evalúan en el punto correspondiente a en el gráfico dado. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$

Extendiendo por linealidad se obtiene la siguiente matriz

${\displaystyle \left(d\varphi _{x}\right)_{a}^{\;b}={\frac {\partial {\widehat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}.}$

Por lo tanto, la diferencial es una transformación lineal, entre espacios tangentes, asociada a la función suavizada en cada punto. Por lo tanto, en algunas coordenadas locales elegidas, está representada por la matriz jacobiana de la función suavizada correspondiente de a . En general, la diferencial no necesita ser invertible. Sin embargo, si es un difeomorfismo local , entonces es invertible, y la inversa da el pullback de ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle d\varphi _{x}}$ ${\displaystyle T_{\varphi (x)}N.}$

La diferencial se expresa frecuentemente utilizando una variedad de otras notaciones tales como

${\displaystyle D\varphi _{x},\left(\varphi _{*}\right)_{x},\varphi '(x),T_{x}\varphi .}$

De la definición se desprende que la diferencial de un compuesto es la composición de las diferenciales (es decir, el comportamiento funcional ). Esta es la regla de la cadena para los mapas suaves.

Además, el diferencial de un difeomorfismo local es un isomorfismo lineal de espacios tangentes.

La diferencial en el fibrado tangente

La diferencial de una función suave induce, de manera obvia, una función de fibrado (de hecho, un homomorfismo de fibrado vectorial ) del fibrado tangente de al fibrado tangente de , denotado por , que encaja en el siguiente diagrama conmutativo : ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle d\varphi }$

donde y denotan las proyecciones de los haces tangentes de y respectivamente. ${\displaystyle \pi _{M}}$ ${\displaystyle \pi _{N}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi }$induce un mapa de fibrado desde el fibrado de retroceso φ ^∗ TN sobre vía ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle (m,v_{m})\mapsto (\varphi (m),\operatorname {d} \!\varphi (m,v_{m})),}$

donde y El último mapa puede verse a su vez como una sección del fibrado vectorial Hom( TM , φ ^∗ TN ) sobre M . El mapa del fibrado también se denota por y se llama mapa tangente . De esta manera, es un funtor . ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle v_{m}\in T_{m}M.}$ ${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi }$ ${\displaystyle T\varphi }$ ${\displaystyle T}$

Impulsión de campos vectoriales

Dado un mapa liso φ  : M → N y un campo vectorial X en M , no suele ser posible identificar un empuje hacia delante de X por φ con algún campo vectorial Y en N . Por ejemplo, si el mapa φ no es sobreyectivo, no hay una forma natural de definir dicho empuje hacia delante fuera de la imagen de φ . Además, si φ no es inyectivo puede haber más de una opción de empuje hacia delante en un punto dado. Sin embargo, se puede precisar esta dificultad, utilizando la noción de un campo vectorial a lo largo de un mapa.

Una sección de φ ^∗ TN sobre M se denomina campo vectorial a lo largo de φ . Por ejemplo, si M es una subvariedad de N y φ es la inclusión, entonces un campo vectorial a lo largo de φ es simplemente una sección del fibrado tangente de N a lo largo de M ; en particular, un campo vectorial sobre M define dicha sección a través de la inclusión de TM dentro de TN . Esta idea se generaliza a aplicaciones suaves arbitrarias.

Supongamos que X es un campo vectorial sobre M , es decir, una sección de TM . Entonces, se obtiene, en el sentido anterior, el empuje hacia delante φ _∗ X , que es un campo vectorial a lo largo de φ , es decir, una sección de φ ^∗ TN sobre M . ${\displaystyle \operatorname {d} \!\phi \circ X}$

Cualquier campo vectorial Y en N define una sección de pullback φ ^∗ Y de φ ^∗ TN con ( φ ^∗ Y ) _x = Y _{φ ( x )} . Se dice que un campo vectorial X en M y un campo vectorial Y en N están φ -relacionados si φ _∗ X = φ ^∗ Y como campos vectoriales a lo largo de φ . En otras palabras, para todo x en M , dφ _x ( X ) = Y _{φ ( x )} .

En algunas situaciones, dado un campo vectorial X en M , existe un único campo vectorial Y en N que está φ -relacionado con X . Esto es cierto en particular cuando φ es un difeomorfismo . En este caso, el empuje hacia delante define un campo vectorial Y en N , dado por

${\displaystyle Y_{y}=\phi _{*}\left(X_{\phi ^{-1}(y)}\right).}$

Una situación más general surge cuando φ es sobreyectiva (por ejemplo, la proyección de un haz de fibras). Entonces, se dice que un campo vectorial X sobre M es proyectable si para todo y en N , dφ _x ( X _x ) es independiente de la elección de x en φ ⁻¹ ({ y }). Esta es precisamente la condición que garantiza que un empuje hacia delante de X , como campo vectorial sobre N , esté bien definido.

Ejemplos

Impulso hacia adelante a partir de la multiplicación en grupos de Lie

Dado un grupo de Lie , podemos usar la función de multiplicación para obtener funciones de multiplicación por la izquierda y por la derecha . Estas funciones se pueden usar para construir campos vectoriales invariantes por la izquierda o por la derecha en a partir de su espacio tangente en el origen (que es su álgebra de Lie asociada ). Por ejemplo, dado obtenemos un campo vectorial asociado en definido por para cada . Esto se puede calcular fácilmente usando la definición de curvas de funciones de empuje hacia adelante. Si tenemos una curva donde obtenemos ya que es constante con respecto a . Esto implica que podemos interpretar los espacios tangentes como . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle m(-,-):G\times G\to G}$ ${\displaystyle L_{g}=m(g,-)}$ ${\displaystyle R_{g}=m(-,g)}$ ${\displaystyle G\to G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{g}=(L_{g})_{*}(X)\in T_{g}G}$$ ${\displaystyle g\in G}$ $${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to G}$$ $${\displaystyle \gamma (0)=e\,,\quad \gamma '(0)=X}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(L_{g})_{*}(X)&=(L_{g}\circ \gamma )'(0)\\&=(g\cdot \gamma (t))'(0)\\&={\frac {dg}{d\gamma }}\gamma (0)+g\cdot {\frac {d\gamma }{dt}}(0)\\&=g\cdot \gamma '(0)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle L_{g}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle T_{g}G}$ ${\displaystyle T_{g}G=g\cdot T_{e}G=g\cdot {\mathfrak {g}}}$

Impulso para algunos grupos de Lie

Por ejemplo, si el grupo de Heisenberg está dado por matrices, tiene álgebra de Lie dada por el conjunto de matrices , ya que podemos encontrar un camino que dé cualquier número real en una de las entradas de la matriz superior con (i-ésima fila y j-ésima columna). Entonces, para tenemos que es igual al conjunto original de matrices. Este no siempre es el caso, por ejemplo, en el grupo tenemos su álgebra de Lie como el conjunto de matrices, por lo tanto, para alguna matriz tenemos que no es el mismo conjunto de matrices. ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle H=\left\{{\begin{bmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}}$$ $${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}}$$ ${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to H}$ ${\displaystyle i<j}$ $${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle T_{g}H=g\cdot {\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{bmatrix}0&a&b+2c\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}}$$ $${\displaystyle G=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&1/a\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}}$$ $${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&-a\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \right\}}$$ $${\displaystyle g={\begin{bmatrix}2&3\\0&1/2\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle T_{g}G=\left\{{\begin{bmatrix}2a&2b-3a\\0&-a/2\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \right\}}$$

Véase también

• Retroceso (geometría diferencial)
• Modelo generativo basado en flujo

Referencias

• Lee, John M. (2003). Introducción a las variedades suaves . Springer Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218.
• Jost, Jürgen (2002). Geometría riemanniana y análisis geométrico . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. Véase la sección 1.6 .
• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de mecánica . Londres: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X. Véase la sección 1.7 y 2.3 .