En matemáticas , el teorema ergódico multiplicativo , o teorema de Oseledets, proporciona la base teórica para el cálculo de los exponentes de Lyapunov de un sistema dinámico no lineal . Fue demostrado por Valery Oseledets (también escrito "Oseledec") en 1965 y presentado en el Congreso Internacional de Matemáticas en Moscú en 1966. MS Raghunathan encontró una prueba conceptualmente diferente del teorema ergódico multiplicativo . [ cita requerida ] [1] El teorema ha sido extendido a grupos de Lie semisimples por VA Kaimanovich y generalizado aún más en los trabajos de David Ruelle , Grigory Margulis , Anders Karlsson y François Ledrappier . [ cita requerida ]
El teorema ergódico multiplicativo se enuncia en términos de cociclos matriciales de un sistema dinámico. El teorema establece las condiciones para la existencia de los límites definitorios y describe los exponentes de Lyapunov. No aborda la tasa de convergencia.
Un cociclo de un sistema dinámico autónomo X es una función C : X×T → R n×n que satisface
donde X y T (con T = Z⁺ o T = R⁺ ) son el espacio de fases y el rango de tiempo, respectivamente, del sistema dinámico, e I n es la matriz unitaria de dimensión n . La dimensión n de las matrices C no está relacionada con el espacio de fases X .
Sea μ una medida invariante ergódica en X y C un cociclo del sistema dinámico tal que para cada t ∈ T , las funciones y son L 1 -integrables con respecto a μ . Entonces para μ -casi todo x y cada vector distinto de cero u ∈ R n el límite
existe y asume, dependiendo de u pero no de x , hasta n valores diferentes. Estos son los exponentes de Lyapunov.
Además, si λ 1 > ... > λ m son los diferentes límites, entonces existen subespacios R n = R 1 ⊃ ... ⊃ R m ⊃ R m +1 = {0}, dependiendo de x , tales que el límite es λ i para u ∈ R i \ R i +1 e i = 1, ..., m .
Los valores de los exponentes de Lyapunov son invariantes con respecto a una amplia gama de transformaciones de coordenadas. Supongamos que g : X → X es una función biunívoca tal que y su inversa existen; entonces los valores de los exponentes de Lyapunov no cambian.
Verbalmente, ergodicidad significa que los promedios de tiempo y espacio son iguales, formalmente:
donde existen las integrales y el límite. El promedio espacial (lado derecho, μ es una medida ergódica en X ) es la acumulación de valores f ( x ) ponderados por μ( dx ). Dado que la adición es conmutativa, la acumulación de los valores f ( x )μ( dx ) se puede realizar en un orden arbitrario. Por el contrario, el promedio temporal (lado izquierdo) sugiere un orden específico de los valores f ( x ( s )) a lo largo de la trayectoria.
Como la multiplicación de matrices, en general, no es conmutativa, la acumulación de valores de cociclos multiplicados (y sus límites) según C ( x ( t 0 ), t k ) = C ( x ( t k −1 ), t k − t k −1 ) ... C ( x ( t 0 ), t 1 − t 0 ) —para t k grande y los pasos t i − t i −1 pequeños— solo tiene sentido para un ordenamiento prescrito. Por tanto, el promedio temporal puede existir (y el teorema afirma que realmente existe), pero no hay una contraparte del promedio espacial. En otras palabras, el teorema de Oseledets difiere de los teoremas ergódicos aditivos (como los de GD Birkhoff y J. von Neumann ) en que garantiza la existencia del promedio temporal, pero no hace ninguna afirmación sobre el promedio espacial.
