En matemáticas , específicamente en la teoría de la medida , la medida trivial en cualquier espacio medible ( X , Σ) es la medida μ que asigna medida cero a todo conjunto medible: μ ( A ) = 0 para todo A en Σ. [1]
Propiedades de la medida trivial
Sea μ la medida trivial en algún espacio medible ( X , Σ).
Supongamos que X es un espacio topológico y que Σ es el σ -álgebra de Borel en X.
- μ satisface trivialmente la condición de ser una medida regular .
- μ nunca es una medida estrictamente positiva , independientemente de ( X , Σ), ya que todo conjunto medible tiene medida cero.
- Dado que μ ( X ) = 0, μ es siempre una medida finita y, por lo tanto, una medida localmente finita .
- Si X es un espacio topológico de Hausdorff con su σ -álgebra de Borel, entonces μ satisface trivialmente la condición de ser una medida ajustada . Por lo tanto, μ también es una medida de Radon . De hecho, es el vértice del cono puntiagudo de todas las medidas de Radon no negativas en X.
- Si X es un espacio de Banach de dimensión infinita con su σ -álgebra de Borel, entonces μ es la única medida en ( X , Σ) que es localmente finita e invariante bajo todas las traslaciones de X . Véase el artículo No existe ninguna medida de Lebesgue de dimensión infinita .
- Si X es un espacio euclidiano n -dimensional R n con su σ -álgebra habitual y medida de Lebesgue n -dimensional λ n , μ es una medida singular con respecto a λ n : simplemente descomponga R n como A = R n \ {0} y B = {0} y observe que μ ( A ) = λ n ( B ) = 0.
Referencias
- ^ Porter, Christopher P. (1 de abril de 2015). "Las medidas triviales no son tan triviales". Teoría de sistemas informáticos . 56 (3): 487–512. arXiv : 1503.06332 . doi :10.1007/s00224-015-9614-8. ISSN 1433-0490.
