Método de flujo en zona vadosa con contenido finito de agua

El método de flujo de zona vadosa de contenido finito de agua ^{[1] [2]} representa una alternativa unidimensional a la solución numérica de la ecuación de Richards ^[3] para simular el movimiento del agua en suelos no saturados . El método de contenido finito de agua resuelve el término similar a la advección de la ecuación de velocidad de la humedad del suelo , que es una ecuación diferencial ordinaria alternativa a la ecuación diferencial parcial de Richards . La ecuación de Richards es difícil de aproximar en general porque no tiene una solución analítica de forma cerrada excepto en unos pocos casos. ^[4] El método de contenido finito de agua es quizás el primer reemplazo genérico para la solución numérica de la ecuación de Richards . La solución de contenido finito de agua tiene varias ventajas sobre la solución de la ecuación de Richards . Primero, como una ecuación diferencial ordinaria es explícita, se garantiza que converge ^[5] y es computacionalmente económica de resolver. Segundo, al usar una metodología de solución de volumen finito se garantiza que conserva la masa. El método de contenido finito de agua simula fácilmente frentes de humectación agudos, algo con lo que la solución de Richards tiene dificultades. ^[6] El principal supuesto limitante necesario para utilizar el método de contenido de agua finito es que el suelo sea homogéneo en capas.

Discretización de contenido finito de agua. El medio poroso se divide en n "compartimentos" uniformes de contenido de agua. ${\displaystyle \Delta \theta }$

El método de flujo de la zona vadosa con contenido finito de agua se deriva del mismo punto de partida que la derivación de la ecuación de Richards . Sin embargo, la derivación emplea una transformación hodógrafa ^[7] para producir una solución de advección que no incluye la difusividad del agua del suelo, donde se convierte en la variable dependiente y se convierte en una variable independiente: ^[2] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{\theta }={\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}\left[1-\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}\right)\right]\ }$

dónde:

${\displaystyle K}$es la conductividad hidráulica no saturada [LT ⁻¹ ],

${\displaystyle \psi }$es la carga de presión capilar [L] (negativa para suelo no saturado),

${\displaystyle z}$es la coordenada vertical [L] (positiva hacia abajo),

${\displaystyle \theta }$es el contenido de agua , (−) y

${\displaystyle t}$es tiempo [T].

Esta ecuación se convirtió en un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) ^[2] utilizando el método de líneas ^[8] para convertir las derivadas parciales del lado derecho de la ecuación en formas de diferencias finitas apropiadas . Estas tres EDO representan la dinámica de la infiltración de agua, la caída de babosas y el agua subterránea capilar, respectivamente.

Derivación

En 2017 se publicó una derivación superior ^[9] , que muestra que esta ecuación es una versión libre de difusión de la ecuación de velocidad de la humedad del suelo .

Una forma de resolver esta ecuación es resolverla por y por integración: ^[10] ${\displaystyle q(\theta ,t)}$ ${\displaystyle z(\theta ,t)}$

${\displaystyle \int {\frac {\partial q}{\partial \theta }}\,d\theta =\int {\frac {\partial z}{\partial t}}\,d\theta }$

En su lugar, se utiliza una discretización de contenido de agua finito y las integrales se reemplazan con sumas:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{N}\left[{\frac {\partial q}{\partial \theta }}\right]_{j}\Delta \theta =\sum _{j=1}^{N}\left[{\frac {\partial z}{\partial t}}\right]_{j}\Delta \theta }$

¿Dónde está el número total de contenedores con contenido finito de agua? ${\displaystyle N}$

Utilizando este enfoque, la ecuación de conservación para cada contenedor es:

${\displaystyle \left[{\frac {\partial q}{\partial \theta }}\right]_{j}=\left[{\frac {\partial z}{\partial t}}\right]_{j}.}$

El método de líneas se utiliza para reemplazar las formas diferenciales parciales del lado derecho por formas de diferencias finitas adecuadas. Este proceso da como resultado un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias que describen la dinámica de los frentes de infiltración, los frentes de caída de babosas y los frentes capilares de agua subterránea utilizando una discretización de contenido de agua finito.

Fundamentos del método

El método de cálculo del flujo de la zona vadosa con contenido finito de agua reemplaza la ecuación de Richards (EDP) por un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Estas tres EDO se desarrollan en las siguientes secciones. Además, debido a que el método de contenido finito de agua no incluye explícitamente la difusividad del agua del suelo, necesita un paso de relajación capilar separado. La relajación capilar ^[11] representa un proceso de minimización de energía libre a escala de poros que no produce advección más allá de la escala REV.

Frentes de infiltración

Frentes de infiltración en dominios de contenido finito de agua.

Con referencia a la Figura 1, el agua que se infiltra en la superficie terrestre puede fluir a través del espacio poroso entre y . En el contexto del método de líneas , los términos de derivadas parciales se reemplazan por: ${\displaystyle \theta _{d}}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}.}$

Dado que cualquier profundidad de agua estancada en la superficie terrestre es , se emplea el supuesto de Green y Ampt (1911) ^{[12] ,} ${\displaystyle h_{p}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}},}$

representa el gradiente de carga capilar que impulsa el flujo. Por lo tanto, la ecuación de contenido de agua finita en el caso de frentes de infiltración es:

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}}+1\right).}$

Babosas que caen

Babosas que caen en el dominio de contenido finito de agua. El agua en cada contenedor se considera una babosa separada.

Una vez que cesa la lluvia y se infiltra toda el agua superficial, el agua de los depósitos que contienen frentes de infiltración se desprende de la superficie terrestre. Suponiendo que la capilaridad en los bordes delantero y trasero de esta "gota de agua que cae" está equilibrada, entonces el agua cae a través del medio con la conductividad incremental asociada con el depósito -ésimo : ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \Delta \theta }$

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{j-1})}{\theta _{j}-\theta _{j-1}}}}$

Frentes de aguas subterráneas capilares

Frentes capilares de aguas subterráneas en un dominio de contenido de agua finito.

En este caso, el flujo de agua hacia el contenedor se produce entre el contenedor j y el i . Por lo tanto, en el contexto del método de líneas : ${\displaystyle j^{\text{th}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}},}$

y,

${\displaystyle {\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}}$

Lo cual produce:

${\displaystyle \left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}-1\right).}$

El desempeño de esta ecuación se verificó para casos donde la velocidad del nivel freático era menor a 0,92 , ^[13] utilizando un experimento de columna diseñado a partir del de Childs y Poulovassilis (1962). ^[14] Los resultados de esa validación mostraron que el método de cálculo del flujo de la zona vadosa con contenido de agua finito funcionó de manera comparable a la solución numérica de la ecuación de Richards. ${\displaystyle K_{s}}$

Relajación capilar

Debido a que la conductividad hidráulica aumenta rápidamente a medida que el contenido de agua se acerca a la saturación, con referencia a la Figura 1, los compartimentos más a la derecha tanto en los frentes de agua subterránea capilar como en los frentes de infiltración pueden "recorrer más rápido" que sus vecinos de la izquierda. En la discretización del contenido de agua finito, estos choques ^[15] se disipan mediante el proceso de relajación capilar, que representa un proceso de minimización de energía libre a escala de poros que no produce advección más allá de la escala REV ^[11]. Numéricamente, este proceso es una clasificación numérica que coloca los frentes en magnitud monótonamente decreciente de izquierda a derecha.

Relaciones constitutivas

El método de flujo de zona vadosa con contenido de agua finito funciona con cualquier curva de retención de agua monótona /relaciones de conductividad hidráulica no saturada como Brooks y Corey ^[16] Clapp y Hornberger ^[17] y van Genuchten-Mualem. ^[18] El método podría funcionar con relaciones de retención de agua histéresis; estas aún no se han probado.

Limitaciones

El método de contenido finito de agua carece del efecto de la difusión del agua del suelo. Esta omisión no afecta la precisión de los cálculos de flujo utilizando el método porque la media del flujo difusivo es pequeña. En la práctica, esto significa que la forma del frente de humectación no desempeña ningún papel en el impulso de la infiltración. Hasta ahora, el método está limitado a 1-D en aplicaciones prácticas. La ecuación de infiltración ^[2] se extendió a 2 y cuasi-3 dimensiones. ^[5] Aún queda más trabajo para extender todo el método a más de una dimensión.

Premios

El artículo que describe este método ^[2] fue seleccionado por la Red de Hidrogeólogos en Carrera Temprana de la Asociación Internacional de Hidrogeólogos para recibir el premio "Artículo más interesante publicado en 2015" en reconocimiento al impacto potencial de la publicación en el futuro de la hidrogeología.

Véase también

• Ecuación de Richards
• Infiltración (hidrología)
• Ecuación de la velocidad de la humedad del suelo

Referencias

1. Talbot, CA y FL Ogden (2008), Un método para calcular la infiltración y la redistribución en un dominio de contenido de humedad discretizado, Water Resour. Res. , 44(8), doi: 10.1029/2008WR006815.
2. Ogden, FL, W. Lai, RC Steinke, J. Zhu, CA Talbot y JL Wilson (2015), Un nuevo método general de solución de zona vadosa 1-D, Water Resour.Res. , 51, doi:10.1002/2015WR017126.
3. Richards, LA (1931), Conducción capilar de líquidos a través de medios porosos, J. Appl. Phys. , 1(5), 318–333.
4. Ross, PJ y J.-Y. Parlange (1994). Comparación de soluciones exactas y numéricas de la ecuación de Richards para la infiltración y el drenaje unidimensionales. Soil Sci. Vol 1557, No. 6, págs. 341-345.
5. Yu, H., CC Douglas y FL Ogden, (2012), Una nueva aplicación de un sistema basado en datos dinámicos en el modelo Talbot-Ogden para la infiltración de aguas subterráneas, Procedia Computer Science , 9, 1073–1080.
6. Tocci, MD, CT Kelley y CT Miller (1997), Solución precisa y económica de la forma de presión-cabeza de la ecuación de Richards mediante el método de líneas, Adv. Wat. Resour ., 20(1), 1–14.
7. Philip, JR 1957. La teoría de la infiltración: 1. La ecuación de infiltración y su solución, Soil Sci , 83(5), 345–357.
8. Griffiths, Graham; Schiesser, William; Hamdi, Samir (2007). "Método de líneas". Scholarpedia . 2 (7): 2859. Código bibliográfico : 2007SchpJ...2.2859H. doi : 10.4249/scholarpedia.2859 .
9. Ogden, FL, MB Allen, W. Lai, J. Zhu, CC Douglas, M. Seo y CA Talbot, 2017. La ecuación de velocidad de la humedad del suelo, J. Adv. Modeling Earth Syst. https://doi.org/10.1002/2017MS000931
10. Wilson, JL (1974), Mezcla dispersiva en un medio poroso parcialmente saturado, tesis doctoral, 355pp., Dept. of Civil Engrg., Mass. Inst. Tech., Cambridge, MA.
11. Moebius, F., D. Canone y D. Or (2012), Características de las emisiones acústicas inducidas por el desplazamiento del frente de fluido en medios porosos, Water Resour. Res. , 48(11), W11507, doi:10.1029/2012WR012525.
12. Green, WH y GA Ampt (1911), Estudios sobre física del suelo, 1, El flujo de aire y agua a través de los suelos, J. Agric. Sci. , 4(1), 1–24.
13. Ogden, FL, W. Lai, RC Steinke y J. Zhu (2015b), Validación del método de dinámica de zona vadosa con contenido finito de agua utilizando experimentos de columna con un nivel freático en movimiento y flujo de superficie aplicado, Water Resour. Res. , 10.1002/2014WR016454.
14. Childs, EC, y A. Poulovassilis (1962), El perfil de humedad por encima de un nivel freático en movimiento, J. Soil Sci ., 13(2), 271–285.
15. Smith, RE (1983), Movimiento aproximado del agua del suelo por características cinemáticas, Soil Sci. Soc. Am. J. , 47(1), 3–8.
16. Brooks, RH y AT Corey, 1964. Propiedades hidráulicas de medios porosos. Hydrol. Pap. 3, Colo. State Univ., Fort Collins, Colorado, EE. UU.
17. Clapp RB y GM Hornberger, 1978. Ecuaciones empíricas para algunas propiedades hidráulicas del suelo. Water Resour. Res. 14(4):601–604
18. van Genuchten, M. Th. (1980). "Una ecuación de forma cerrada para predecir la conductividad hidráulica de suelos no saturados" (PDF). Soil Sci. Soc. Am. J. , 44 (5): 892-898. doi:10.2136/sssaj1980.03615995004400050002x