ecuación de richards

La ecuación de Richards representa el movimiento del agua en suelos no saturados y se atribuye a Lorenzo A. Richards , quien publicó la ecuación en 1931. ^[1] Es una ecuación diferencial parcial cuasilineal ; su solución analítica a menudo se limita a condiciones iniciales y de contorno específicas. ^[2] Alt y Luckhaus no dieron prueba de la existencia y unicidad de la solución hasta 1983 . ^[3] La ecuación se basa en la ley de Darcy-Buckingham ^[1] que representa el flujo en medios porosos en condiciones de saturación variable, que se expresa como

${\displaystyle {\vec {q}}=-\mathbf {K} (\theta )(\nabla h+\nabla z),}$

dónde

${\displaystyle {\vec {q}}}$es el flujo volumétrico ;

${\displaystyle \theta }$es el contenido volumétrico de agua ;

${\displaystyle h}$es la carga de presión del líquido , que es negativa para medios porosos insaturados;

${\displaystyle \mathbf {K} (h)}$es la conductividad hidráulica insaturada;

${\displaystyle \nabla z}$es el gradiente de cabeza geodésica, que se supone como para problemas tridimensionales. ${\displaystyle \nabla z=\left({\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}}\right)}$

Considerando la ley de conservación de masa para un medio poroso incompresible y densidad líquida constante, expresada como

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {q}}+S=0}$,

dónde

${\displaystyle S}$es el término sumidero [T ], típicamente absorción de agua por las raíces. ^[4] ${\displaystyle ^{-1}}$

Luego sustituyendo los flujos por la ley de Darcy-Buckingham se obtiene la siguiente ecuación de Richards en forma mixta:

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {K} (h)(\nabla h+\nabla z)-S}$.

Para el modelado de infiltración unidimensional, esta forma de divergencia se reduce a

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mathbf {K} (\theta )\left({\frac {\partial h}{\partial z}}+1\right)\right)-S}$.

Aunque se atribuye a LA Richards, la ecuación fue introducida originalmente nueve años antes por Lewis Fry Richardson en 1922. ^{[5] [6]}

Formulaciones

La ecuación de Richards aparece en muchos artículos de la literatura ambiental porque describe el flujo en la zona vadosa entre la atmósfera y el acuífero. También aparece en revistas de matemáticas puras porque tiene soluciones no triviales. La formulación mixta anterior implica dos variables desconocidas: y . Esto se puede resolver fácilmente considerando la relación constitutiva , que se conoce como curva de retención de agua . Aplicando la regla de la cadena , la ecuación de Richards se puede reformular como ecuación de Richards de forma (basada en la cabeza) o de forma (basada en la saturación). ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \theta (h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \theta }$

Basado en la cabeza

Al aplicar la regla de la cadena en la derivada temporal se llega a

${\displaystyle {\frac {\partial \theta (h)}{\partial t}}={\frac {{\textrm {d}}\theta }{{\textrm {d}}h}}{\frac {\partial h}{\partial t}}}$,

donde se conoce como capacidad de retención de agua . La ecuación entonces se expresa como ${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}\theta }{{\textrm {d}}h}}}$ ${\displaystyle C(h)}$

${\displaystyle C(h){\frac {\partial h}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\mathbf {K} (h)\nabla h+\nabla z\right)-S}$.

La ecuación de Richards basada en cabeza es propensa al siguiente problema computacional: la derivada temporal discretizada usando el método implícito de Rothe produce la siguiente aproximación:

${\displaystyle {\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}\approx C(h){\frac {\Delta h}{\Delta t}},\quad {\mbox{and so}}\quad {\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}-C(h){\frac {\Delta h}{\Delta t}}=\varepsilon .}$

Esta aproximación produce un error que afecta la conservación de la masa de la solución numérica, por lo que se necesitan estrategias especiales para el tratamiento de las derivadas temporales. ^[7] ${\displaystyle \varepsilon }$

Basado en saturación

Al aplicar la regla de la cadena en la derivada espacial se obtiene

${\displaystyle \mathbf {K} (h)\nabla h=\mathbf {K} (h){\frac {{\textrm {d}}h}{{\textrm {d}}\theta }}\nabla \theta ,}$

donde , que podría formularse aún más como , se conoce como difusividad del agua del suelo . La ecuación entonces se expresa como ${\displaystyle \mathbf {K} (h){\frac {{\textrm {d}}h}{{\textrm {d}}\theta }}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbf {K} (\theta )}{C(\theta )}}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} (\theta )}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {D} (\theta )\nabla \theta -S.}$

La ecuación de Richards basada en la saturación es propensa a los siguientes problemas computacionales. Dado que los límites y , donde es el contenido de agua saturada (máximo) y es el contenido de agua residual (mínimo), una solución numérica exitosa está restringida solo para rangos de contenido de agua satisfactorios por debajo de la saturación total (la saturación debe ser incluso menor que la entrada de aire). valor ) así como satisfactorio por encima del contenido de agua residual. ^[8] ${\displaystyle \lim _{\theta \to \theta _{s}}||\mathbf {D} (\theta )||=\infty }$ ${\displaystyle \lim _{\theta \to \theta _{r}}||\mathbf {D} (\theta )||=\infty }$ ${\displaystyle \theta _{s}}$ ${\displaystyle \theta _{r}}$

Parametrización

La ecuación de Richards en cualquiera de sus formas involucra las propiedades hidráulicas del suelo, que es un conjunto de cinco parámetros que representan el tipo de suelo. Las propiedades hidráulicas del suelo típicamente consisten en los parámetros de la curva de retención de agua de van Genuchten: ^[9] ( ), donde es el inverso del valor de entrada de aire [L ⁻¹ ], es el parámetro de distribución del tamaño de poro [-], y generalmente se asume como . Además , también se debe proporcionar la conductividad hidráulica saturada (que para entornos no isotrópicos es un tensor de segundo orden). La identificación de estos parámetros a menudo no es trivial y fue tema de numerosas publicaciones durante varias décadas. ^{[10] [11] [12] [13] [14] [15]} ${\displaystyle \alpha ,\,n,\,m,\,\theta _{s},\theta _{r}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=1-{\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} _{s}}$

Limitaciones

La solución numérica de la ecuación de Richards es uno de los problemas más desafiantes de las ciencias de la tierra. ^[16] La ecuación de Richards ha sido criticada por ser computacionalmente costosa e impredecible ^{[17] [18]} porque no hay garantía de que un solucionador converja para un conjunto particular de relaciones constitutivas del suelo. Para superar este obstáculo se necesitan soluciones informáticas y de software avanzadas. El método también ha sido criticado por enfatizar demasiado el papel de la capilaridad ^[19] y por ser en cierto modo "demasiado simplista" ^[20] . En simulaciones unidimensionales de infiltración de lluvia en suelos secos, una discretización espacial fina de menos de un cm es requerido cerca de la superficie terrestre, ^[21] lo que se debe al pequeño tamaño del volumen elemental representativo para el flujo multifásico en medios porosos. En aplicaciones tridimensionales, la solución numérica de la ecuación de Richards está sujeta a restricciones de relación de aspecto donde la relación entre la resolución horizontal y vertical en el dominio de la solución debe ser menor que aproximadamente 7. ^{[ cita necesaria ]}

Referencias

1. Richards, LA (1931). "Conducción capilar de líquidos a través de medios porosos". Física . 1 (5): 318–333. Código Bib :1931Physi...1..318R. doi :10.1063/1.1745010.
2. Tracy, FT (agosto de 2006). "Soluciones analíticas limpias bidimensionales y tridimensionales de la ecuación de Richards para probar solucionadores numéricos: NOTA TÉCNICA". Investigación de recursos hídricos . 42 (8). doi : 10.1029/2005WR004638 . S2CID  119938184.
3. Wilhelm Alt, Hans; Luckhaus, Stephan (1 de septiembre de 1983). "Ecuaciones diferenciales elíptico-parabólicas cuasilineales". Mathematische Zeitschrift . 183 (3): 311–341. doi :10.1007/BF01176474. ISSN  1432-1823. S2CID  120607569.
4. Feddes, RA; Zaradny, H. (1 de mayo de 1978). "Modelo para simular el contenido de agua del suelo considerando la evapotranspiración - Comentarios". Revista de Hidrología . 37 (3): 393–397. Código bibliográfico : 1978JHyd...37..393F. doi :10.1016/0022-1694(78)90030-6. ISSN  0022-1694.
5. Caballero, Juan; Raats, Peter. "Las contribuciones de Lewis Fry Richardson a la teoría del drenaje, la física del suelo y el continuo suelo-planta-atmósfera" (PDF) . Asamblea General del EGU 2016.
6. Richardson, Lewis Fry (1922). Predicción del tiempo mediante proceso numérico. Cambridge, prensa universitaria. págs.262.
7. Celia, Michael A.; Bouloutas, Efthimios T.; Zarba, Rebecca L. (julio de 1990). "Una solución numérica general conservadora de masa para la ecuación de flujo insaturado". Investigación de recursos hídricos . 26 (7): 1483-1496. Código bibliográfico : 1990WRR....26.1483C. doi :10.1029/WR026i007p01483.
8. Kuráž, Michal; Mayer, Petr; Lepš, Matěj; Trpkošová, Dagmar (15 de abril de 2010). "Una discretización temporal adaptativa del modelo clásico y de porosidad dual de la ecuación de Richards". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . Métodos de elementos finitos en ingeniería y ciencia (FEMTEC 2009). 233 (12): 3167–3177. Código Bib : 2010JCoAM.233.3167K. doi :10.1016/j.cam.2009.11.056. ISSN  0377-0427.
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Ver también

• Infiltración (hidrología)
• Curva de retención de agua
• Método de flujo de zona vadosa con contenido finito de agua
• Ecuación de la velocidad de la humedad del suelo